郭蓓蓓， 王 軍,2

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122； 2. 江蘇省先進(jìn)食品裝備制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122)

非線性包裝系統(tǒng)常常由于緩沖材料的非線性或?qū)嶋H阻尼的存在而使系統(tǒng)表現(xiàn)為強(qiáng)非線性，使得問(wèn)題的理論分析解非常困難。在包裝工程領(lǐng)域，緩沖包裝材料的非線性常表現(xiàn)為三次、正切、雙曲正切型等。而系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析處理一般采用數(shù)值分析方法，該方法簡(jiǎn)單可操作，但只能得到系統(tǒng)響應(yīng)散點(diǎn)圖其無(wú)法確切描述系統(tǒng)在任意瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且難以明確表示跌落沖擊持續(xù)時(shí)間。

對(duì)于非線性問(wèn)題近似解析解的求解，變分迭代法(Variational Iteration Method, VIM)[1-6]、攝動(dòng)法[9-11]、何氏頻率-振幅關(guān)系(HFAF)[12]、同倫分析法[8]等嘗試較多。其處理問(wèn)題各有優(yōu)缺點(diǎn)，但都計(jì)算較復(fù)雜耗時(shí)。通常攝動(dòng)法是指在簡(jiǎn)單問(wèn)題的解附近求解困難問(wèn)題級(jí)數(shù)解的方法，其系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程含有小參數(shù)ε，方程的解會(huì)依賴參數(shù)ε。小參數(shù)的選擇成為了至關(guān)重要的問(wèn)題，選擇得當(dāng)，可達(dá)到理想結(jié)果，若選擇不當(dāng)，結(jié)果反之。而同倫攝動(dòng)法[13-18]不依賴任何小(或者大)參數(shù)，而是應(yīng)用同倫技術(shù)構(gòu)造一個(gè)含嵌入?yún)?shù)q∈[0,1]的方程，然后把嵌入?yún)?shù)作為小參數(shù)，這樣既可以克服傳統(tǒng)攝動(dòng)理論的不足，又可以充分應(yīng)用各種攝動(dòng)方法。方程的近似解可以寫(xiě)成一系列無(wú)窮級(jí)數(shù)相加的形式，并且這個(gè)級(jí)數(shù)和收斂于它的精確解，其結(jié)果顯示該方法是一種更有效，更具一般性的分析手段。

緩沖包裝設(shè)計(jì)中，通常需要對(duì)產(chǎn)品樣品進(jìn)行多次跌落測(cè)試，試驗(yàn)可重復(fù)性差。而最大加速度響應(yīng)是評(píng)價(jià)緩沖包裝有效性的一個(gè)重要指標(biāo)。為了減少試驗(yàn)次數(shù)更好的保護(hù)樣品，可以對(duì)樣品進(jìn)行安全高度(低高度)的跌落試驗(yàn)來(lái)預(yù)測(cè)目標(biāo)跌落高度(較大高度)下產(chǎn)品的響應(yīng)加速度，那么緩沖包裝動(dòng)力學(xué)方程的理論解析解求解是至關(guān)重要的一步。本文以正切型非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊為例，采用同倫攝動(dòng)法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解并結(jié)合能量法對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正得到其一階近似解析解，證明同倫攝動(dòng)法的簡(jiǎn)單有效性。

1 攝動(dòng)法的基本思想

選取非線性代數(shù)方程

A(x)=0

(1)

引入嵌入變量q∈[0,1]， 分別選取輔助線性算子L(u)和非線性算子N(u)， 將方程(1)轉(zhuǎn)換如下

L(u)+N(u)=0

(2)

構(gòu)造一個(gè)同倫函數(shù)H(u,q):Ω×[0,1]→R, 滿足

(3)

式中：q∈[0,1]為嵌入變量，x0是原方程(1)的初始解，并且滿足邊界條件。 當(dāng)q=0時(shí)

H(u,0)=L(u)-L(x0)=0

(4)

當(dāng)q=1時(shí)

H(u,1)=N(u)+L(u)=0

當(dāng)q從0變換到1時(shí)，H(u,q)從初始解u0(t)變換到u(t)， 把q當(dāng)做小參數(shù)， 方程的解表達(dá)成q的冪級(jí)數(shù)

u=u0+qu1+q2u2+…

(6)

當(dāng)q=1時(shí)， 方程的解為

(7)

2 能量法的基本思想

在非線性系統(tǒng)的跌落沖擊問(wèn)題分析中，通常使用能量法(EM)來(lái)得到系統(tǒng)的最大位移和最大加速度，但是難以得到系統(tǒng)響應(yīng)的周期和時(shí)間歷程。對(duì)于非線性系統(tǒng)的跌落沖擊問(wèn)題，若不考慮系統(tǒng)阻尼，理想情況下，當(dāng)緩沖材料變形達(dá)到最大值xm時(shí)， 系統(tǒng)的重力勢(shì)能將全部轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能。假設(shè)包裝系統(tǒng)的跌落高度為h，產(chǎn)品重量為W，系統(tǒng)的重力勢(shì)能表達(dá)如下

