趙建學(xué)， 俞 翔， 柴 凱， 楊慶超

(1. 海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033； 2. 海軍工程大學(xué) 科研部，武漢 430033)

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)因具有良好的低頻隔振效果[1-6]，在艦船動(dòng)力設(shè)備振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。然而，非線性系統(tǒng)的多值性本質(zhì)使得準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)可能存在多個(gè)吸引子，當(dāng)初始條件不同時(shí)，系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定運(yùn)行在不同振幅的吸引子上，如果沒有受到擾動(dòng)，因?yàn)楣泊嫖佣际欠€(wěn)定的，所以系統(tǒng)不會(huì)自動(dòng)遷移到另一個(gè)吸引子；當(dāng)受到擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)則可能通過躍遷從振幅較大的狀態(tài)變?yōu)檎穹^小的狀態(tài)，但也有可能從振幅較小的狀態(tài)變?yōu)檎穹^大的狀態(tài)，這個(gè)過程取決于受到的擾動(dòng)。系統(tǒng)運(yùn)行在不同振幅的吸引子時(shí)具有不同的隔振效果，若系統(tǒng)運(yùn)行在大振幅吸引子上，會(huì)影響艦船設(shè)備的正常工作，縮短使用壽命，因此有必要對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的吸引子及其吸引域進(jìn)行詳細(xì)分析，并應(yīng)用吸引子遷移控制方法，使系統(tǒng)遷移至小振幅吸引子上，實(shí)現(xiàn)減振降噪。這對(duì)基于準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主動(dòng)控制研究具有重要意義。

關(guān)于混沌控制最早提出的是輸運(yùn)控制[7]和參數(shù)輸運(yùn)控制[8]。這兩種控制方法要求系統(tǒng)必須是耗散的，且不受控時(shí)系統(tǒng)的不穩(wěn)定解不能作為控制目標(biāo)。因此，Jackson等[9]在輸運(yùn)控制的基礎(chǔ)上又提出了開閉環(huán)控制方法，證明了自治Duffing振子、Lorenz系統(tǒng)及Rossler系統(tǒng)開閉環(huán)控制傳輸域的全局性，并實(shí)現(xiàn)了Van der Pol系統(tǒng)的開閉環(huán)控制。目前，開閉環(huán)控制方法已成功應(yīng)用于很多復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。如Chen等[10-12]研究了該方法在logistic、Henon映射、Gaussian映射以及超混沌映射的輸運(yùn)控制中的應(yīng)用，且提出了參數(shù)開閉環(huán)控制方法。沈建和等[13]基于開閉環(huán)控制思想，設(shè)計(jì)了一類由外激勵(lì)力和線性誤差反饋組成的開閉環(huán)控制器，研究了Mathieu-Duffing振子混沌軌道至任意目標(biāo)周期軌道的控制問題，同時(shí)利用Liapunov穩(wěn)定性理論與二階常微分方程初值問題的比較定理證明了夾帶盆的全局性。針對(duì)一類多項(xiàng)式混沌，王杰等[14]提出了開環(huán)加非線性閉環(huán)控制方法，將系統(tǒng)的解傳遞到任意給定目標(biāo)，并證明其傳遞域是全局穩(wěn)定的。Chen等[15]應(yīng)用開環(huán)加非線性閉環(huán)方法對(duì)強(qiáng)迫Duffing系統(tǒng)和強(qiáng)迫van der Pol系統(tǒng)等二階非自治常微分方程進(jìn)行了研究，證明了輸運(yùn)域的全局性。

本文建立了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用點(diǎn)映射方法得到了典型參數(shù)下系統(tǒng)的全局性態(tài)，并應(yīng)用開環(huán)加閉環(huán)控制方法仿真實(shí)現(xiàn)了吸引子的遷移控制，使系統(tǒng)由振幅大吸引子遷移至振幅小的吸引子上，從而達(dá)到了減振降噪的目的。

1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)全局性態(tài)分析

準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的一般理論模型如圖1所示。準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)由1個(gè)具有正剛度的豎直彈簧和2個(gè)具有負(fù)剛度的傾斜彈簧構(gòu)成[16]。圖1中，F(xiàn)表示外界激勵(lì)力，k0，k1分別表示傾斜彈簧和豎直彈簧的剛度；L0表示傾斜彈簧的長度；h表示系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)豎直彈簧的壓縮量；a表示傾斜彈簧安裝位置到系統(tǒng)中心的距離；z表示O點(diǎn)的的位移。

圖1 準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)理論模型Fig.1 The theoretical model of quasi zero stiffness system

