石建飛， 茍向鋒， 張艷龍

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387； 2. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

切削振動是影響加工表面質(zhì)量和刀具耐用度的主要因素之一。近年來，學(xué)者對減振鏜桿系統(tǒng)的模型和減振效果進(jìn)行了研究,其中主要針對系統(tǒng)模型的簡化及其參數(shù)優(yōu)化。Andern等[1]建立了Euler-Bemoull減振鏜桿模型。Andem和Meic等[2-3]采用新材料、新結(jié)構(gòu)實現(xiàn)鏜桿的減振。Evita等[4]設(shè)計了一種摩擦減振刀桿，利用刀桿的主結(jié)構(gòu)與減振塊接觸面間的摩擦消耗振動能量，有效抑制了刀桿的振動。羅紅波等[5]采用全局尋優(yōu)數(shù)值搜索法和幅頻響應(yīng)曲線面積最小法對內(nèi)置式減振鏜桿動力學(xué)模型的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。趙永成等[6]實驗研究了精鏜孔時液膜阻尼對系統(tǒng)的減振效果，發(fā)現(xiàn)擠壓液膜阻尼器在精鏜加工時能提高孔加工質(zhì)量。秦柏[7]用 ADAMS/ ANSYS仿真分析了減振鏜桿各參數(shù)的影響。夏峰等[8]設(shè)計了一種新的約束阻尼性鏜桿，并對該模型的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。劉立佳等[9]分析了減振鏜桿振動控制的研究狀況，指出減振鏜桿減振技術(shù)在理論方面依然存在制約因素。目前很少有文獻(xiàn)考慮減振鏜桿系統(tǒng)在非線性因素下的減振效果，在減振鏜桿系統(tǒng)中，減振塊和鏜刀桿之間由橡膠圈和阻尼液相連接，在建模過程中將橡膠圈和阻尼液轉(zhuǎn)化為等效彈簧力和阻尼力時，其非線性因素的影響不可忽略，所以有必要對鏜桿系統(tǒng)在非線性因素下的振動特性進(jìn)行研究。

系統(tǒng)實際振動過程中最關(guān)心的是系統(tǒng)振蕩的有界性問題。因為質(zhì)點的運動振幅超過一定限度，往往會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞，從而產(chǎn)生了對安全盆的研究[10-12]。戎海武等[13]研究了諧和與噪聲聯(lián)合作用下Duffing振子的安全盆分岔與混沌，推導(dǎo)了系統(tǒng)的隨機(jī)Melnikov過程，在隨機(jī)擾動下系統(tǒng)的安全盆分岔點發(fā)生了偏移。Shang[14]研究了時滯位移反饋對Helmholtz振子系統(tǒng)的分形侵蝕安全域的控制，發(fā)現(xiàn)時滯量的增大能有效地抑制安全盆的侵蝕。葛根等[15]對形狀記憶合金梁在簡諧和白噪聲聯(lián)合激勵下的混沌及安全盆侵蝕現(xiàn)象進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)激勵幅值的增大會增強(qiáng)安全盆的內(nèi)部出現(xiàn)分形特性。然而對系統(tǒng)安全盆的研究主要針對單自由度系統(tǒng)安全盆的侵蝕及控制，對雙自由度系統(tǒng)安全盆的侵蝕卻少有研究。

本文建立兩自由度減振鏜桿系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，研究系統(tǒng)在外激勵頻率和阻尼系數(shù)變化時安全盆的侵蝕和分岔現(xiàn)象。通過計算系統(tǒng)安全盆在侵蝕過程中的最大Lyapunov指數(shù)，分析系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)分形侵蝕和邊界侵蝕時其最大Lyapunov指數(shù)的變化特性。

1 減振鏜桿系統(tǒng)的力學(xué)模型

減振鏜桿系統(tǒng)由一個連續(xù)體和一個減振單元組成，如圖1所示。鏜桿的減振系統(tǒng)由大密度的減振塊4和在減振塊兩端起支撐作用的橡膠圈2組成，減振塊被阻尼液5所環(huán)繞。在加工過程中，鏜桿振動所產(chǎn)生的動能將被其內(nèi)部質(zhì)量塊4吸收，使得鏜桿振動減小，改善了系統(tǒng)的切削狀況。根據(jù)振動力學(xué)的理論分析可知，這樣的系統(tǒng)建立方程很不方便，須進(jìn)行簡化[16]，將鏜桿桿體1、兩端墊片3、堵塊6和刀頭7作為主系統(tǒng)(連續(xù)體)；將兩端橡膠圈2、減振塊4和阻尼液5作為減振器(減振單元)。令M1為主系統(tǒng)質(zhì)量，K1和C1分別為主系統(tǒng)的彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)；M2為減振塊4的質(zhì)量，K2和C2分別為橡膠圈2的彈性系數(shù)和阻尼液5的阻尼系數(shù)。用集中質(zhì)量法建立其簡化的動力學(xué)模型如圖2所示。圖2中，由M1、K1、C1組成的系統(tǒng)稱之為主系統(tǒng)，由M2、K2、C2組成減振器，F(xiàn)cos(ΩT+φ)為系統(tǒng)外激勵。

