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(華東師范大學(xué)寧波藝術(shù)實(shí)驗(yàn)學(xué)校，浙江 寧波 315100)

一次中考數(shù)學(xué)命題時(shí)，筆者作為命題組組長(zhǎng)，感到壓力很大，尤其是壓軸題的命制苦思冥想了許久．壓軸題有很高的要求：一要知識(shí)綜合；二要考查能力；三要梯度明顯．

命題組首先要確定問題的背景，是函數(shù)、圓還是四邊形？后來都被否定了，理由是想以生活實(shí)際問題作為背景，中考?jí)狠S題生活化是許多年來很少嘗試的大膽創(chuàng)舉，命題組想試一試．

1 問題的來源

筆者曾學(xué)過木工，做過圓形桌面，那時(shí)候買一張矩形木屑板，按如圖1所示的方法鋸兩個(gè)半圓，拼成的圓桌面可以坐10個(gè)人．

圖1 圖2 圖3

實(shí)際操作是按圖2劃線的，即將木屑板沿對(duì)角線鋸開，平移使其出現(xiàn)正方形，然后畫出一個(gè)圓并鋸下，這樣操作要比圖1畫出2個(gè)半圓再鋸下簡(jiǎn)單多了．

2 曾經(jīng)的原題

在這個(gè)基礎(chǔ)上，筆者曾編制過這樣一道題：

問題1(原題) 已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，請(qǐng)?jiān)谄鋬?nèi)畫出兩個(gè)最大的半圓，使這兩個(gè)半圓可以拼成一個(gè)圓，求圓的半徑．

最大半圓的位置如圖1所示．有人質(zhì)疑：如何證明這樣畫的圓的半徑最大？如圖3所示的畫法也可以得到最大的半圓，還有其他情形嗎？

3 初稿的設(shè)計(jì)

3.1 初稿的表述

為了回避以上這個(gè)難以回答的問題，命題組將原題改編成如下的命題：

問題2(初稿) 在矩形木板ABCD中，AB=3，BC=2，用這樣的木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，設(shè)計(jì)了以下兩種方案：

方案1如圖3，圓心O1,O2分別在CD,AB上，半徑分別是O1C,O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓；

方案2如圖2，沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓．

分別求兩種方案圓的半徑．

3.2 初稿的遺憾

這樣的設(shè)計(jì)缺少新意，類似的問題以前已出現(xiàn)過．如何突破呢？如何讓函數(shù)、方程融入其中呢？最好能考查學(xué)生的探索能力[1]．筆者做圓桌面的經(jīng)歷再次浮現(xiàn)．

4 問題的探索

那時(shí)筆者按圖2的方法做好圓桌面后，發(fā)現(xiàn)鄰居家的圓桌面是如圖4那樣拼的，即一個(gè)大弓形與一個(gè)小弓形拼在一起．同樣尺寸的一塊木板，按圖2或圖4做圓桌面到底哪個(gè)半徑大呢？這個(gè)問題讓筆者糾結(jié)了很多年．

圖4 圖5

這次一定要研究個(gè)水落石出，筆者在紙上畫出如圖5所示的圖形，在矩形內(nèi)畫一個(gè)比半圓大的弓形，分別與AD，DC相切，即圓心O在∠D的平分線上，弦MN在AB上；再在矩形剩余部分畫一個(gè)比半圓小的弓形，弦CG在CB上，兩個(gè)弓形正好能拼成一個(gè)圓．如何求這種拼接方法圓的最大半徑呢？筆者決定借助幾何畫板來探索．

4.1 畫圖

打開幾何畫板，如圖6，畫一個(gè)矩形ABCD，使AB∶BC=3∶2(這個(gè)比例是筆者隨便取的)，按以下5個(gè)步驟畫圖：

1)作∠ADC的平分線，在其上取動(dòng)點(diǎn)O；

2)作與AD,DC都相切的⊙O，交AB于點(diǎn)M,N；

3)作與AB垂直的⊙O的切線EF；

4)以MC為斜邊作等腰Rt△MPC；

5)以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將矩形下方的弓形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到以CG為弦的弓形．