然后建立準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型，如圖2所示，c表示系統(tǒng)阻尼，F(xiàn)表示外界激勵(lì)力，y表示系統(tǒng)的位移，m為被隔振設(shè)備質(zhì)量。以向下為正方向，當(dāng)F=PcosΩT的激勵(lì)力作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的無量綱動(dòng)力學(xué)方程[17]為

(1)

其中，

圖2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)示意圖Fig.2 The diagram of quasi zero stiffness

對(duì)系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔特性進(jìn)行研究，即固定系統(tǒng)(3)的激勵(lì)力頻率ω=1.5，而以激勵(lì)力幅值f為分岔分析的控制參數(shù)。采用延拓算法，即將在fn求得的解直接作為fn+1=fn+Δf時(shí)的初始條件，并將f在0～5范圍內(nèi)向前延拓和向后延拓得到所有的解枝在分岔圖上表示出來。

當(dāng)f=0.8時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)周期1吸引子，相軌跡和Poincare映射如圖4所示。

圖3 系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值變化的分岔圖(0≤f≤5)Fig.3 The bifurcation diagram of system varying with exciting force amplitude(0≤f≤5)

圖4 共存吸引子的相圖以及Poincare映射Fig.4 The phase diagram of coexisting attractors and Poincare maps

圖5 吸引子及其吸引域圖Fig.5 The diagram of attractors and domain of attraction

2 單自由度非線性隔振系統(tǒng)遷移控制律

對(duì)于單自由度非線性隔振系統(tǒng)

(2)

設(shè)目標(biāo)軌道函數(shù)為gx(t)，gy(t)。目標(biāo)軌道函數(shù)需在相圖上連接共存吸引子的吸引域。開關(guān)函數(shù)為S(t)，即當(dāng)滿足某一條件時(shí)，S(t)=1，否則S(t)=0。

引入開環(huán)控制律得

(3)

第二種是閉環(huán)控制方法，引入閉環(huán)控制律

(4)

其中A為適當(dāng)選定的2×2矩陣。閉環(huán)控制律為

第三種方法是開環(huán)加閉環(huán)控制(OPCL)方法，引入開環(huán)加閉環(huán)控制律得

(5)

開環(huán)加閉環(huán)控制律為

(6)

式中：C(g,t)=DgF-B,DgF是F(gx,gy,t)關(guān)于gx，gy的雅克比式；B=bij為任意具有負(fù)特征值的2×2對(duì)角矩陣。

3 吸引子遷移控制

由圖4可看出，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行于f=0.8的條件下時(shí)，第一個(gè)周期1吸引子較第二個(gè)周期1吸引子振幅小。但由于初始條件不確定，系統(tǒng)有可能運(yùn)行在振幅大的第二個(gè)周期1吸引子上。這時(shí)，可以在兩個(gè)周期1吸引子的吸引域之間建立一條通道，即目標(biāo)軌道，通過吸引子遷移控制使得系統(tǒng)沿著目標(biāo)軌道從較大振幅的第二個(gè)周期1吸引子的吸引域遷移至較小振幅的第一個(gè)周期1吸引子的吸引域內(nèi)，這樣系統(tǒng)會(huì)運(yùn)行在較小振幅的第一個(gè)周期1吸引子上，從而達(dá)到減振降噪的目的。

系統(tǒng)(2)可變化為

(7)

采用開環(huán)加閉環(huán)控制(OPCL)方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行吸引子遷移控制。選取目標(biāo)軌道函數(shù)gx=10-0.05t，gy=-0.05，可知該目標(biāo)軌道函數(shù)在相圖上連接了共存吸引子的吸引域。矩陣取b11=-100，b12=0，b21=0，b22=-100。代入上節(jié)所取參數(shù)可得

開關(guān)函數(shù)S(t)設(shè)置為時(shí)間大于200 s后(系統(tǒng)已穩(wěn)定運(yùn)行)，若系統(tǒng)運(yùn)行于第二個(gè)周期1吸引子的吸引域內(nèi)，則啟動(dòng)控制，即令S(t)=1，當(dāng)系統(tǒng)被遷移至第一個(gè)周期1吸引子的吸引域時(shí)關(guān)閉控制，即令S(t)=0。

圖6 開環(huán)加閉環(huán)控制下的系統(tǒng)相軌跡圖Fig.6 The phase trajectory of the system under open loop plus closed loop control