1.鏜桿桿體；2.橡膠圈；3.墊片；4.減振塊；5.阻尼液；6.堵；7.刀頭圖1 動力減振鏜桿結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of dynamic damping boring bar

考慮減振器橡膠圈和阻尼液對振動系統(tǒng)非線性因素的影響，建立減振鏜桿系統(tǒng)的運動微分方程如下：

(1)

(2)

(3)

方程(1)、(2)和(3)中，“··”和“·”表示對時間T分別求二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)。

圖2 減振鏜桿系統(tǒng)的動力學(xué)模型Fig.2 dynamics model of damping boring bar system

(4)

式中

(5)

(6)

2 系統(tǒng)安全盆的侵蝕與分岔

系統(tǒng)的安全盆可由相空間的一個有界區(qū)域D來定義，使得以安全盆內(nèi)部的點為起始點出發(fā)的軌線在時間趨于無窮大時仍在區(qū)域D內(nèi)運動，構(gòu)成了系統(tǒng)的安全解。即以安全盆外部的點為起始點出發(fā)的軌線在時間趨于無窮大時將逃逸出區(qū)域D，構(gòu)成系統(tǒng)的不安全解，將導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的破壞與崩潰。安全盆的結(jié)構(gòu)與某些吸引子的吸引域的結(jié)構(gòu)相似[20]，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，安全盆的面積和形狀也將發(fā)生改變，即形成了安全盆的侵蝕?；煦邕\動也是有界的，安全盆內(nèi)某些點為初值的運動是穩(wěn)定周期運動或混沌運動。

2.1 安全盆的邊界分形侵蝕與分岔

首先研究當(dāng)ω變化時，系統(tǒng)安全盆的變化情況。選取系統(tǒng)參數(shù)M1=40 kg，M2=50 kg，F(xiàn)=112 N，C1=73 N·s/m，K1=0.44×106N/m，C2=303 N·s/m，K2=0.88×105N/m。將參數(shù)代入方程(1)，經(jīng)計算得系統(tǒng)無量綱參數(shù)，如表1所示。

表1 系統(tǒng)無量綱參數(shù)取值表

(7)

并將該區(qū)域劃分成個胞空間，將每個胞的中心點作為系統(tǒng)解的初始值。當(dāng)系統(tǒng)通過這些初始值的解在足夠長的時間如10 000時間單位內(nèi)逃逸出區(qū)域D1，則認(rèn)為此解是不安全；如果沒有逃逸出區(qū)域D1，則近似的認(rèn)為它是安全、有界的解。選取表1系統(tǒng)無量綱參數(shù)值，對于不同的ω，系統(tǒng)安全盆變化情況，如圖3所示。