這時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)G一定在BC上，也就是說NP和GP垂直且相等，這個(gè)發(fā)現(xiàn)可以作為一個(gè)問題讓學(xué)生探索，下面會(huì)再次涉及這個(gè)問題．

圖6 圖7 圖8

4.2 計(jì)算

如圖8，設(shè)AD=2，AB=3，設(shè)半徑OI=OM=ID=x，則

當(dāng)CG=BC=2時(shí)，⊙O的半徑最大，此時(shí)

5 第二稿出臺(tái)

5.1 第二稿表述

問題3(第二稿)

圖9

情景展現(xiàn)黃木匠用長(zhǎng)AB=3、寬BC=2的矩形木板做一個(gè)圓桌面．他想如果直接鋸下一個(gè)完整的圓，直徑只有2(如圖9);如果鋸下兩個(gè)半圓拼成一個(gè)圓，直徑會(huì)大一些.于是他設(shè)計(jì)了兩種方案：

方案1如圖3，圓心O1,O2分別在CD,AB上，半徑分別是O1C,O2A，畫兩個(gè)外切的半圓;

方案2如圖1，沿對(duì)角線AC將矩形木板分成兩個(gè)直角三角形，在每一個(gè)三角形內(nèi)畫出最大的半圓．

問題解決1)方案1中圓的半徑長(zhǎng)是______；方案2中圓的半徑長(zhǎng)是______．

深入探究黃木匠又想，如果鋸下兩個(gè)弓形拼成一個(gè)圓，情況又如何呢？于是他又設(shè)計(jì)了一個(gè)方案．

方案3如圖5，畫一個(gè)比半圓大的弓形(稱為優(yōu)弓形)，分別與AD,DC相切，圓心為O，弦MN在AB上．再在矩形剩余部分畫一個(gè)比半圓小的弓形(稱為劣弓形)，弦CG在CB上，優(yōu)弓形和劣弓形正好能拼成一個(gè)圓．

圖10

如何畫出劣弓形呢？如圖10，以MC為斜邊作等腰Rt△CPM，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，矩形外的劣弓形就被變換至矩形內(nèi)了，這是為什么呢？問題歸結(jié)為下面的證明．

2)求證：PN=PG，PN⊥PG．

最后結(jié)論3)設(shè)方案3中優(yōu)弓形的半徑為x，GB=y．

①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②顯然當(dāng)y=0時(shí)圓的半徑最大，那么3個(gè)方案中圓桌面半徑哪個(gè)最大？

5.2 第二稿的遺憾

6 定稿的誕生

命題組要做的首先是對(duì)題目進(jìn)行“減肥”，其次考慮把兩個(gè)弓形拼一個(gè)圓的過程讓學(xué)生來操作、探索[2]．經(jīng)過反復(fù)打磨、研討和修改，定稿終于誕生．

6.1 定稿的表述

問題4(定稿) 木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3、寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面．他設(shè)計(jì)了4種方案(如圖11)：

圖11

方案1直接鋸一個(gè)半徑最大的圓.

方案2圓心O1,O2分別在CD,AB上，半徑分別是O1C,O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓.

方案3沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓.

方案4鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓．

1)寫出方案1中圓的半徑.

2)通過計(jì)算說明在方案2和方案3中，哪個(gè)圓的半徑較大？

3)在方案4中，設(shè)CE=x(其中0

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？請(qǐng)說明4種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大．

6.2 點(diǎn)評(píng)

最后的定稿所涉及到的核心知識(shí)有直線和圓、圓和圓、勾股定理、相似三角形、函數(shù)、方程．所涉及到的核心能力有直觀想象能力、運(yùn)算能力、推理能力和建模能力．學(xué)生通過操作、探究發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，考查了學(xué)生的問題解決能力．此題起點(diǎn)低，綜合性強(qiáng)，區(qū)分度好，中考結(jié)束受到師生、家長(zhǎng)和媒體的一致好評(píng)．

