秦美娟， 金肖玲， 陳志強(qiáng)， 黃志龍

(1.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院工程力學(xué)系，杭州 310027； 2.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094)

機(jī)械裝置的振動(dòng)很大程度影響著其使用壽命和工作效率，甚至引起破壞，如軸系結(jié)構(gòu)的斷軸事故。因此,結(jié)構(gòu)的減振分析受到了很多研究者的關(guān)注，提出了各種振動(dòng)抑制方法。離心擺減振器是被動(dòng)減振器中的一種，早在1929年已發(fā)明應(yīng)用于抑制內(nèi)燃機(jī)的扭振[1]，之后還廣泛用于抑制輕型飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)[2]、直升機(jī)旋翼[3]、船舶推進(jìn)軸系[4]等的振動(dòng)。一些軸系結(jié)構(gòu)除了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)還有其它形式的振動(dòng)如軸向振動(dòng)[5]，在軸向振動(dòng)的共振條件下軸向振幅顯著增大[6]，且現(xiàn)有資料表明：在軸系扭振得到較為完善的解決之后，斷軸事故中60%～80%是軸向振動(dòng)引起的[7]。1949年，Reed[8]利用離心擺減振器對(duì)軸系結(jié)構(gòu)的軸向減振進(jìn)行了理論分析并討論了減振器的參數(shù)。Yoshida[9]通過振動(dòng)平臺(tái)和實(shí)際應(yīng)用研究了離心擺減振器在船舶上層建筑減振方面的應(yīng)用。Longoria 等[10]通過理論分析和設(shè)計(jì)離心擺減振器的擺參數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度來控制主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Hollkamp等[11]研究了質(zhì)量集中的無阻尼速度跟蹤離心擺減振器在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片振動(dòng)中的應(yīng)用。

近年來，“慣容”[12]作為一種新型的機(jī)械結(jié)構(gòu)，得到了較多研究并在振動(dòng)抑制領(lǐng)域取得了好的效果[13-15]。它是劍橋大學(xué)的Smith教授于2003年提出的，經(jīng)過特別設(shè)計(jì)具有雙端口，從而徹底實(shí)現(xiàn)了機(jī)械系統(tǒng)和電學(xué)系統(tǒng)的完全類比。Smith教授等分別針對(duì)平移運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)計(jì)了慣容的可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)形式[16]。將慣容器引入傳統(tǒng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器構(gòu)成調(diào)諧質(zhì)量慣容阻尼器，能顯著提高系統(tǒng)的減振性能[17-18]。在隨機(jī)激勵(lì)的情形下，調(diào)諧質(zhì)量慣容阻尼器比傳統(tǒng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器更有效[19]。

本文研究具慣容離心擺的軸系結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的減振分析。將慣容引入離心擺減振器，分析主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)，討論減振器參數(shù)對(duì)軸向振動(dòng)的影響，并以主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的共振振幅最小為目標(biāo)及結(jié)合離心擺做小幅扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的限制條件，對(duì)離心擺減振器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到最優(yōu)的具慣容離心擺減振器參數(shù)。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程及其振動(dòng)分析

圖1為具慣容離心擺減振器的軸系結(jié)構(gòu)示意圖。主結(jié)構(gòu)為軸系結(jié)構(gòu)，中心軸以角速度ω1=nω旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)式慣容安裝在離心擺與主結(jié)構(gòu)之間構(gòu)成具慣容離心擺減振器。當(dāng)軸系結(jié)構(gòu)在軸向的外激勵(lì)P0sin(ωt)作用下，x1方向(即軸向)振動(dòng)是關(guān)注的核心。在軸上安裝圖示具慣容的離心擺減振器可抑制主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)，通過離心擺繞樞軸的微振θ來減小軸向振動(dòng)x1。

圖1 安裝具慣容離心擺減振器的軸系結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the shaft structure using centrifugal pendulum absorber with inerters

(1)

(2)

(3)

式中：m表示離心擺的質(zhì)量;r表示離心擺質(zhì)心到樞軸的水平距離;R表示樞軸到中心軸的水平距離;I1,I2,I3分別表示離心擺關(guān)于三個(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(a) 俯視圖

