●

(鎮(zhèn)海中學(xué),浙江 寧波 315200)

1 教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)分析

1.1 地位和作用

對棱相等四面體是一類特殊的四面體，它可以通過截取長方體得到，也可以將對棱相等的四面體補(bǔ)形成長方體.那么為什么對棱相等的四面體能補(bǔ)形成長方體？對如何補(bǔ)形、為何補(bǔ)形的思考可以促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的提升.

1.2 核心素養(yǎng)分析

邏輯推理是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出其他命題的思維過程[1]，從折紙游戲中直觀感知對棱相等四面體的4個面都是銳角三角形，進(jìn)而思考：為什么不能是直角三角形和鈍角三角形，是不是任何一個對棱相等的四面體都可以補(bǔ)形成長方體，有沒有可能存在一個四面體滿足對棱相等的條件但不能補(bǔ)形成長方體，為什么可以借助最小角定理幫助理解對棱相等四面體補(bǔ)形成長方體？

2 教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo)折紙游戲中直觀感知對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，在對對棱相等四面體補(bǔ)形原因的思考過程和證明過程中培養(yǎng)了邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

目標(biāo)解析在長方體中可以截得對棱相等的四面體，相反對棱相等的四面體可以補(bǔ)形成長方體，從正反兩方面對對棱相等四面體進(jìn)行思考，在思考過程中形成對其全面深入的認(rèn)識.結(jié)合動手操作從折紙游戲中獲得直觀認(rèn)識，認(rèn)識到對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，并在借助最小角定理證明對棱相等四面體能補(bǔ)形成長方體的過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，即在教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，拓展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)品質(zhì).

3 教學(xué)問題診斷分析

長方體可以截得對棱相等的四面體，而對棱相等的四面體為什么能補(bǔ)形成長方體，學(xué)生可能只是被動地接受而沒有主動地思考過這一問題.讓學(xué)生對問題進(jìn)行多角度的認(rèn)識，進(jìn)而對對棱相等四面體有更深入的認(rèn)識，在對對棱相等四面體補(bǔ)形成長方體這一熟悉問題的重新提出、思考、解決的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理這一核心素養(yǎng).

4 教學(xué)過程設(shè)計

角度1折紙剪紙游戲，直觀感知對棱相等四面體的形成過程和圖形特征.

游戲1如圖1，請分別沿銳角、鈍角、直角△ABC的3條中位線DE，EF，DF進(jìn)行翻折，翻折過程中點A，B，C能重合嗎？

圖1

生1：只有翻折銳角△ABC時，點A，B，C才有可能重合.

師：為什么只有在銳角三角形時，才有可能重合呢？請大家思考沿DE翻折△ADE時，點A在底面DEF的投影的運(yùn)動軌跡是什么？

圖2

生2：如圖2，過點A作DE的垂線，交BC于點P，點A在底面上的投影的運(yùn)動軌跡為垂線段AP.

師：同理沿DF翻折△BDF時，點B在底面DEF上的投影的運(yùn)動軌跡為垂線段BR,沿EF翻折△EFC時，點C在底面DEF上的投影的運(yùn)動軌跡為垂線段CQ.銳角三角形的3條垂線段交于同一點，而鈍角三角形的3條垂線段交于三角形外一點，直角三角形的3條垂線段的交點為直角頂點B，因此只有沿銳角三角形的3條中位線進(jìn)行翻折時，點A，B，C才有可能交于同一點.

師：當(dāng)點A，B，C重合時，不妨記為點S，如圖3，此時四面體S-DEF的對棱長度之間有關(guān)系嗎？

師：銳角三角形沿3條中位線翻折的過程中可以得到一個對棱相等的四面體.

圖3 圖4

游戲2如圖4，將對棱相等的四面體S-DEF分別沿SD,SE,SF剪開展平，使△S1DF，△S2EF，△S3DE與△DEF共面.

