廣西桂林市桂林旅游學(xué)院 林弋程

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計入門課程中，通常把隨機(jī)變量分類為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行介紹。在描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律時，需要給出其取值范圍和概率分布信息。對于離散型隨機(jī)變量，只需要列出其取值以及每一個取值對應(yīng)的概率（即分布律），這種方式不但簡單明了，而且在生活中有人們經(jīng)常能接觸到的大量具體實例，如各種古典概型問題，因此初學(xué)者相對容易掌握。但是，刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布時，需要先假設(shè)存在某個黎曼可積且具有非負(fù)性和規(guī)范性的函數(shù)（稱之為概率密度函數(shù)），以此函數(shù)為被積函數(shù)進(jìn)行定積分，進(jìn)而給出隨機(jī)變量處于某個區(qū)間的概率?？梢钥吹?，后一個概念比前一個概念抽象、復(fù)雜得多，并且由于連續(xù)型隨機(jī)變量事實上是一個數(shù)學(xué)上的概念抽象，在日常生活中難以遇到直接的對應(yīng)物，這使得初學(xué)者掌握這個概念的難度大為增加。“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要地位”，因此，在連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)中，需要教師采用適當(dāng)?shù)膶?dǎo)入方式來提高教學(xué)效果。

一、常見連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)導(dǎo)入方式

通過研究概率論與數(shù)理統(tǒng)計眾多國內(nèi)外著名教材發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)導(dǎo)入主要有四種方式。

第一種導(dǎo)入方式：先舉例說明存在取值個數(shù)為不可數(shù)無窮的隨機(jī)變量，無法如離散型隨機(jī)變量用分布律刻畫其概率分布，必須采用新的刻畫方式，隨后直接給出用概率密度定積分刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的定義，如教材[1]、[2]、[3]等。需要指出的是，后面列出的三種導(dǎo)入方式都是在這種導(dǎo)入方式的基礎(chǔ)上通過加入新內(nèi)容完成導(dǎo)入的。

第二種導(dǎo)入方式：主要通過對某個具體實例中的連續(xù)型隨機(jī)變量（記為X）進(jìn)行處理，進(jìn)而導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量的定義（如教材[4]等），步驟如下：（1）對X進(jìn)行大量抽樣；（2）等間距劃分X的取值區(qū)間，得到若干個小區(qū)間；（3）把X的抽樣樣本放置到前述小區(qū)間的“容器”內(nèi)；（4）定義用于近似X的離散型隨機(jī)變量Y，其取值為各個小區(qū)間內(nèi)任意選出的代表值，每個取值的概率為各個小區(qū)間“容器”內(nèi)樣本的頻率值；（5）繪制Y的概率直方圖；（6）為了讓Y不斷逼近X，不斷細(xì)分前述小區(qū)間，并重復(fù)步驟3至步驟5；（7）觀察到前述過程中繪制出的直方圖上部輪廓越來越“光滑”，逐漸顯現(xiàn)出一條連續(xù)曲線，據(jù)此把這條曲線定義為X的概率密度函數(shù)，并把曲線在X所處區(qū)間內(nèi)的面積定義為X的概率，再把面積和定積分等同起來，最終完成連續(xù)型隨機(jī)變量概念的導(dǎo)入。雖然這種導(dǎo)入方式在學(xué)習(xí)效果上擁有具象化的優(yōu)點，而且由上述步驟4中Y的定義方式，非常容易得出概率密度應(yīng)滿足非負(fù)性和規(guī)范性的特征，但是限于書本篇幅，很難在書本上列出足夠多的樣本以支持“不斷精確化”的過程演化，需要借助多媒體手段方能將模型具象化。例如，在教材[4]中，雖然畫出兩幅反映演化過程的概率直方圖，但卻沒有給出任何具體樣本，只是讓讀者想象有很多樣本存在，初學(xué)者往往只能窺得其中概覽，而無法自己完成概念的整個具象化過程。此外，這種導(dǎo)入方式的過程本身比較復(fù)雜，是否符合各個層次初學(xué)者的接受能力亦存在一定的疑問。

