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        淺談培養(yǎng)初中生如何進行數(shù)學(xué)解題反思

        2018-11-29 06:48:36馬仕紅
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年3期
        關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)學(xué)生

        馬仕紅

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與數(shù)學(xué)解題息息相關(guān),但數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)提高并不在于數(shù)學(xué)解題的數(shù)量,而在于數(shù)學(xué)解題的質(zhì)量,所以我們應(yīng)該注重解題過程中方向的明確、策略與技巧的正確應(yīng)用,在數(shù)學(xué)解題的過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗,積累解題的思維方法,不斷提高數(shù)學(xué)解題的能力,對于已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問題,我們要回過頭來進行反思:反思對題意的理解;反思對思維方式和知識點的運用;反思技能和技巧的運用,在對整個解題過程的回顧中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,這樣可以培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑問難、舉一反三的能力,這對發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性數(shù)學(xué)思維能力至關(guān)重要.

        1 如何培養(yǎng)學(xué)生進行解題反思

        在實際教學(xué)過程中,學(xué)生認為解題反思就是敘述解題過程,能說出解題思路,其實這僅僅停留在反思的表面,因而在教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生進行解題反思、所謂的解題反思到底要反思些什么就顯得尤為重要,以下結(jié)合筆者的教學(xué)實踐,從幾個方面談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生解題反思能力.

        1.1 反思解題過程中的問題本質(zhì),做到舉一反三

        在數(shù)學(xué)解題中如果能做到“當(dāng)你看見樹木就能想象到一片森林”的境界,那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會輕松很多,也就是如果你能通過會做一道題而會做一類題,做到真正的舉一反三,數(shù)學(xué)思維自然而然得到提升,

        例1 如圖1,點B,C在線段AD上,問:圖中共有幾條線段?是哪幾條?

        問題1 往返于A,B兩個城市的火車有四個??奎c,問:(1)該火車有多少種不同的車票?(2)該火車上要準備多少種車票?

        問題2 數(shù)一數(shù),圖2中共有多少個三角形?利用所標字母,將它們表示出來,

        反思 問題1實際考查線段的定義,由于票價隨著路程的長短而變化,所以線段數(shù)就是票價數(shù),而問題二中的三角形的個數(shù)實際上也可以這樣來看,點C,D在線段B上,共有幾條線段,這樣問題轉(zhuǎn)化后就變得簡單許多,學(xué)生做題的正確率也大大提升.

        數(shù)學(xué)問題往往以不同形式呈現(xiàn),但問題解決后要發(fā)現(xiàn)其中的“奧妙”,要讓學(xué)生學(xué)會“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”,架起數(shù)學(xué)問題的形式與問題本質(zhì)之間的聯(lián)系,不要再停留在題目的表面,要努力看清其廬山真面目,在遇到形異質(zhì)同的題目時能迅速地識別.

        1.2 反思解題過程中的做題方法,優(yōu)化解題方式

        所謂“條條大路通羅馬”,雖然目的地都一樣,但是時間短者應(yīng)該有更大的收獲,正如在數(shù)學(xué)解題時一樣,同樣的一道題目,不同的學(xué)生可能有不同的方法,在解答正確的前提下,選擇最簡便方法的學(xué)生不論在平時的練習(xí)中還是考試中都很有利,此時學(xué)生就要反思自己的思路和學(xué)生的思路以及老師的思路有什么不同?差距在哪里?造成這差距的原因在哪里?我該如何來改進?

        堅持這樣的反思,不僅收獲更多的解題方法,解題思路也會進一步被打開,在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題過程中也會游刃有佘,

        例2 用7張如圖3 (1)所示的長為以,寬為6(a>b)的小長方形紙片,按圖3(2)所示的放置方式不重疊地放在長方形ABCD內(nèi),未被覆蓋的部分(兩個長方形)用陰影表示,設(shè)左上角與右下角陰影部分的面積之差為S,當(dāng)BC的長度變化時,按照同樣的放置方式擺放,S始終保持不變,則a,b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系為____.

        學(xué)生拿到此類題目肯定覺得頭疼,無從下手,但仔細閱讀題目關(guān)鍵詞句:“當(dāng)BC的長度變化時,S始終保持不變”后,仔細想一想,是不是與“(x+1)(2x2+ax+1)的計算結(jié)果中不含x2的項”有異曲同工之處,只要將多項式乘以多項式展開,將x2項前面的系數(shù)令為0即可,根據(jù)這樣的思路,我們將S表示成關(guān)于BC的形式,由題意有S=S1-S2=(BC·3b-3ab)-(BC·a-4ab).將S表示出來后,由于BC變化對S沒有影響,則3b-a=0,從而找到a=3b這樣的數(shù)量關(guān)系,分析從讀題、思考、解題的這一系列的過程,我們發(fā)現(xiàn),如果能很好地進行知識的類比,優(yōu)化解題的方式,那么數(shù)學(xué)解題就會變得很輕松.

