苗本彩 張林德

與球相關的內切與外接問題是近幾年高考熱點之一，綜合化傾向尤為明顯，其求解需要學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，從實際教學來看，這部分知識學生掌握較為薄弱、認識較為模糊，看到就頭疼，究其原因，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理，下面對球與幾何體的切接問題展開探究，以求更好地把握此類問題的解決思路.

1 補形法

因正方體、長方體的外接球半徑容易求得，故將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，便可借助外接球為同一個的特點求得.

分析 球心如何確定？主要依據(jù)是球的界面性質：過截面圓心與截面垂直的直線必過球心，球心在過BC中點的平面BCD的垂線上，且在過BD中點M的平面ABD的垂線上，兩面垂直，所以兩垂線交點為N（圖4），于是半徑可定，但較麻煩，另外，如果注意到CD⊥AD，AD⊥AB，聯(lián)想到長方體中的棱的特征，不難有補體的想法（圖5）.答案：A.

2 截面法

解答時首先要找準切點，通過做截面來解決，如果內切的是多面體，則作截面時要抓住多面體過球心的對角面來作.

例5 已知底面邊長為a正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點在球O₁上，又知球O₂與此正三棱柱的5個面都相切，求球O₁與球O₂的體積之比與表面積之比1.

分析先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系，如圖9、圖10，由題意得兩球心O₁，O₂是重合的，過正三棱柱的一條側棱AA₁和它們的球心作截面，設正三棱柱底面邊長為a，

3 構造直角三角形法

首先確定球心位置，借助外接球的性質——球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點到底面中心的距離構造直角三角形，利用勾股定理求半徑.

5 向量法

例9 己知在三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=2PB=2PC=2，求該三棱錐外接球的表面積.

分析本題的關鍵是求出外接球的半徑r，除了補形法或軸截面法外，還可用向量法求半徑.

球的切接問題變化多端，但最終轉化為規(guī)則幾何體（正方體、長方體、正四面體、正三棱錐）的問題處理，這是不變的規(guī)則.