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(杭州第七中學(xué),浙江 杭州 310024)

圖1

1 原題賞析

題目如圖1，已知多面體ABC-A1B1C1，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2.

1)證明：AB1⊥平面A1B1C1；

2)求直線AC1與平面ABB1所成角的正弦值.

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

2 原題剖析

本題主要考查空間點、線、面之間位置關(guān)系以及直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識.同時，考查考生空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，綜合體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具體特點如下：

1)覆蓋廣，重“四基”.本題是解答題的第二大題，屬于偏簡單的中檔題，起點很低，入口很寬，大多數(shù)考生都可以解答.但是，考查內(nèi)容非常豐富，包含立體幾何中點、線、面之間的位置關(guān)系，比如線線垂直、線線平行、線面垂直、線面平行、面面垂直等判定定理和性質(zhì)定理等，故試題設(shè)計上非常注重內(nèi)容的覆蓋面，注重考查學(xué)生在立體幾何方面的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.

2)通法多，顯“四能”.第2)小題考查空間角的內(nèi)容，選擇了解題方法最多的線面角，既體現(xiàn)了通法的豐富，也凸顯了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力和分析、解決問題的能力.

由于每種通法都可以歸結(jié)為原理選擇的不同，從而對應(yīng)邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算能力的難度也不盡相同.若用幾何法，則凸顯空間想象能力；若用建立空間直角坐標(biāo)系的代數(shù)法，則凸顯運(yùn)算能力.當(dāng)然，有時需要兩者兼具.

這說明試題命題者充分尊重學(xué)生個體差異，求同存異，體現(xiàn)公平性原則，也體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì).

3)傳承好，啟來年.結(jié)合2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題不難發(fā)現(xiàn)，本題仍然是求解線面角.不僅如此，其中利用線面平行方法(2017年給出的標(biāo)準(zhǔn)答案)解決點到面的距離，一目了然——秒殺.

同時，2017年這道試題除去0分后平均得分為9.08分，難度系數(shù)為0.56[1].2018年除去0分后平均得分為11分左右，難度系數(shù)為0.73.這說明經(jīng)過這兩年的改革，這道題的考查回歸到了以往的文科題難度.

3 解法探析

當(dāng)然，好的試題需要有好的評分標(biāo)準(zhǔn)，以實現(xiàn)命題者最初的命題意圖.基于該試題的以上3個特點，本題閱卷組最終給出了各種版本的參考答案及其相應(yīng)得分點，具體如下：

1)證法1由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB得

從而

于是

AB1⊥A1B1.

由BC=2，BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC得

由AB=BC=2,∠ABC=120°得

于是

AB1⊥B1C1,

因此AB1⊥平面A1B1C1.

答題情況用幾何法，先由勾股定理得到線線垂直，再用線面垂直判定定理得證.但在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)：不少考生在利用勾股定理的時候，邊長計算錯誤率較高，導(dǎo)致過程分被扣；還有部分考生算不出邊長的結(jié)果，就試卷留白，這不可取，因為只要寫出判斷依據(jù)就可以得2分；還有部分考生因知識點錯誤，只證明了一個線線垂直就得到線面垂直被扣4分.而這個原因的產(chǎn)生，主要是在學(xué)習(xí)線面垂直時，沒有很好地理解線面垂直判定定理.由于《數(shù)學(xué)(必修2)》中沒有證明這個定理，直到《數(shù)學(xué)(選修2-1)》中，才用空間向量證明了這個定理，但許多教師容易忽略這塊內(nèi)容.另外，可能也是受到了面面垂直性質(zhì)定理的影響，因為在面面垂直的性質(zhì)定理中，只要垂直于交線就得到線面垂直，說明考生沒有真正理解該定理，從而造成了知識點的混淆.