(b) 主視圖

(c) 慣容俯視圖圖2 具慣容離心擺減振器的受力分析圖Fig.2 Force diagram of the centrifugal pendulum absorber with inerters

利用集中參數(shù)法建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，圖1主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)可模型化為等效彈簧K和等效質(zhì)量塊M。本文研究主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)x1，主結(jié)構(gòu)在軸向受到簡(jiǎn)諧力P0sin(ωt)外，還受到減振器的軸向力Fx。假設(shè)離心擺的振動(dòng)是小幅振動(dòng)，最終可得離心擺減振器和軸系耦合的動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)可以表示為x1=x0sin(ωt+φ0)，離心擺的轉(zhuǎn)角θ=θ0sin(ωt+φ1)。為了便于分析，同時(shí)引入如下無量綱量：

(5)

(6)

(7)

(8)

x0=xstH(T,C,β,S)

(9)

(10)

其中：

2 減振器參數(shù)對(duì)減振的影響及其優(yōu)化設(shè)計(jì)

安裝具慣容離心擺減振器的目的是降低主結(jié)構(gòu)的線性振動(dòng)，即減小x0。它由函數(shù)H確定。H隨β的變化即為幅頻響應(yīng)曲線，是線性振動(dòng)關(guān)注的重點(diǎn)，從H的表達(dá)式中可以看出H的值除了與β有關(guān)外，還與離心擺減振器的設(shè)計(jì)參數(shù)T,C,S相關(guān)。下面分析減振器各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)的影響，基于減振器的小幅振動(dòng)，并以主結(jié)構(gòu)的最大振幅最小作為目標(biāo)給出離心擺減振器的最優(yōu)參數(shù)。

2.1 無量綱阻尼對(duì)幅頻響應(yīng)的影響及其優(yōu)化

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中無量綱參數(shù)的取值范圍，這里選取T=0.01,S=0.05, 不同無量綱阻尼下主結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線, 如圖3所示。

圖3中H隨β的變化曲線的峰值即為主結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)的作用下共振時(shí)的振幅。由圖3可知：在C從0.001增加到0.1的過程中, 隨著無量綱阻尼的增大, 幅頻響應(yīng)函數(shù)的峰值先減小后增大，且峰值點(diǎn)保持向右側(cè)偏，因此，至少存在一個(gè)最優(yōu)無量綱阻尼使得幅頻函數(shù)的峰值達(dá)到可能的最小值[21-22]。且從圖3觀察到每一條曲線除了都經(jīng)過(0,1)點(diǎn)，還都經(jīng)過點(diǎn)Q, 即在點(diǎn)Q處幅頻響應(yīng)H的值與C無關(guān)。分析可知當(dāng)幅頻曲線的峰值在Q點(diǎn)時(shí)，隨無量綱阻尼變化的幅頻曲線的峰值達(dá)到最小值，此時(shí)的無量綱阻尼即為最優(yōu)無量綱阻尼。為了解析得到最優(yōu)無量綱阻尼，采用固定點(diǎn)法[23]。將幅頻響應(yīng)函數(shù)H寫成如下形式：

(11)

圖3 不同C值時(shí)主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的幅頻曲線(T=0.01, S=0.05)Fig.3 The frequency response function of axial vibration of the shaft with different values of the non-dimensional damping, C and other parameter values: T=0.01, S=0.05

式中:A=1,B=β2T2,E=β4S2+2β4S+β4-2β2S-2β2+1,F=β2(β2ST+β2S+β2T-T)2。

固定點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)值可通過A/E=B/F計(jì)算得到，記為β0，其值為：

(12)

由式(11)可計(jì)算出最優(yōu)無量綱阻尼為

(13)

把式(12)和式(13)代入式(11)得到最佳無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值：

(14)

調(diào)諧函數(shù)T和質(zhì)量比S分別取0.01和0.05，最優(yōu)無量綱阻尼下主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)幅頻曲線和擺的轉(zhuǎn)角幅頻曲線如圖4所示。從圖中可以看出當(dāng)T=0.01,S=0.05，主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的幅頻響應(yīng)曲線幅值的最小值為1.42。

