安徽省安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 范立剛

一、教學(xué)片段

師：前面我們研究了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系。這節(jié)課我們繼續(xù)研究一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系。

教師多媒體課件出示：方程3x+2y=6的解有多少個？你能畫出以這個方程的解為坐標的所有點組成的圖形嗎？

……

（接下來教師大約用5分鐘左右的時間引導(dǎo)學(xué)生得出了如下結(jié)論，具體過程略）

教師多媒體課件出示：

教師多媒體課件出示并讀題：

（1）在一個直角坐標系內(nèi)，畫出方程x+2y=2的圖象l1與方程2x-y=-6的圖象l2。

（2）如果直線l1與直線l2相交于點P，寫出點P的坐標。

（3）檢驗點P的坐標是不是方程組

（學(xué)生作圖，教師巡回指導(dǎo)，要求作圖精確）師：它們是否交于一點？

生（眾）：是。

師：這個點的坐標是多少？

生（眾）：（-2,2）。

生（眾）：是。

師：為什么呢？

生4：直線l1是方程x+2y=2的圖象，因此直線上任意一點的坐標都是方程的解；同理，直線l2上任意一點都是方程2x-y=-6的解。所以直線l1與l2的交點P的坐標是方程x+2y=2與2x-y=-6的公共解，也就是說，是二元一次方程組

（教師多媒體課件展示作圖結(jié)果,課件略）

師：這種利用圖象解方程組的方法就叫作圖象解法，下面哪位同學(xué)能總結(jié)出圖象解法的步驟？

生5，生6兩名學(xué)生總結(jié)，最后教師板書：

圖象法解方程組的步驟：

（1）先轉(zhuǎn)化（師口述“即分別將兩個方程化成一次函數(shù)的標準形式”）。

（2）再畫圖（師口述“即用描點法在同一個坐標系中畫出兩個方程的圖象”）。

（3）定交點（師口述“即確定出交點坐標”）。

（4）確定解（師口述“即根據(jù)交點坐標解出方程組的解”）。

師：請××同學(xué)到黑板上來完成，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成（用時4分鐘）。

師：請同學(xué)們看黑板上這位同學(xué)的解答過程，有沒有什么問題？

生7：（搶答）他沒按要求先將兩個方程化成標準形式。

生8：他畫的兩條直線沒有準確地在（0，1）點上相交，他作圖不規(guī)范。

師：這兩位學(xué)生觀察得都很仔細，希望同學(xué)今后再用圖象法求解二元一次方程組時，一定要按黑板上的步驟完成，作圖時描點要仔細，保證作圖精度。

（此時，生9主動舉手示意，師：你有什么問題嗎？）

生9：老師，我有辦法保證作圖精確。

師：嗯！你怎么保證？

生9：我先用以前學(xué)過的解方程組的方法，把方程組的解求出來，再把這個點描在坐標系中，這樣就能保證兩條直線一定相交在這個點上了。

師：咦，這個小技巧好不好呀？

生（眾）：好。

師：對，如果考試時真的出現(xiàn)類似的題，同學(xué)們不妨用這個方法，這樣做既省時又準確。

……

（接下來教師通過兩個例題，花去大約10分鐘時間引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出從二元一次方程組中兩方程未知數(shù)的系數(shù)關(guān)系判斷方程組解的個數(shù)的方法，另花去大約3分鐘總結(jié)）

二、課例分析

本節(jié)課的優(yōu)點還是很多的，比如教師以環(huán)環(huán)相扣的問題串，引導(dǎo)學(xué)生動手操作、動腦思考，課堂氣氛活躍，學(xué)生參與度高，45分鐘內(nèi)，共有18名學(xué)生回答了教師的問題，幾乎所有學(xué)生都掌握了用圖象法解二元一次方程組，能根據(jù)方程系數(shù)的關(guān)系判斷方程組解的存在情況。總體上看基本達到了教師所確定的教學(xué)目標，這樣的觀點得到了大部分觀摩學(xué)員和陪同領(lǐng)導(dǎo)的認可，一致認為這是一節(jié)好課。盡管衡量一節(jié)好課的標準是多元的，但筆者認為，無論教師的教學(xué)方式如何轉(zhuǎn)變，無論教師的教學(xué)理念如何新穎，無論學(xué)生的主體地位如何突出，其最終目的都是要達成《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（修訂稿）》（以下簡稱《標準》）所規(guī)定的教學(xué)目標。這就要求教師要科學(xué)使用教材，不被教材所束縛，真正做到“用教材教”而不是“教教材”。下面談?wù)劚救藢@節(jié)課的幾點拙見。