圖2

證法2如圖2，以AC中點O為原點，分別以射線OB，OC為x軸、y軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

答題情況證法2與證法1類似，只不過換成了代數(shù)的形式解決立體幾何問題，考生的錯誤也和證法1中的情況基本一致.在建立空間直角坐標(biāo)系時，部分考生審題不清，誤認(rèn)為BA⊥BC，從而導(dǎo)致坐標(biāo)完全錯誤.較證法1而言，證法2具有的優(yōu)勢是：即使建系錯誤的情況下，仍然可以利用過程和結(jié)論得分，甚至最高可以得4分.

答題情況證法3與證法2類似，但是比證法2多了一個步驟，法向量與斜線所對應(yīng)的方向向量平行，需要去驗算這一步，因此錯誤也出現(xiàn)在這一步.有相當(dāng)一部分考生都寫成了數(shù)量積為0，而不是去證明共線，被扣了2分.如果知道是共線，那么運(yùn)算就簡單了.

圖3

答題情況解法1是參考答案給出的方法，但在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)，真正用這一方法的考生少之又少.其實命題者的意圖，是希望通過第1)小題線面垂直對第2)小題有提示作用，這也符合浙江省命題者設(shè)計小題時層層遞進(jìn)的思路.而考生卻忽略了該功能，同時也反映出考生對面面垂直性質(zhì)定理不太熟悉，運(yùn)用得不夠熟練.

圖4

根據(jù)建系位置的不同，得到的向量的坐標(biāo)有些許區(qū)別，但評分標(biāo)準(zhǔn)得分點完全一致.

答題情況只要正確建立空間直角坐標(biāo)系的考生，絕大多數(shù)都得到滿分，只有極少數(shù)考生由于知識點混淆，畫蛇添足，求出所謂的“正弦值”(其實是余弦值)，反而被扣了2分.

其中θ表示直線AC1與平面ABB1所成角的大小.

答題情況解法3與2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題的方法一致.

由此可見，浙江省數(shù)學(xué)試題在命題過程中，都會有幾年的延續(xù)性和一貫性[2]，深入研究高考真題、挖掘標(biāo)準(zhǔn)答案方法和滲透的思想非常重要.

其中θ表示直線AC1與平面ABB1所成角的大小.

答題情況等體積法是往年文科生最喜歡用的一種方法，因為找不到線面垂直，就找不到垂足，所以等體積法就是解決線面角的最佳方法.但是，可能以往理科生很少用這種方法，從閱卷來看，考生用得還不是很多，但是用了的基本上都是正確的.

閱卷得分點補(bǔ)充說明：1)第2)小題的建系分?jǐn)?shù)，坐標(biāo)系正確并給出點的坐標(biāo)或向量坐標(biāo)，則得2分； 2)在第1)小題不正確的情況下，建立了正確坐標(biāo)系給出建系分2分；3)不重復(fù)給分.

4 答題策略

基于上述標(biāo)準(zhǔn)答案和相應(yīng)的得分點，不難發(fā)現(xiàn)：在第1)小題中，總共6分，其中不管用哪種證法，都是亮出相應(yīng)的原理給2分，寫出運(yùn)算關(guān)鍵過程給2分，得到正確結(jié)論給2分；在第2)小題中，總共9分，也是不管用哪種解法，只要亮出相應(yīng)的原理給2分，寫出運(yùn)算關(guān)鍵過程給3分，有關(guān)鍵點數(shù)據(jù)給2分，結(jié)論正確給2分.而且，每個得分點都是獨立給分.

不管用哪種方法，每種方法都是對應(yīng)給分，不偏袒任何一種方法和運(yùn)算，只要考生理解知識點、會邏輯推理、熟練各種運(yùn)算，只要體現(xiàn)出自己的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，那么每懂一塊內(nèi)容、每用一次思想、每寫一個步驟，都給相應(yīng)的獨立分，這就是得分點.體現(xiàn)出了“考知識，重推理，注運(yùn)算，顯素養(yǎng)”的原則，始終保持等值性、公平性.