圖3中的黑色部分代表導(dǎo)致系統(tǒng)安全解的初始值組成的部分，構(gòu)成了系統(tǒng)的安全盆；而灰色部分則代表導(dǎo)致系統(tǒng)不安全解的初始值組成的部分。當(dāng)ω=0.74時，系統(tǒng)在有界區(qū)域D1內(nèi)均為安全解，在該區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)為完整的安全盆(即沒有受到侵蝕)，如圖3(a)。當(dāng)ω增大至ω>0.740 6時，在有界區(qū)域D1內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)灰色區(qū)域，系統(tǒng)安全盆受到侵蝕。當(dāng)ω=0.741時系統(tǒng)安全盆如圖3(b)所示，此時系統(tǒng)安全盆已經(jīng)被侵蝕。隨著ω的增加，灰色不安全區(qū)域的面積不斷增大，安全盆被侵蝕程度不斷增強(qiáng)，如圖3(c)所示。當(dāng)ω>0.742 4時，系統(tǒng)安全盆如圖3(d)所示，黑色安全盆邊界變得不光滑，在黑色安全盆內(nèi)出現(xiàn)了具有自相似結(jié)構(gòu)的相互纏繞的灰色條紋，同樣在灰色不安全區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了具有自相似結(jié)構(gòu)的相互纏繞的黑色條紋，通過盒子維方法[21]計算系統(tǒng)安全盆邊界的分?jǐn)?shù)維為1.432 5，表明系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)邊界分形侵蝕的現(xiàn)象。此時系統(tǒng)運動極不穩(wěn)定，系統(tǒng)對初值極度敏感，初值的微小移動都將導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)破壞或崩潰，在實際振動中應(yīng)避免此類參數(shù)。隨著ω繼續(xù)增加，黑色安全域的面積不斷增加，灰色不安全域的面積逐漸減小，但安全盆分形侵蝕的結(jié)構(gòu)依然存在，而且隨著ω的變化其分形結(jié)構(gòu)也在不同程度的變化，如圖3(e)～(h)所示。同樣該參數(shù)對系統(tǒng)振動極為不利，容易引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的破壞。隨著ω進(jìn)一步增大，安全盆邊界逐漸變得光滑，其自相似結(jié)構(gòu)逐漸消失，系統(tǒng)分形侵蝕結(jié)構(gòu)也不斷退化消失，如圖3(i)所示；當(dāng)ω增加到0.748時，系統(tǒng)分形結(jié)構(gòu)被完全侵蝕，此時系統(tǒng)安全區(qū)域面積不斷減小，不安全區(qū)域面積不斷增大，如圖3(j)～(k)所示。計算發(fā)現(xiàn)當(dāng)ω>0.751 6時，安全盆完全消失，即在有界區(qū)域D1內(nèi)對任何初始值，系統(tǒng)解都是不安全的，如圖3(l)所示。

由圖3知，隨著外激勵頻率ω的變化，系統(tǒng)安全區(qū)域發(fā)生豐富而又復(fù)雜的變化，安全盆也受到不同程度的侵蝕。如果將安全盆的突變現(xiàn)象(從完整的安全盆到侵蝕、直至完全消失)看作為一種分岔現(xiàn)象，將ω作為分岔參數(shù)，則ω1=0.740 6，ω2=0.742 4，ω3=0.751 6是系統(tǒng)的三個分岔點。即當(dāng)ω<ω1時，系統(tǒng)安全盆沒有被侵蝕，當(dāng)ω>ω1時，安全盆被慢慢侵蝕，見圖3(a)和3(b)；當(dāng)ω<ω2時，系統(tǒng)安全盆沒有出現(xiàn)分形侵蝕，當(dāng)ω>ω2時，安全盆出現(xiàn)分形侵蝕，見圖3(c)和3(d)；當(dāng)ω<ω3時，系統(tǒng)安全盆沒有完全消失，當(dāng)ω>ω3時，安全盆完全消失，見圖3(k)和3(l)。

圖3 系統(tǒng)安全盆隨ω的變化Fig.3 The erosion of safe basins of system via ω

由此可見，外激勵頻率ω的變化對系統(tǒng)安全盆的侵蝕過程以及分岔過程有重要的影響，是引起系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)邊界分形侵蝕的主要因素之一，也是影響系統(tǒng)振動安全性的主要因素之一。

2.2 安全盆的邊界光滑侵蝕與分岔

(8)

并把此區(qū)域劃分成500×500個胞空間，將每個胞的中心點作為系統(tǒng)解的初始值。選取表2系統(tǒng)無量綱參數(shù)值，對于不同的ζ2，系統(tǒng)安全盆變化情況如圖4所示。

圖4(a)為完整的安全盆圖形。當(dāng)ζ2增加至ζ2>0.247時，系統(tǒng)安全盆開始慢慢被侵蝕，如圖4(b)～(d)所示，黑色安全域的面積不斷減小，灰色不安全域的面積不斷增加，安全盆被侵蝕的程度不斷增強(qiáng)。隨著ζ2的繼續(xù)增加，黑色安全盆不斷從左右兩邊侵蝕，使系統(tǒng)安全盆變成一條類似河流的黑色“窄帶”，而且隨阻尼系數(shù)ζ2的增加，安全盆變得越來越窄，如圖4(e)～(h)所示，在有界區(qū)域D2內(nèi)，系統(tǒng)在絕大部分區(qū)域內(nèi)表現(xiàn)為不安全，而安全區(qū)域的面積變得非常小，甚至變成了一條曲線，見圖4(h)。在此參數(shù)條件下，系統(tǒng)振動變得非常危險，在大部分區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)解都不安全。計算發(fā)現(xiàn)當(dāng)ζ2>0.507時，系統(tǒng)安全盆被完全侵蝕，在整個有界區(qū)域D2內(nèi)系統(tǒng)均表現(xiàn)為不安全解。

