潘兆東， 譚 平， 周福霖

(1. 東莞理工學(xué)院 建筑工程系，廣東 東莞 523808； 2. 廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州 510405)

對(duì)于大型建筑結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)集中控制由于其自身特點(diǎn)將不可避免的面臨如下問(wèn)題：①整個(gè)控制系統(tǒng)信息交換異常復(fù)雜且極易造成滯后，從而導(dǎo)致系統(tǒng)集成和運(yùn)行成本提高，系統(tǒng)的可靠性降低；②一旦個(gè)別傳感器或作動(dòng)器發(fā)生故障，則容易導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)失效，可能造成人員和財(cái)產(chǎn)的巨大損失。因此，分散控制理論在近年來(lái)得到了廣泛的關(guān)注。在分散控制系統(tǒng)中，每個(gè)子系統(tǒng)控制器獨(dú)立對(duì)結(jié)構(gòu)局部進(jìn)行控制(控制分散化)，便于對(duì)出現(xiàn)在局部的干擾做出快速響應(yīng)[1]。

然而，以往對(duì)于分散控制的研究多集中在算法應(yīng)用與試驗(yàn)研究方面[2-12]。分散控制系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題方面的研究則相對(duì)較少，且僅針對(duì)控制器參數(shù)的優(yōu)化[13-14]，并未涉及子系統(tǒng)如何劃分、各子系統(tǒng)內(nèi)作動(dòng)器數(shù)量等問(wèn)題的優(yōu)化，不具備普遍適用性。

鑒于此，本文提出一種適合于土木工程振動(dòng)控制的分散控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法建立在可控性指標(biāo)[15]、粒子群[16]-差分進(jìn)化[17]多目標(biāo)混合群算法以及分散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)求解基礎(chǔ)上。首先利用結(jié)構(gòu)可控性指標(biāo)對(duì)控制裝置最優(yōu)布置樓層進(jìn)行確定；其次，在隨機(jī)地震激勵(lì)下，利用多目標(biāo)混合群優(yōu)化算法對(duì)各子系統(tǒng)內(nèi)作動(dòng)器數(shù)量和控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，多目標(biāo)混合群算法同時(shí)采用粒子群(Particle Swarm Optimization, PSO)算法與差分進(jìn)化(Differential Evolution, DE)算法進(jìn)行對(duì)應(yīng)種群的進(jìn)化，使用莊家法則構(gòu)造非支配解集[18]，并結(jié)合土木工程結(jié)構(gòu)控制特點(diǎn)(有較好的控制效果)及實(shí)現(xiàn)性(較低的控制能量)，提出邊界點(diǎn)幾何中心leader選擇機(jī)制，在滿足種群進(jìn)化多樣性要求的同時(shí)保證了收斂速度。最后，以一12層框架結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明所提出的優(yōu)化方法能有效解分散控制系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題。

1 可控性指標(biāo)

分散控制系統(tǒng)由若干個(gè)獨(dú)立的子控制系統(tǒng)組成，這就存在子系統(tǒng)如何劃分、子系統(tǒng)內(nèi)作動(dòng)器數(shù)量、作動(dòng)器位置及子控制器設(shè)計(jì)的耦合優(yōu)化問(wèn)題。其中，作動(dòng)器的布置位置不僅影響到結(jié)構(gòu)的整體控制效果和控制能量的大小，而且與整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可靠性以及控制成本息息相關(guān)。因此，本文首先利用可控性指標(biāo)對(duì)作動(dòng)器在受控結(jié)構(gòu)中的最優(yōu)布置位置進(jìn)行確定，該指標(biāo)建立在位移反應(yīng)譜基礎(chǔ)上，可以同時(shí)考慮多階振型的影響，具體如下

(1)

式中：m為考慮控制的結(jié)構(gòu)振型階數(shù)；h為作動(dòng)器布置位置占結(jié)構(gòu)總高的比例， 0≤h≤1；φi為無(wú)控結(jié)構(gòu)第i階振型， 其通過(guò)求解結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的特征方程求得；ri為與結(jié)構(gòu)第i階周期相對(duì)應(yīng)的位移反應(yīng)譜值(地震激勵(lì)下或規(guī)范譜)； Δh=h2-h1，h1和h2為作動(dòng)器的安裝位置； Δ[]為振型相關(guān)的作動(dòng)器位置空間系數(shù)。作動(dòng)器候選布置位置根據(jù)可控性指標(biāo)由大到小依次排列確定。