筆者在閱卷過程中還發(fā)現(xiàn)：思維邏輯能力比較強(qiáng)的學(xué)生，往往推理過程寫得很簡潔，關(guān)鍵步驟都寫在答卷上，易于分辨.但是部分考生邏輯思維混亂，寫得密密麻麻，卻不知所云，答題不在點上，導(dǎo)致失分.甚至，有部分考生已經(jīng)答題了，而且很多關(guān)鍵點也答到了，但是又涂掉了，從而沒有得分令人惋惜.

5 閱后感悟

1)考知識.老生常談重視落實基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，那么如何在課堂中落實四基是我們所面臨的最大課題.針對空間向量與立體幾何的教學(xué)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)指出：“應(yīng)重視以下兩方面：第一，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間的推廣過程，探索空間向量與平面向量的共性和差異，引發(fā)學(xué)生思考維數(shù)增加所帶來的影響；第二，鼓勵學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題(如距離問題)，通過對比體會向量方法的優(yōu)勢.在上述過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解向量基本定理的本質(zhì)，感悟‘基’的思想，并運(yùn)用它解決立體幾何中的問題.”[4]

因此，利用類比和對比的方式，可以讓學(xué)生對容易混淆的知識產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而加強(qiáng)思維方法的能力.在批判和矛盾中，產(chǎn)生更強(qiáng)烈的思維沖突，從而達(dá)到固化的效果.

2)重推理.學(xué)習(xí)立體幾何中有一個很重要的能力，就是邏輯推理能力.擁有良好的邏輯推理思維能力的學(xué)生，往往在答題步驟上非常簡潔，也更容易得滿分.反觀邏輯思維混亂的學(xué)生，往往答不到點上，想到哪就寫到哪，往往容易忘記初心——到底想要得到什么.

其實，《數(shù)學(xué)(選修2-2)》第二章內(nèi)容就是推理與證明.但是很多教師都沒有很好地重視該節(jié)內(nèi)容，認(rèn)為平時在課堂中已經(jīng)潛移默化地學(xué)習(xí)了這些內(nèi)容，沒有單獨拎出來讓學(xué)生有個系統(tǒng)的認(rèn)識，反而讓很多學(xué)生失去了這個能力.因此，在高考復(fù)習(xí)中必須回歸教材[3]，形成系統(tǒng)的知識建構(gòu)，每塊知識都有其相應(yīng)的能力和思維的培養(yǎng)，讓每塊知識都發(fā)揮其應(yīng)有的作用.

3)注運(yùn)算.運(yùn)算是浙江省歷年高考數(shù)學(xué)卷的核心，包括立體幾何試題.自從引進(jìn)空間向量與立體幾何內(nèi)容之后，很多學(xué)生由于空間想象能力較差，毅然選擇了解析幾何代數(shù)法.但是近幾年在考查該內(nèi)容時，由于建立空間直角坐標(biāo)系難度非常大，也容易產(chǎn)生建系錯誤.因此，運(yùn)算可以更好地幫助學(xué)生注意到細(xì)節(jié)，華羅庚有句名言：數(shù)少形時缺直觀，形少數(shù)時難入微.

4)顯素養(yǎng).《新課標(biāo)》指出：“引導(dǎo)教學(xué)更加關(guān)注育人目的，更加注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)……，為階段性評價、學(xué)業(yè)水平考試和升學(xué)考試命題提供重要依據(jù)，促進(jìn)教、學(xué)、考有機(jī)銜接，形成育人合力.”[4]因此，浙江省數(shù)學(xué)高考命題組在命題時，一定會考慮到結(jié)合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

而立體幾何的核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.由于學(xué)生個體存在差異，呈現(xiàn)“百花齊放”的現(xiàn)象，因此，在平時教學(xué)中，盡量要全面介紹各知識點，從而讓學(xué)生有更多的選擇，有些學(xué)生直觀想象能力比較強(qiáng)，有些學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力比較強(qiáng)，還有的學(xué)生比較均衡，甚至兩種能力相結(jié)合，不管是運(yùn)用了哪種能力，只要能達(dá)到最終的目的，就是達(dá)到了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.