第三種導(dǎo)入方式很大程度上是第二種方式的逆過程：先選擇某個之前已經(jīng)學(xué)過的離散型隨機(jī)變量，例如在教材[5]中，Larsen R J 和Marx M L選擇的是幾何分布隨機(jī)變量，然后畫出對應(yīng)的概率直方圖，最后用連續(xù)曲線疊加在直方圖上（連續(xù)曲線的選擇標(biāo)準(zhǔn)：在任意區(qū)間上，離散型隨機(jī)變量的概率盡可能接近連續(xù)曲線下的面積），據(jù)此得到啟發(fā)，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率應(yīng)該通過某個函數(shù)的定積分來賦予。雖然這種導(dǎo)入方式非常巧妙，但是初學(xué)者首次接觸這一導(dǎo)入過程時，難免會產(chǎn)生“這一過程是如何想到的？”疑問，也容易形成連續(xù)型隨機(jī)變量只是用于近似計算離散型隨機(jī)變量的概率的錯覺。

第四種導(dǎo)入方式：利用前置課程已經(jīng)學(xué)習(xí)的一個幾何概型實例，先通過對求得的概率表達(dá)式進(jìn)行變形，表達(dá)成對某個函數(shù)的積分，然后對被積函數(shù)進(jìn)行延拓定義，規(guī)定延拓區(qū)域函數(shù)值恒為零，最后說明這就是連續(xù)型隨機(jī)變量的定義方式，并給出連續(xù)型隨機(jī)變量的定義，如教材[6]、[7]等。通過對比可以看出，這種導(dǎo)入方式較第二種和第三種更直接和更簡單，但是由于在導(dǎo)入過程中沒有對為何變形為積分形式的“動機(jī)”進(jìn)行合理說明，無法起到啟發(fā)式概念導(dǎo)入的作用，更像是引用了一個用于說明抽象定義的實例。此外，選擇的實例是否貼近普通人的生活經(jīng)驗，是否能激發(fā)初學(xué)者的學(xué)習(xí)興趣對這種導(dǎo)入方式的學(xué)習(xí)效果有著關(guān)鍵性的影響，而教材[6]、[7]中更多采用的是概念上的實例。

二、借助幸運轉(zhuǎn)盤導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量概念

根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，從生活的現(xiàn)實出發(fā)，提出問題、解決問題，然后通過概括提高，升華為數(shù)學(xué)概念和法則以及數(shù)學(xué)思想。幸運轉(zhuǎn)盤是人們在日常生活中時常遇到的一種頗具趣味性的抽獎工具。我們可以通過對它進(jìn)行詳細(xì)分析，借此導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量的定義。

下面具體給出這種導(dǎo)入方式。出于完整性考慮，假設(shè)初學(xué)者接觸這個概念之前沒有學(xué)習(xí)過幾何概型的內(nèi)容。

通常情況下，設(shè)計者依據(jù)事先規(guī)劃好需要設(shè)置的各種獎項的數(shù)量及其中獎概率，在幸運轉(zhuǎn)盤上劃分出相應(yīng)的若干個扇區(qū)。每個玩家都希望自己能中最大獎，不妨稱之為特等獎，自然也就很關(guān)心該獎項的中獎概率。由于扇區(qū)大小用弧度表示是最為簡便的，為了一般化，設(shè)特等獎所在的扇區(qū)為區(qū)間（a,b]。對于正常幸運轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動停止后，指針指向的位置（設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量Z）在各個弧度上都是等可能的，因此，各獎項的中獎概率與扇區(qū)大小成正比，且與扇區(qū)所處位置無關(guān)。具體到特等獎中獎，其概率為P{a＜Z≤b}=k（b-a），其中k為待定的正比常數(shù)。由P{0＜Z≤ 2π}=k（2π-0）=1，得k=1/2π。若此將結(jié)論變形為定積分形式，即并在全體實數(shù)上定義函數(shù)f（x），使其在（0,2π]上等于1/2π，在其余區(qū)域等于零，那么到目前為止，該引例蘊(yùn)含的教學(xué)導(dǎo)入方式除了在貼近生活的程度上有明顯區(qū)別外，在方法上并無二致。