第1)小題較為簡(jiǎn)單，學(xué)生容易上手；第2)小題考查的知識(shí)比較綜合，難度有所上升；第3)小題第①問的函數(shù)要分類討論，為第②問埋下伏筆，對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力、畫圖探究能力、分類討論能力、運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想和方法的能力提出了較高的要求．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力．由此可見，將實(shí)實(shí)在在的生活問題作為數(shù)學(xué)題是符合課標(biāo)理念的，值得提倡．

6.3 解答

1),2)略．

圖12 圖13 圖14

這說明圓恰好經(jīng)過點(diǎn)P．

7 閱卷反饋

7.1 難度系數(shù)(見表1)

表1 中考?jí)狠S題的難度系數(shù)

從難度系數(shù)看，梯度比較合理．第3)小題的困難主要來自于如圖12～14的方案設(shè)計(jì)，從而說明現(xiàn)在的初中學(xué)生解決問題的能力尤其是解決實(shí)際生活問題的能力有待提高．

7.2 學(xué)生解答中的問題

圖15

在方案2中，學(xué)生添出如圖15的輔助線不難，但用圓的半徑表示線段O2E發(fā)生了困難．在方案3中沒有想到聯(lián)結(jié)OG或OH，而是延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)M，結(jié)果計(jì)算陷入了困境．

在方案4中，學(xué)生不合理的做法有3種:其一是如圖16那樣的剪拼，結(jié)果圓的半徑就小于如圖14的半徑；其二是如圖17那樣的剪拼，這是題意理解出錯(cuò)；其三是如圖18那樣的剪拼，這是受到方案2的影響，問題復(fù)雜化了，而且結(jié)果圓的半徑依然小于如圖14的半徑．

圖16 圖17 圖18

看來方案4的文字?jǐn)⑹鲋赶蜻€可以更加明確，避免學(xué)生用兩個(gè)半圓拼接．

8 問題再探索

探索1矩形的長(zhǎng)寬比.

若⊙O剛好經(jīng)過矩形PMNG的一個(gè)頂點(diǎn)P，那么

OP2=OQ2+QP2=r2，

化簡(jiǎn)得

a∶b=3∶ 2．

綜上所述，只有當(dāng)a∶b=3∶ 2時(shí)，最大的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)P．運(yùn)氣真好，在幾何畫板中作圖時(shí)，筆者隨意取的長(zhǎng)為3、寬為2的矩形，居然取對(duì)了．

探索2圓的半徑還能大.

如圖7，⊙O和劣弓形都與EF相切時(shí)，⊙O與劣弓形相離．在圖7的基礎(chǔ)上如果⊙O半徑再增大，同時(shí)劣弓形端點(diǎn)C沿CD向左移動(dòng)，使⊙O與劣弓形相切，如圖19，圓的半徑還要更大些．

圖19 圖20

在圖19中⊙O的半徑是多少？如果劣弓形畫成如圖20的位置，情況又如何呢？這些問題可以繼續(xù)研究．

9 體會(huì)與反思

通過本次壓軸題的命制過程，我們命題組有了以下體會(huì)、反思和成就感：

1)生活中有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)可以為生活服務(wù)；

2)命制生活實(shí)際問題的數(shù)學(xué)題，要求教師關(guān)注生活，學(xué)會(huì)觀察和思考，數(shù)學(xué)地看待生活問題[3]；

3)借助于幾何畫板命題，能提高對(duì)問題探索的有效性；

4)近年來各地中考以函數(shù)圖像為背景的壓軸題越來越少，取而代之的是有鮮活背景材料的新穎題，我們要繼續(xù)努力尋找實(shí)實(shí)在在的生活材料；

5)定稿中的最后一個(gè)問題難度系數(shù)比較小，原因是學(xué)生難以設(shè)計(jì)“拼”和“畫”的方案．

筆者反思：教學(xué)中應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的多種能力，包括動(dòng)手操作和方案設(shè)計(jì)能力，讓數(shù)學(xué)活起來．