        1.3 反思解題過程中的易錯點,打破思維定勢

        例3 某課外活動小組中男生人數(shù)占全組人數(shù)的一半,如果減少6名男生,那么男生人數(shù)就占全組人數(shù)的1/3,求這個課外小組的人數(shù).

        錯解 設(shè)這個課外小組有x人.

        答:這個課外小組有36人.

        1.4 反思解題過程中的拓展延伸,培養(yǎng)創(chuàng)新意識

        反思解題過程時,如果就題論題,那么這種反思似乎只停留在表面,教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生這樣的意識,多問自己以下幾個問題:

        (1)這題是否可以一題多解,這幾種解法之間是否存在著某種本質(zhì)上的聯(lián)系?

        (2)根據(jù)所學(xué)知識,以及知識點間的聯(lián)系,問問自己如果改變題目中的某一個條件能否用相同的解題思路,得出的結(jié)論還一樣嗎?或者結(jié)論之間有什么聯(lián)系嗎?

        (3)能否將問題進行拓展或者推廣?

        例4 已知:如圖4,△ABC中∠B與∠C的平分線相交于點P,

        (1)試探索若∠ABC+∠ACB= 100°,求∠BPC的度數(shù).

        (2)若∠A=80°,求∠BPC的度數(shù).

        (3)試說明∠A與∠BPC的關(guān)系.

        法1 利用三角形的內(nèi)角和與平分線的性質(zhì),我們可以直接求出.

        法2 連接AP并延長與BC交于點D,利用三角形外角和性質(zhì)可以求出∠BPC等于∠A與∠ABP與∠ACP和,再利用角平分線性質(zhì)可以知道∠ABP與∠ACP的和等于∠ABP與∠ACP和的一半.

        問題變式 變式1 如圖5,BP,CP分別平分∠DBC與∠ECB,試探索∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系.

        例題中的∠P是由三角形的兩個內(nèi)角的角平分線構(gòu)成,而變式1中的∠P是由三角形的兩個外角平分線構(gòu)成的,探索∠P與∠A關(guān)系的思路還是一樣的嗎?或者有什么不一樣的地方?

        變式2 如圖6,BP,CP分別平分∠ABC與∠ACD,試探索∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系.

        不同于例題以及變式1,∠P既不是由兩個內(nèi)角平分線構(gòu)成也不是由兩個外角平分線構(gòu)成,而是由一個內(nèi)角平分線與三角形的一個外角平分線構(gòu)成,在探索的過程中又需要什么新的知識點?

        通過這樣的變式,不僅學(xué)生的思維能得到發(fā)散,在長期的潛移默化中,學(xué)生在遇到一些問題時能自然而然地多問自己幾個問題,對題目進行簡單的變式,久而久之學(xué)生能在數(shù)學(xué)解題中找到樂趣.

        問題拓展如圖7,在四邊形ABCD中,∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P,且∠D+∠C= 240°,則∠P=____.

        研究多邊形的外角時,教學(xué)過程中主要是以三角形為主,那當(dāng)三角形改成任意的四邊形時,我們還能得到相類似的結(jié)論嗎?

        2 結(jié)語

        “磨刀不誤砍柴工”,解題反思就是我們手中的那把砍柴刀,解題反思是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有力手段,在反思過程中不斷地學(xué)會挖掘題目的本質(zhì),在尋找更好的解題方法的過程中發(fā)展思維,當(dāng)然,解題反思不是一蹴而就的,教師要在日常的教學(xué)中有針對性地利用習(xí)題,讓學(xué)生學(xué)會反思,在學(xué)中反思,在反思中學(xué),讓學(xué)生不再把解題當(dāng)做一種任務(wù),而是變成一種有目標,有研究性、探究性的學(xué)習(xí)活動,在這樣的一個過程中學(xué)會解題,學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

        參考文獻

        [1][美]波利亞著,閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京:科學(xué)出版社,1982

        [2]湯炳興,葉紅著.中學(xué)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社, 2010

        [3]高鵬.透過現(xiàn)象看本質(zhì)兼談數(shù)學(xué)解題反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2008 (11):32-34

        [4]靳莉穎.數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)[J].現(xiàn)代教育科學(xué),2011(6):127-127

        [5]劉良聰.數(shù)學(xué)解題反思與思維能力的培養(yǎng)[J].吉林教育,2008 (2):90-90

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