師：四面體S-DEF的對棱相等，則

△S1DF≌△S2EF≌△S3DE≌△DEF，

從而

∠EDF=∠S3ED, ∠S1DF=∠DS3E,

于是 ∠S3DE+ ∠EDF+∠S1DF=

∠S3DE+∠S3ED+∠DS3E=π,

即點S3,D,S1共線，同理點S2,E,S3共線，點S1,F,S2共線.也就是說對棱相等的四面體展開后是一個三角形，將這個三角形沿3條中位線進(jìn)行翻折就還原回了原來對棱相等的四面體，即說明△S1S2S3是銳角三角形.

生4：原來對棱相等四面體的每個面都是銳角三角形.

設(shè)計意圖學(xué)生從折紙游戲中直觀感知對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，為對棱相等四面體能補(bǔ)形成長方體這一問題的提出和解決作好鋪墊.

角度2最小角定理助推解釋補(bǔ)形.

生：對棱相等的四面體能不能補(bǔ)形成長方體的關(guān)鍵是看這個長方體能不能找到.假設(shè)能找到，設(shè)對棱相等四面體S-DEF的對棱長分別為u，v，w，補(bǔ)形后的長方體的棱長分別為a，b，c，則長方體的棱長分別為

只需說明

u2+v2>w2,u2+w2>v2,w2+v2>u2，

進(jìn)而說明a,b,c是可以取到的.

圖5

如圖5，作SH⊥平面DEF于點H，由cos∠SDE=cos∠SDH·cos∠EDH，得

∠SDE>∠EDH,

同理可得∠SDF>∠FDH，從而

∠SDE+∠SDF>∠EDH+∠FDH=∠EDF,

于是

∠SDE+∠DSE>∠SED，

同理可得

∠SDE+∠SED>∠DSE,

∠DSE+∠SED>∠SDE，

即△SDE中任意兩角之和大于第三個角，亦即△SDE為銳角三角形，也就說明u2+v2>w2，u2+w2>v2，w2+v2>u2是成立的，可以將對棱相等的四面體補(bǔ)形成長方體，進(jìn)而在長方體中研究解決問題.

設(shè)計意圖借助最小角定理解釋對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，說明了補(bǔ)形的原因，同時有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

角度3[2]對棱相等四面體可以補(bǔ)形成長方體，體會在長方體中研究四面體性質(zhì)的優(yōu)越性.

師：接下來我們就來研究對棱相等四面體的性質(zhì).

圖6

性質(zhì)1對棱相等四面體的對棱中點連線互相垂直.

如圖6，設(shè)M,N，G,H分別為SD,EF,SE,DF的中點，可得四邊形MHNG為菱形，從而NM⊥GH.

性質(zhì)2[2]對棱相等四面體的外接球球心與內(nèi)切球球心重合.

因為對棱相等的四面體可以補(bǔ)形成為長方體，所以它的外接球球心即為補(bǔ)形后的長方體的中心.不妨設(shè)為點O，由|OS|=|OD|=|OF|=|OE|,知4個小四面體O-SDE，O-SDF，O-SEF，O-DEF全等，從而點O到平面SDE、平面SDF、平面DEF、平面SEF的距離相等，于是點O也為這個四面體內(nèi)切球的球心.

圖7

性質(zhì)3對棱相等四面體的任意3個面與第4個面所成角的余弦值之和為1.

由于對棱相等四面體可以補(bǔ)形成長方體.如圖7，作BK⊥SF于點K,B1J⊥SF于點J，聯(lián)結(jié)DK，EJ，則平面DSF與平面SFE所成角α的大小為π-∠BKD-∠B1JE，從而

cosα= cos(π-∠BKD-∠B1JE)=

-cos 2∠BKD=-(2cos2∠BKD-1)=

cosα+cosβ+cosγ=1.

波利亞曾說：“一個有責(zé)任心的教師與其應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入挖掘題目的各個側(cè)面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智和推理能力.”以學(xué)生的疑惑為出發(fā)點，對對棱相等四面體的由來有一個更深入的認(rèn)識，在“為什么補(bǔ)形、怎么補(bǔ)形、如何在補(bǔ)形后的圖形中研究性質(zhì)”等一系列問題的研究中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).