2 分散控制結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)求解

地震激勵(lì)作用下， 將n層受控結(jié)構(gòu)劃分為N個(gè)分散的子控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

求解式(6)即可得到分散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量zT的方差響應(yīng)。無(wú)控結(jié)構(gòu)與集中控制結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)求解過(guò)程與之相同，這里不再贅述。

3 分散控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在作動(dòng)器最優(yōu)布置樓層確定的基礎(chǔ)上采用多目標(biāo)混合群算法對(duì)各子控制系統(tǒng)內(nèi)每一層的作動(dòng)器數(shù)量和各子控制器反饋增益矩陣進(jìn)行優(yōu)化，分散控制系統(tǒng)多目標(biāo)算法優(yōu)化流程圖，如圖1所示。

圖1 分散控制系統(tǒng)MOHO優(yōu)化流程圖Fig.1 MOHO optimization flow chart of decentralized control system

3.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

定義兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：①結(jié)構(gòu)減震效果的改善：受控結(jié)構(gòu)和無(wú)控結(jié)構(gòu)最大層間位移均方差之比； ②分散控制策略的優(yōu)劣：主動(dòng)控制力的均方差總和、作動(dòng)器數(shù)量與位置。該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以表示為

(7)

3.2 粒子群-差分進(jìn)化多目標(biāo)混合群優(yōu)化算法

進(jìn)化策略是解決任何基于種群算法多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在進(jìn)化過(guò)程中，種群中的個(gè)體通過(guò)不斷的更新和選擇，直到達(dá)到終止準(zhǔn)則，分散控制系統(tǒng)的優(yōu)化同時(shí)涉及各子系統(tǒng)內(nèi)作動(dòng)器數(shù)量以及反饋增益的優(yōu)化，而采用單一的進(jìn)化策略則容易導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。因此，本文采用兩種進(jìn)化策略：差分進(jìn)化算法和粒子群算法。其中，子控制系統(tǒng)內(nèi)各層作動(dòng)器數(shù)量的種群個(gè)體更新采用粒子群算法，而決定各子控制器反饋增益的種群個(gè)體位置進(jìn)化則采取差分進(jìn)化算法。

如何構(gòu)造非支配集將直接影響算法的運(yùn)行效率，本文選擇速度快、效率高的非回溯型的莊家法則來(lái)構(gòu)造Pareto最優(yōu)解。為保證種群進(jìn)化多樣性及種群個(gè)體更新或變異時(shí)合理選擇leader的問(wèn)題，同時(shí)為獲得有較好的控制效果且控制能量較低的控制策略，提出一種基于非支配解集邊界點(diǎn)幾何中心的leader選擇策略(如圖2所示)，選取相對(duì)于假定非支配解集目標(biāo)中心解距離最近的解為leader。多目標(biāo)混合群算法各主要參數(shù)選擇見(jiàn)表1。

圖2 幾何中心leader選擇機(jī)制Fig.2 Leader selection based on geometry center

表1 MOHO算法參數(shù)

4 仿真分析

4.1 算例模型

以某12層混凝土框架結(jié)構(gòu)為例來(lái)驗(yàn)證本文多目標(biāo)分散控制優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。結(jié)構(gòu)長(zhǎng)28.8 m，寬15 m，高40.2 m(見(jiàn)圖3)。層高首層3.9 m，其余各層3.3 m，柱和梁的設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表2。結(jié)構(gòu)荷載布置滿足《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范GB50009—2015》相關(guān)要求。二類場(chǎng)地，一組，抗震設(shè)防烈度7度，結(jié)構(gòu)第一周期為1.16 s。

圖3 12層框架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Plan and elevation of 12-story frame structure

表2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)