為了激發(fā)初學(xué)者的學(xué)習(xí)興趣，可以考慮改變引例的分析情景。假如某人想對幸運轉(zhuǎn)盤“動手腳”，即讓指針指向各個位置并不是等可能的，而是更多地偏向小獎項，大獎項的中獎概率則被調(diào)小，這在計算機(jī)實現(xiàn)的幸運轉(zhuǎn)盤中完全是有可能的，那么他如何達(dá)成“目標(biāo)”呢？根據(jù)微積分知識，我們知道，要使指針指向在可能性上不均勻分布，即要求指針指向不同位置時可以有不同的概率變化率。為此，在（0,2π]上定義概率變化率函數(shù)，記為f（x）。假設(shè)f（x）連續(xù)或分段連續(xù)，并將f（x）的定義延拓到（-∞，+∞），令f（x）在（0,2π]之外均為零，則f（x）滿足非負(fù)性和規(guī)范性，并且對于任意區(qū)間（a,b]，同時也容易看出，要控制幸運轉(zhuǎn)盤的中獎特性，即是要設(shè)計出恰當(dāng)?shù)闹羔樦赶蚋怕首兓屎瘮?shù)f（x）。至此，連續(xù)型隨機(jī)變量定義的教學(xué)導(dǎo)入已完成。

三、教學(xué)實施

將這種導(dǎo)入方式運用到教學(xué)中時，可以很容易設(shè)計出多個教學(xué)環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的參與程度。這里簡單列出幾個，僅供參考。在介紹幸運轉(zhuǎn)盤時，可以選擇播放某個利用幸運轉(zhuǎn)盤行騙的短視頻，一來將學(xué)生帶入教學(xué)情境中，二來可以起到防騙教育的作用。如果先分析正常幸運轉(zhuǎn)盤，可以由教師引導(dǎo)學(xué)生分組討論“中獎特性”“用何種方式描述中獎區(qū)域”等問題，直到引導(dǎo)學(xué)生得出“用扇形的弧度描述中獎區(qū)域”“中獎概率與中獎區(qū)域大小成正比”的相關(guān)結(jié)論。在考慮不正常幸運轉(zhuǎn)盤時，可以將事先制作并發(fā)布到網(wǎng)上的幸運轉(zhuǎn)盤游戲讓學(xué)生用手機(jī)試玩，讓他們真切感受幸運轉(zhuǎn)盤的“黑幕”，便于后續(xù)啟發(fā)學(xué)生關(guān)于概率變化率即概率密度的概念。此外，還可以考慮在制作的幸運轉(zhuǎn)盤游戲中加入調(diào)整指針指向概率密度以及統(tǒng)計各獎項實際中獎頻率等功能，讓學(xué)生實際體驗概率密度與概率之間的關(guān)系，十分有利于培養(yǎng)學(xué)生在連續(xù)型隨機(jī)變量概念方面的數(shù)學(xué)直覺。

本文提出了一種新的連續(xù)型隨機(jī)變量定義的教學(xué)導(dǎo)入方式，相對于已有的幾種導(dǎo)入方式，它具有如下幾個方面的優(yōu)點：一是導(dǎo)入方式中采用的場景更貼近普通人的生活，具有趣味性，因而更能激發(fā)初學(xué)者的學(xué)習(xí)興趣；二是概率密度的概念和連續(xù)型隨機(jī)變量的定義方式，可以基于導(dǎo)入過程的具體場景被更簡單明了地引出，啟發(fā)效果更好；三是導(dǎo)入方式更充分地體現(xiàn)了運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的思想，因此更有利于培養(yǎng)初學(xué)者運用連續(xù)性隨機(jī)變量的能力；四是將此導(dǎo)入方式用于教學(xué)中，在教師的主導(dǎo)下，可以更容易地提高學(xué)生的參與程度。