表2 系統(tǒng)無量綱參數(shù)取值表

由圖4知，隨ζ2的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了由完整安全盆到慢慢被侵蝕、最終到安全盆完全消失的過程。如果將安全盆的突變現(xiàn)象(從完整的安全盆到侵蝕、直至完全消失)看作為一種分岔現(xiàn)象，將ζ2作為分岔參數(shù)，則ζ2=0.247，ζ2=0.507是系統(tǒng)的兩個分岔點。即當(dāng)ζ2<0.247時，系統(tǒng)安全盆沒有被侵蝕，當(dāng)ζ2>0.247時，系統(tǒng)安全盆開始慢慢被侵蝕，見圖4(a)和4(b)；當(dāng)ζ2<0.507時，系統(tǒng)安全盆沒有被完全侵蝕，見圖4(h)，當(dāng)ζ2>0.507時，系統(tǒng)安全盆完全被侵蝕。

圖4 系統(tǒng)(4)安全盆隨ζ2的侵蝕過程Fig.4 The erosion of safe basins of system (4) via ζ2

由此可見，阻尼液系數(shù)ζ2的變化同樣對系統(tǒng)安全盆的侵蝕與分岔有重要影響。但在整個侵蝕過程中并沒有出現(xiàn)具有自相似結(jié)構(gòu)的分形邊界，系統(tǒng)安全盆邊界始終是光滑的，安全盆的侵蝕屬于邊界光滑侵蝕。下文根據(jù)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)研究安全盆出現(xiàn)邊界分形侵蝕和邊界光滑侵蝕的機(jī)理及其區(qū)別。

3 安全盆侵蝕的Lyapunov指數(shù)分析

安全盆的侵蝕意味著系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的破壞，而最大Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)運動是否穩(wěn)定最直接、最有效的方法之一。對比圖3，當(dāng)ω=ω1=0.740 6時系統(tǒng)安全盆發(fā)生分岔，即安全盆開始被侵蝕，但在侵蝕過程中并沒有出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu)，選取表1中系統(tǒng)無量綱參數(shù)，取ω=0.74和ω=0.741分別計算其最大Lyapunov指數(shù)隨迭代次數(shù)n的變化圖如圖5(a)和5(b)所示，圖中采用了100 000次迭代，并將前40 000次迭代作為暫態(tài)予以略去(下同)，由圖可見，在安全盆分岔前后其最大Lyapunov指數(shù)均小于零，表明此時系統(tǒng)安全盆受到侵蝕后并沒有出現(xiàn)混沌運動。系統(tǒng)振動幅值不斷擴(kuò)大并逃逸出有界區(qū)域D1，導(dǎo)致系統(tǒng)安全盆受到侵蝕。

圖5 分形侵蝕時系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)Fig.5 The Top Lyapunov Exponent of the system with the change of iteration number n as fractal erosion

在圖3中，當(dāng)ω=ω2=0.742 4系統(tǒng)安全盆再次發(fā)生分岔，分岔后系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu)，其它參數(shù)保持不變，分別取ω的值為0.742、0.742 4、0.743和0.744，計算其隨迭代次數(shù)n變化時的最大Lyapunov指數(shù)如圖5(c)所示，圖中當(dāng)ω=0.742時(即安全盆分岔前，系統(tǒng)安全盆沒有出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu))，其最大Lyapunov指數(shù)仍小于零；當(dāng)ω=0.742 4時系統(tǒng)安全盆發(fā)生分岔，其最大Lyapunov指數(shù)在零線附近上下波動；當(dāng)ω=0.743時(即安全盆分岔后，系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu))，其最大Lyapunov指數(shù)大于零。經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu)時，其最大Lyapunov指數(shù)始終大于零，而且分形侵蝕結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，其最大Lyapunov指數(shù)值越大。

當(dāng)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動，意味著穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流行在Poincaré截面上橫截相交，出現(xiàn)同宿分岔。由于同宿軌線斷裂會引起安全盆邊界的分形[22]，所以只有當(dāng)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零時，系統(tǒng)安全盆才可能出現(xiàn)分形侵蝕的結(jié)構(gòu)。這與文獻(xiàn)[13]根據(jù)Melnikov過程在均方意義上出現(xiàn)簡單零點的條件給出系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)分形侵蝕的臨界值在結(jié)論上相一致。