系統(tǒng)相軌跡如圖6所示。黑色實(shí)線表示未施加控制前系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡；灰色虛線表示施加控制后關(guān)閉控制前系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡；灰色實(shí)線表示關(guān)閉控制后系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡，下同?？梢钥闯觯到y(tǒng)一開始運(yùn)行在較大振幅的第二個(gè)周期1吸引子上，施加控制后，系統(tǒng)沿著目標(biāo)軌道被遷移至第一個(gè)周期1吸引子的吸引域內(nèi)，關(guān)閉控制后，系統(tǒng)經(jīng)過短暫瞬態(tài)過程，開始運(yùn)行在較小振幅的第一個(gè)周期1吸引子上，振幅較施加控制前明顯減小，從而實(shí)現(xiàn)減振降噪。

圖7 開環(huán)控制下的系統(tǒng)相軌跡圖Fig.7 The phase trajectory of the system under open loop control

若對(duì)系統(tǒng)施加開環(huán)控制，系統(tǒng)相軌跡如圖7所示。可以看出，系統(tǒng)一開始運(yùn)行在較大振幅的第二個(gè)周期1吸引子上，施加開環(huán)控制后，系統(tǒng)運(yùn)行軌跡混亂無序，且并未被遷移至目標(biāo)軌道，關(guān)閉控制后，系統(tǒng)仍運(yùn)行在第二個(gè)周期1吸引子上，無法實(shí)現(xiàn)吸引子遷移。

圖8 閉環(huán)控制下的系統(tǒng)相軌跡圖Fig.8 The phase trajectory of the system under closed loop control

若對(duì)系統(tǒng)施加閉環(huán)控制，系統(tǒng)相軌跡如圖8所示?？梢钥闯觯到y(tǒng)一開始運(yùn)行在較大振幅的第二個(gè)周期1吸引子上，施加閉環(huán)控制后，系統(tǒng)不能精確被遷移至目標(biāo)軌道，致使無法準(zhǔn)確到達(dá)第一個(gè)周期1吸引子的吸引域，關(guān)閉控制后，系統(tǒng)仍運(yùn)行在第二個(gè)周期1吸引子上，無法實(shí)現(xiàn)吸引子遷移，也就無法實(shí)現(xiàn)減振降噪。

4 穩(wěn)定性與可行性分析

令x(t)=g(t)+u(t)，代入式(6)且當(dāng)S(t)=1時(shí)可得

在F(g+u,t)處進(jìn)行展開

(8)

代入式(7)可得

(9)

解得ux=exp(b11t)，因?yàn)閎11<0，所以當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，ux趨于零；對(duì)于上節(jié)所取的目標(biāo)軌道函數(shù)gx，可知存在0<(M,β)<∞，使得2b11+β<0和|gx(t)|

由上述可知，只要恰當(dāng)選取具有負(fù)特征值的對(duì)角矩陣B，以及連接兩個(gè)吸引子的吸引域且滿足有界條件|gx(t)|

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行吸引子遷移控制的前提是存在共存吸引子。工程實(shí)際中，隔振系統(tǒng)工況較為復(fù)雜，極大可能存在吸引子共存現(xiàn)象。開環(huán)加閉環(huán)控制率可嘗試采用作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)?？刂崎_關(guān)可采用繼電器和位移傳感器等構(gòu)成。

5 結(jié) 論

本文建立了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型，畫出分岔圖研究了吸引子共存現(xiàn)象，并利用點(diǎn)映射方法分析共存吸引子的吸引域。在共存吸引子的吸引域之間建立了一條目標(biāo)軌道，分別采用開環(huán)、閉環(huán)和開環(huán)加閉環(huán)控制方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了吸引子遷移控制。同時(shí)，對(duì)開環(huán)加閉環(huán)控制方法的穩(wěn)定性和可行性進(jìn)行了分析?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：

(1)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)隨激勵(lì)力幅值的變化呈現(xiàn)出較為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，存在吸引子共存現(xiàn)象。

(2)對(duì)于單自由度準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，開環(huán)或閉環(huán)控制難以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)吸引子的遷移控制；開環(huán)加閉環(huán)控制可使系統(tǒng)沿著目標(biāo)軌道在不同振幅吸引子的吸引域之間遷移，使系統(tǒng)由大振幅吸引子遷移至小振幅吸引子上，實(shí)現(xiàn)減振降噪。該方法為提高非線性隔振系統(tǒng)的隔振效果提供了新的思路。

(3)通過適當(dāng)選取目標(biāo)軌道函數(shù)和控制律，可保證吸引子遷移控制的穩(wěn)定性。開環(huán)加閉環(huán)控制率可嘗試采用作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)。控制開關(guān)可采用繼電器和位移傳感器等構(gòu)成。