U=Wh

(8)

對(duì)于非線性包裝系統(tǒng)，f(x)指恢復(fù)力， 是且僅是x的非線性函數(shù)。根據(jù)能量法，有

(9)

3 正切型非線性包裝系統(tǒng)的響應(yīng)求解

3.1 包裝系統(tǒng)的同倫攝動(dòng)法求解

對(duì)于正切型非線性包裝系統(tǒng)，若不考慮阻尼的影響，系統(tǒng)跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程和初始條件如下

(10)

(11)

進(jìn)行泰勒展開(kāi)并取前三項(xiàng)

(12)

這樣將正切型非線性方程轉(zhuǎn)化成高階非線性微分方程

(13)

(14)

(15)

對(duì)于上式方程及初始條件，采用如下的線性及非線性算子

(16)

其中，

g(u)=ku3+bu5

(17)

構(gòu)造如下同倫

H(u,q)=L(u)-L(x0)+q[N(u)+L(x0)]=0

(18)

0≤q≤1, 把q當(dāng)做小參數(shù)， 解表示為q的冪級(jí)數(shù)形式

u=u0+qu1+q2u2+…

(19)

將解的表達(dá)式代入方程如下

L(u0+qu1+q2u2+…+qnun)-L(x0)+
q[N(u0+qu1+q2u2+…+qnun)+L(x0)]=0

(20)

令q的同次冪的系數(shù)相同

(21)

(22)

求解上式得

u0=x0=Asinωt

(23)

同時(shí)方程(21)變?yōu)?/p>

(24)

(25)

將上式代入式(24)得

(26)

令

u1=Bsint+Csinωt+Dsin 3ωt+Esin 5ωt

(27)

(28)

(29)

聯(lián)立式(1)和式(2)，采用待定系數(shù)法求解參數(shù)

(30)

為了消除長(zhǎng)期項(xiàng)，令

(31)

解得

(32)

所以方程的位移近似解為

(33)

(34)

對(duì)上式求一階及二階導(dǎo)得方程的速度及加速度解析式如下

(35)

(36)

為了分析比較方程近似解精度，取參考文獻(xiàn)[3]中的參數(shù)做參考分析精度，這樣不僅可以更好的分析同倫攝動(dòng)法精度，也易將其與其他非線性分析方法結(jié)果進(jìn)行優(yōu)缺點(diǎn)比較。其中：m=10 kg,h=0.6 m,k0=600 N/cm,r=72 N/cm3,a=0.000 1 N/cm5。

結(jié)合初始條件，得到振幅A=3.196 cm， 頻率ω=107.32 s-1。

表1 正切型非線性系統(tǒng)HPM算法和能量法修正與Runge-Kutta算法的結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of solutions obtained by HPM and CHPM(E) with that of Runge-Kutta method for the tangent nonlinear system

3.2 能量法修正算法

利用能量法對(duì)同倫攝動(dòng)法結(jié)果進(jìn)行修正，如下

(37)

最大位移可通過(guò)下式計(jì)算

(38)

圖1和圖2分別表示正切型非線性包裝系統(tǒng)的HPM算法及CHPM算法的位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)與Runge-Kutta算法結(jié)果的對(duì)比圖，由圖1知，HPM算法及CHPM算法的位移曲線基本與Runge-Kutta法結(jié)果吻合，修正后誤差更小。由圖2得，HPM與Runge-Kutta法的最大加速度誤差相差較明顯，但CHPM結(jié)果曲線卻與Runge-Kutta法高度吻合，說(shuō)明修正后的結(jié)果更滿足工程要求。

圖1 正切型非線性系統(tǒng)HPM和能量法修正與Runge-Kutta算法位移響應(yīng)對(duì)比Fig.1 Comparison of the displacement response by HPM and CHPM (energy method) with the numerical simulation solved by the Runge-Kutta method for the tangent nonlinear system

圖2 正切型非線性系統(tǒng)HPM和能量法修正與Runge-Kutta算法加速度響應(yīng)對(duì)比Fig.2 Comparison of the acceleration response by HPM and CHPM (energy method) with the numerical simulation solved by the Runge-Kutta method for the tangent nonlinear system

4 結(jié) 論

緩沖包裝系統(tǒng)是對(duì)各種實(shí)際緩沖包裝件的抽象，它對(duì)外部沖擊和振動(dòng)等作用的響應(yīng)是進(jìn)行緩沖包裝設(shè)計(jì)的理論依據(jù)，研究包裝系統(tǒng)跌落沖擊問(wèn)題的最大位移和最大加速度顯得尤為重要。本文采用同倫攝動(dòng)法與能量法的結(jié)合研究了正切型非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)問(wèn)題，并與Runge-Kutta法比較，結(jié)果表明該算法具有足夠的精度，可以滿足一般工程需要，同時(shí)證明同倫攝動(dòng)法不僅可以有效解決非線性振動(dòng)問(wèn)題，同時(shí)也為解決跌落沖擊問(wèn)題提供了新思路。