通過上述分析說明，當(dāng)主結(jié)構(gòu)的參數(shù)及離心擺質(zhì)量及尺寸確定的情況下，要使離心擺減振器達(dá)到最佳的減振效果，就須有最佳的無量綱阻尼，其值由式(13)給出。

2.2 質(zhì)量比對(duì)減振效果的影響

由式(14)可知，在最優(yōu)無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0與質(zhì)量比S有關(guān)，質(zhì)量比S對(duì)最優(yōu)無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0及最優(yōu)無量綱阻尼的影響如圖5所示。

圖4 主結(jié)構(gòu)和擺的幅頻曲線(T=0.01, S=0.05, C=Copt=0.012 7)Fig.4 The frequency response functions of shaft axial vibration and pendulum rotational vibration with optimal non-dimensional damping, Copt=0.012 7 and other parameter values: T=0.01, S=0.05

圖5 H0和Copt關(guān)于S的變化曲線Fig.5 The variations of the resonant amplitude and optimal non-dimensional damping with mass ratio

從圖5中可以看出：當(dāng)調(diào)諧函數(shù)T給定時(shí)，最優(yōu)無量綱阻尼Copt隨著質(zhì)量比S逐漸增大再趨于穩(wěn)定，當(dāng)質(zhì)量比較小的時(shí)候，H0隨質(zhì)量比快速減小，而當(dāng)質(zhì)量比增加到一定時(shí)，進(jìn)一步增大質(zhì)量比并不能有效地增加離心擺減振器的減振效果。

根據(jù)式(14)，H0關(guān)于S求一階偏導(dǎo)為-2T/S2?？梢钥闯觯{(diào)諧函數(shù)T的正負(fù)號(hào)不同，峰值H0隨質(zhì)量比S的變化也不同，當(dāng)調(diào)諧函數(shù)T>0時(shí)，最優(yōu)無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0隨著質(zhì)量比S增大逐漸減小，如圖5所示；當(dāng)調(diào)諧函數(shù)T<0時(shí)，最優(yōu)無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0隨著質(zhì)量比S增大逐漸增大；當(dāng)調(diào)諧函數(shù)T=0時(shí)，最優(yōu)無量綱阻尼下的幅頻曲線的峰值H0與質(zhì)量比S無關(guān)。

2.3 調(diào)諧函數(shù)對(duì)減振效果的影響

從上文分析可以看出，當(dāng)調(diào)諧函數(shù)T取不同范圍時(shí)，H0隨質(zhì)量比S的變化關(guān)系完全不同，當(dāng)然T還影響峰值H0。為了研究調(diào)諧函數(shù)對(duì)離心擺減振器減振效果的具體影響，下面將調(diào)諧函數(shù)T分為T>0，T=0和T<0三種情形分別討論。

情形一：調(diào)諧函數(shù)大于零T>0

圖6 不同調(diào)諧函數(shù)下的最優(yōu)無量綱阻尼的主結(jié)構(gòu)幅頻曲線(S=0.05, T>0)Fig.6 The frequency response functions of axial vibration of the shaft structure with different tuning functions T>0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

圖7 不同調(diào)諧函數(shù)下的最優(yōu)無量綱阻尼的擺的轉(zhuǎn)角幅頻曲線(S=0.05, T>0)Fig.7 The frequency response functions of the vibration of the pendulum with different tuning functionsT>0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

情形二：調(diào)諧函數(shù)等于零T=0

當(dāng)T=0時(shí)，主結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)函數(shù)為：

(15)

離心擺減振器的轉(zhuǎn)角振幅如下：

(16)

為求幅頻曲線的峰值點(diǎn)，令H關(guān)于β的一階偏導(dǎo)為零，可解得曲線峰值點(diǎn)的橫坐標(biāo)β1為：

(17)

式中：A=-CS2-2CS+

當(dāng)β=β1時(shí)，H取到最大值Hmax為：

圖8 不同無量綱阻尼下的主結(jié)構(gòu)幅頻曲線(S=0.05, T=0)Fig.8 The frequency response functions of axial vibration of the shaft with different values of the non-dimensional damping, and other parameter values: S=0.05, T=0