4.2 確定最優(yōu)布置樓層

El Centro地震激勵(lì)下，不同周期結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)譜如圖4所示，由式(1)即可得結(jié)構(gòu)各層可控性指標(biāo)，當(dāng)受控振型增加至前五階時(shí)，結(jié)構(gòu)各層可控制性指標(biāo)不再發(fā)生變化。結(jié)構(gòu)僅考慮一階振型的可控性指標(biāo)和同時(shí)考慮前五階振型的可控性指標(biāo)如圖5所示。選擇可控性指標(biāo)值較大的前八個(gè)樓層(圖5(b))為控制裝置最優(yōu)布置位置，即在2～9層布置作動(dòng)器。

圖4 El Centro地震激勵(lì)位移反應(yīng)譜Fig.4 Displacement response spectrum of El Centro seismic excitation

圖5 結(jié)構(gòu)可控性指標(biāo)Fig.5 Structural controllability index

4.3 結(jié)構(gòu)分散控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

假定每層最多布置三個(gè)作動(dòng)器，單個(gè)作動(dòng)器做大允許控制力均方值為2 000 kN， 子控制器權(quán)矩陣Qi=10αiI2n×2n，R=INai×Nai，αi為子控制器i的待優(yōu)化參數(shù)，Nai為子系統(tǒng)i的作動(dòng)器個(gè)數(shù)。隨機(jī)地震激勵(lì)參數(shù)[19]：S0=1 cm2/s3，wg=17.95 rad/s，ξg=0.72。

在最優(yōu)布置樓層確定的基礎(chǔ)上生成所有可能的分散控制方案，考慮分散控制的可實(shí)現(xiàn)性以及成本控制，子系統(tǒng)個(gè)數(shù)不宜過(guò)多，以至少兩層為一子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分散化控制，共生成12種分散控制工況，限于篇幅，這里僅將3子系統(tǒng)分散控制方案各工況，見(jiàn)表3。

表3 3子系統(tǒng)分散控制工況表

為便于對(duì)各分散控制優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較分析，本文同時(shí)對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行集中控制優(yōu)化設(shè)計(jì)。圖6為利用多目標(biāo)混合群優(yōu)化方法進(jìn)行集中控制優(yōu)化時(shí)獲得的初始種群解、最終非劣解以及整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中選擇的所有l(wèi)eader。可以看出，依據(jù)本文提出的邊界點(diǎn)幾何中心leader選擇機(jī)制所確定的leader能很好的覆蓋結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制策略感興趣的范圍，因此最終非劣解中不會(huì)存在過(guò)多的不可實(shí)現(xiàn)解(J1無(wú)限趨于小值，J2偏大)和無(wú)意義解(J1無(wú)限趨于1)，滿足了種群進(jìn)化多樣性要求。同時(shí)，可以看出，基于雙進(jìn)化策略的MOHO算法最優(yōu)解集表現(xiàn)出很好的連續(xù)性和分布性，不存在遺失某一區(qū)間最優(yōu)解現(xiàn)象，其便于設(shè)計(jì)者從中選擇感興趣的結(jié)果。

圖6 集中控制優(yōu)化過(guò)程中Fig.6 The optimization process of Centralized control

3子系統(tǒng)、2子系統(tǒng)分散控制各工況的多目標(biāo)混合群算法最終非劣解集分別如圖7和圖8所示。選擇控制效果較好、控制能量較低部分進(jìn)行比較分析，可以發(fā)現(xiàn)，子系統(tǒng)個(gè)數(shù)相同情況下，在相同優(yōu)化目標(biāo)J1下，工況3Subs1、2Subs1和2Subs2需要較少的控制能量；分別將圖7、圖8與圖6進(jìn)行比較，可以看出，在相同優(yōu)化目標(biāo)J1下，各分散控制工況較集中控制工況而言需要較少的控制能量。

圖7 3子系統(tǒng)分散控制優(yōu)化過(guò)程Fig.7 The optimization process of the 3 subsystem decentralized control

圖8 2子系統(tǒng)分散控制優(yōu)化過(guò)程Fig.8 The optimization process of the 2 subsystem decentralized control