對比圖4，系統(tǒng)安全盆從兩邊邊界不斷被侵蝕，當(dāng)ζ2=0.247時系統(tǒng)安全盆發(fā)生分岔，即系統(tǒng)完整的安全盆開始被侵蝕，但在侵蝕過程中系統(tǒng)邊界始終是光滑的，沒有出現(xiàn)自相似的分形結(jié)構(gòu)。取表2系統(tǒng)無量綱參數(shù)，分別選取阻尼系數(shù)ζ2的值為0.24和0.25計算系統(tǒng)在分岔點前后其最大Lyapunov指數(shù)隨迭代次數(shù)n的變化圖如圖6(a)和6(b)所示，由圖知系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)值在安全盆分岔前后均小于零，即系統(tǒng)安全盆受到侵蝕后并沒有出現(xiàn)混沌運動；當(dāng)ζ2=0.507時系統(tǒng)安全盆再次發(fā)生分岔，系統(tǒng)安全盆被完全侵蝕，同樣在侵蝕過程中沒有出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)，保持其它參數(shù)不變，分別取ζ2=0.47和ζ2=0.51計算其隨迭代次數(shù)n變化時的最大Lyapunov指數(shù)如圖6(c)所示，由圖知，即使系統(tǒng)安全盆被完全侵蝕，系統(tǒng)振動變得不安全，但其最大Lyapunov指數(shù)在安全盆分岔前后均小于零。經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)圖4中在安全盆的侵蝕過程中，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)始終小于零。由此可見，系統(tǒng)安全盆在邊界光滑侵蝕過程中并沒有出現(xiàn)混沌運動，只是系統(tǒng)振動幅值有所擴(kuò)大并跳出有界區(qū)域D2，導(dǎo)致系統(tǒng)安全盆受到侵蝕。

圖6 邊界侵蝕時系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)Fig.6 The Top Lyapunov exponent of the system with the change of iteration number n as boundary erosion

綜上所述，隨系統(tǒng)參數(shù)的變化，在安全盆的侵蝕過程中，當(dāng)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動，系統(tǒng)穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流行在Poincaré截面上橫截相交，出現(xiàn)同宿分岔，同宿軌線的斷裂導(dǎo)致系統(tǒng)安全盆出現(xiàn)邊界分形侵蝕的結(jié)構(gòu)。在安全盆邊界光滑侵蝕過程中，系統(tǒng)相應(yīng)最大Lyapunov指數(shù)始終小于零，安全盆邊界光滑侵蝕是由系統(tǒng)振動幅值不斷擴(kuò)大并逃逸出有界區(qū)域而引起的，在此過程中系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)混沌運動，也沒有出現(xiàn)同宿分岔。也就是說，在安全盆侵蝕過程中，只有當(dāng)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零時，系統(tǒng)才有可能出現(xiàn)分形侵蝕的結(jié)構(gòu)。

4 結(jié) 論

本文考慮減振鏜桿系統(tǒng)中橡膠圈和阻尼液的非線性因素對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，建立了系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型。研究系統(tǒng)隨外激勵頻率ω和阻尼系數(shù)ζ2變化時安全盆的侵蝕與分岔，結(jié)合最大Lyapunov指數(shù)對減振鏜桿系統(tǒng)安全盆的侵蝕與分岔過程進(jìn)行了分析，得到以下結(jié)論：

(1)隨著外激勵頻率ω的增加，系統(tǒng)完整的安全盆逐漸侵蝕，在此過程中系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)始終小于零，系統(tǒng)沒有出現(xiàn)混沌運動；當(dāng)ω增加到一定值時，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形在Poincaré截面上橫截相交，出現(xiàn)同宿分岔，同宿軌線斷裂導(dǎo)致安全盆邊界出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu)。

(2)隨著阻尼系數(shù)ζ2的增加，系統(tǒng)安全盆由兩邊界不斷被侵蝕并最終消失。在安全盆的侵蝕與分岔過程中，安全盆的邊界始終是光滑的，系統(tǒng)沒有出現(xiàn)邊界分形侵蝕的結(jié)構(gòu)，其最大Lyapunov指數(shù)始終小于零，系統(tǒng)沒有出現(xiàn)混沌運動，只是系統(tǒng)振動幅值不斷增大并跳出有界區(qū)域，導(dǎo)致系統(tǒng)安全盆被侵蝕，從而導(dǎo)致系統(tǒng)振動結(jié)構(gòu)的破壞。

(3)當(dāng)安全盆出現(xiàn)邊界分形侵蝕時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動，其相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)大于零；當(dāng)安全盆出現(xiàn)邊界光滑侵蝕時，系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)混沌運動，其相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)始終小于零，只是振動幅值有所增大而已。此外，在判斷安全盆是否出現(xiàn)分形侵蝕結(jié)構(gòu)時，與Melnikov過程相比，本文通過計算系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)給出系統(tǒng)出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)的臨界值的方法計算簡單、方便，通用性強(qiáng)。本文的研究結(jié)果對減振鏜桿的設(shè)計及參數(shù)優(yōu)化有一定的理論參考價值。