情形三：調(diào)諧函數(shù)小于零T<0

當(dāng)T<0時(shí)，最優(yōu)無量綱阻尼下的H0關(guān)于調(diào)諧函數(shù)求一階偏導(dǎo)為：

(19)

為使所取設(shè)計(jì)參數(shù)有物理意義，需滿足Copt>0且β0>0，即T<-S(S+1)。以下討論T<-S/(S+1)這一區(qū)間。且由式(19)可以得到當(dāng)T<-S/(S+1)時(shí)，H0隨T的增大而減小。

圖9 不同無量綱阻尼下的減振器轉(zhuǎn)角幅頻曲線(S=0.05, T=0)Fig.9 The frequency response functions of the vibration of the pendulum with different values of the non-dimensional damping, and other parameter values: S=0.05, T=0

當(dāng)取S=0.05，此時(shí)-S/(S+1)=-0.048，T取不同值,最優(yōu)無量綱阻尼下的主結(jié)構(gòu)幅頻曲線及減振器擺角的幅頻曲線分別如圖10和11所示。從圖10中可觀察到H0確實(shí)隨著T增大而減小，且當(dāng)T=-S/(S+1)時(shí)，H=1。當(dāng)T趨于-S(S+1)，減振器擺角相關(guān)量的共振幅值很大，可通過調(diào)整參數(shù)r來達(dá)到擺的小幅擺動(dòng)要求。

綜合考慮以上關(guān)于調(diào)諧函數(shù)的三種情況，最優(yōu)設(shè)計(jì)是T=-S/(S+1)，C=Copt=0，但是這種情況要根據(jù)具體工程問題的參數(shù)范圍來確認(rèn)離心擺是否作小幅振動(dòng)，從而確定是否可取。如果以上情況不可取，再考慮T>0的情況。

需要說明的是調(diào)諧函數(shù)T由表達(dá)式(5)給出，除了擺的參數(shù)外，還包含了慣容量bθ。一般情況下僅僅通過調(diào)整離心擺的結(jié)構(gòu)參數(shù)能控制的調(diào)諧函數(shù)的參數(shù)范圍較小[8]，而且比較困難。本文結(jié)合慣容器與離心擺減振器能改善這一不足，通過調(diào)整慣容量bθ使得調(diào)諧函數(shù)的變化范圍變得更廣，且這樣的調(diào)整方式能更容易選取合適的調(diào)諧函數(shù)的值，提升離心擺減振器的減振性能。

圖10 不同調(diào)諧函數(shù)下的最優(yōu)無量綱阻尼的主結(jié)構(gòu)幅頻曲線(S=0.05, T<0)Fig.10 The frequency response functions of axial vibration of the shaft with different tuning functions T<0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

圖11 不同調(diào)諧函數(shù)下的最佳無量綱阻尼的擺的轉(zhuǎn)角幅頻曲線(S=0.05, T<0)Fig.11 The frequency response functions of the vibration of the pendulum with different tuning functions T<0, the corresponding optimal non-dimensional damping and S=0.05

圖12 安裝不同類型減振器的減振效果Fig.12 The comparison of the absorption effect of DVA and centrifugal pendulum absorber with inerters

3 結(jié) 論

本文基于離心擺小幅振動(dòng)假設(shè)，建立了具慣容的離心擺減振器的軸系結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)方程，討論了離心擺減振器的設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的幅頻響應(yīng)的影響及以主結(jié)構(gòu)共振幅值最小為目標(biāo)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究發(fā)現(xiàn)隨著離心擺減振器的阻尼的增大，主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)的共振振幅先降低而后增大，即存在一個(gè)最優(yōu)阻尼，并以固定點(diǎn)法給出了離心擺減振器的最優(yōu)阻尼。調(diào)諧函數(shù)對(duì)主結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)有很大的影響，對(duì)減振器的減振性能也有影響，合適的調(diào)諧函數(shù)能實(shí)現(xiàn)最大的減振效果。慣容的引入可以更方便更容易選取合適的調(diào)諧函數(shù)的值，只要通過改變慣容量即可實(shí)現(xiàn)。最后驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)后的離心擺減振器用于主結(jié)構(gòu)的軸向振動(dòng)減振比相同質(zhì)量比的優(yōu)化動(dòng)力吸振器的效果更佳。