本算例4子系統(tǒng)分散控制方案僅存在一種分散控制工況，因此，不再繪出其最終非劣解集，僅在優(yōu)化結(jié)果時(shí)程驗(yàn)證中選擇一組結(jié)果進(jìn)行比較分析(表(4))。以J1=0.4，從集中控制與分散控制工況(2Subs1、2Subs2，3Subs1和4Subs)各選一組優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行時(shí)程響應(yīng)分析(El Centro波地震激勵(lì)，持時(shí)40 s，峰值為300 cm/s2)。集中控制與分散控制均采用絕對(duì)加速度反饋，通過(guò)建立相應(yīng)的Kalman濾波器對(duì)結(jié)構(gòu)的全狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，在此基礎(chǔ)上利用最優(yōu)狀態(tài)反饋增益生成施加于結(jié)構(gòu)上的控制力指令，單個(gè)作動(dòng)器最大允許出力1 000 kN。

分散控制工況3Subs1子系統(tǒng)劃分見(jiàn)表3，工況2Subs1子系統(tǒng)劃分為：2～4和5～9，工況2Subs2子系統(tǒng)劃分為：2～7和8～9，工況4Subs子系統(tǒng)劃分為：2～3，4～5，6～7和8～9。表4給出了從 Pareto最優(yōu)前沿曲線中選擇的集中控制和分散控制(子系統(tǒng)個(gè)數(shù)分別為2、3、4)的最優(yōu)個(gè)體所對(duì)應(yīng)的控制裝置位置、數(shù)量和相應(yīng)控制器的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，各最優(yōu)分散控制工況的控制力總均方差結(jié)果一致，且明顯小于集中控制，但各工況作動(dòng)器數(shù)量之和均相近。

圖9為El Centro波地震激勵(lì)下，集中控制與4種分散控制工況下結(jié)構(gòu)各層層間位移角峰值響應(yīng)與絕對(duì)加速度峰值響應(yīng)。結(jié)果表明，優(yōu)化后的集中控制與各分散控制均能有效抑制結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)；比較各分散控制工況下結(jié)構(gòu)的峰值響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)，增加子系統(tǒng)個(gè)數(shù)，結(jié)構(gòu)減震效果有所減小，加速度控制效果下降明顯，但并未出現(xiàn)放大現(xiàn)象；分散控制工況2Subs1和2Subs2的控制效果與集中控制結(jié)果接近，部分樓層控制效果甚至有所提高，其中，工況2Subs1層間位移與絕對(duì)加速度減震效果最大提高：18.8%和24.4%；工況2Subs2層間位移與絕對(duì)加速度減震效果最大提高：25.2%和62.7%。仿真分析結(jié)果充分驗(yàn)證了本文所提出的結(jié)合可控性指標(biāo)和雙進(jìn)化策略混合群算法的分散控制優(yōu)化方法的正確性與優(yōu)越性。

表4 多目標(biāo)混合群算法優(yōu)化結(jié)果

圖9 結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)Fig.9 Peak response of structures

5 結(jié) 論

(1) 本文基于結(jié)構(gòu)可控性指標(biāo)、粒子群-差分進(jìn)化多目標(biāo)混合群算法及分散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)求解提出的分散控制系統(tǒng)優(yōu)化方法能有效解決分散控制系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)作動(dòng)器位置、數(shù)量及控制器參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。

(2) 仿真分析驗(yàn)證了本文所提出邊界點(diǎn)幾何中心leader選擇機(jī)制的適用性和有效性；多目標(biāo)混合群算法最優(yōu)解前沿線具有很好的連續(xù)性和分布性，保證了針對(duì)每一設(shè)計(jì)性能要求都有對(duì)應(yīng)解，便于設(shè)計(jì)者選擇。

(3) 較無(wú)控結(jié)構(gòu)而言，優(yōu)化后的集中控制與各分散控制均能有效抑制結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)；在相同優(yōu)化目標(biāo)J1下，各最優(yōu)分散控制工況較集中控制工況而言需要較少的控制能量；時(shí)程分析結(jié)果表明，增加子系統(tǒng)個(gè)數(shù)，結(jié)構(gòu)減震效果有所減小，分散控制工況2Subs1和2Subs2的控制效果與集中控制結(jié)果接近，部分樓層控制效果有所提高。