授課教師對本節(jié)課教學(xué)目標及教學(xué)重點、難點的制定（錄自教師的教案）為：

教學(xué)目標：學(xué)會用函數(shù)圖象來解二元一次方程組。會根據(jù)方程組中未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系來判斷方程組解的個數(shù)。

教學(xué)重點：用圖象法解二元一次方程組。

教學(xué)難點：歸納用圖象法解二元一次方程組的具體步驟。

在教學(xué)過程中，授課教師花了大量的時間，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“圖象法”解二元一次方程組，并總結(jié)此方法的解題步驟以及“根據(jù)兩方程系數(shù)的關(guān)系來判斷方程組解的個數(shù)”的公式。從教師所制定的教學(xué)目標來看，他這樣做是情理之中的事，從教學(xué)效果看，基本實現(xiàn)了課前制定的教學(xué)目標。

但筆者認為這節(jié)課在教學(xué)目標制定、教學(xué)重點和難點的確定上，還是有商榷之處的。

首先，《標準》對這部分的要求是：“體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系”；“教材的整體設(shè)計要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。……例如，在“數(shù)與代數(shù)”的領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)、方程、 不等式之間均存在著實質(zhì)性聯(lián)系……。幫助學(xué)生理解類似的實質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)?！?/p>

其次，教材編著者對這部分內(nèi)容的解讀為：“課標在一次函數(shù)標題下，有一條要求：‘體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系 ’。課本根據(jù)這個精神，在能把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)這個前提下，建立二元一次方程與直線的對應(yīng)，提前滲透解析幾何思想?！虼?，課本在講一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系時，主要是以圖形為背景，讓學(xué)生直觀體會二元一次方程組解的三種可能，而不在于求出解。”

通過對《標準》、教材編者、授課教師三方觀點的對比，筆者認為授課教師所制定的教學(xué)目標距離《標準》的要求還是存在一定偏差的。用“圖象法”解二元一次方程組只是讓學(xué)生體會“一次函數(shù)與二元一次方程以及二元一次方程組之間的關(guān)系”的一個手段，而“體會一次函數(shù)與二元一次方程以及二元一次方程組之間的關(guān)系”才是本節(jié)課的目標。教學(xué)目標是教學(xué)的出發(fā)點和歸宿，它決定著教學(xué)方法的選擇、教學(xué)內(nèi)容的組織、教學(xué)過程的設(shè)計。一旦迷失了目標，再精彩的教學(xué)過程也會顯得暗淡無光，一旦迷失了目標，教學(xué)容量越大，對學(xué)生的傷害也越大。

三、改進建議

1．教學(xué)目標

（1）知識與技能：從“數(shù)”和“形”兩個角度體會一次函數(shù)與二元一次方程及二元一次方程組之間的聯(lián)系；了解借助一次函數(shù)圖象求解二元一次方程組的意義和不足。

（2）過程與方法：經(jīng)歷借助一次函數(shù)圖象探究二元一次方程組解存在情況的過程，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想，了解圖象法的價值，感受“觀察”也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方法；在探索一次函數(shù)與二元一次方程及二元一次方程組之間關(guān)系的過程中，學(xué)會獨立思考與合作探究，體會數(shù)學(xué)知識間的普遍聯(lián)系。

（3）情感、態(tài)度與價值觀：在學(xué)習(xí)過程中感受數(shù)學(xué)知識中蘊涵的體系上的完整美、數(shù)與形的對應(yīng)美；在探究過程中感受發(fā)現(xiàn)真知的喜悅，體驗成功的樂趣。

2．教學(xué)重點

體會一次函數(shù)與二元一次方程及二元一次方程組之間的關(guān)系。

3．教學(xué)難點

從“數(shù)”和“形”兩個角度去探索一次函數(shù)與二元一次方程及二元一次方程組之間的關(guān)系。