曾福林 俞淑慧 楊標(biāo)桂

在三角形中，內(nèi)切圓與旁切圓有著極其緊密的聯(lián)系，以三角形內(nèi)切圓及三個(gè)切點(diǎn)為背景的試題，一般都可以推廣至旁切圓，進(jìn)一步弱化條件，可只需要兩個(gè)切點(diǎn)，利用塞瓦構(gòu)造第三個(gè)點(diǎn)，同樣會(huì)得到一些令人驚奇的結(jié)論，本文從一道以?xún)?nèi)切圓及三個(gè)切點(diǎn)為背景的試題出發(fā)，逐步將其推廣，并進(jìn)行歸納總結(jié)，得到一系列有趣的結(jié)論.

1 問(wèn)題提出

《數(shù)學(xué)教學(xué)》在2016年第10期數(shù)學(xué)問(wèn)題與解答中刊登了由重慶市合川太和中學(xué)袁安全老師提供的如下問(wèn)題（本文對(duì)字母作了一下變換）.

2 問(wèn)題986號(hào)簡(jiǎn)要解答

3 問(wèn)題推廣

問(wèn)題986號(hào)是關(guān)于三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)度量性質(zhì)問(wèn)題，由此筆者聯(lián)想到三角形的旁切圓或偽切圓是否會(huì)有類(lèi)似的結(jié)果，通過(guò)類(lèi)比，利用幾何畫(huà)板進(jìn)行探索研究，我們得到以下一系列漂亮的度量性質(zhì)：

變式3.2 已知△ABC的三個(gè)旁切圓分別切三邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M，直線(xiàn)DF與直線(xiàn)CA交于點(diǎn)N.

變式3.3 已知△ABC，在∠CAB的角平分線(xiàn)上任取一點(diǎn)I_Λ，⊙I_Λ與射線(xiàn)ΛC，ΛB分別切于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線(xiàn)BE與CF交于點(diǎn)G，直線(xiàn)AG與BC交于點(diǎn)D，直線(xiàn)DE與AB交于點(diǎn)M，直線(xiàn)DF與AC交于點(diǎn)N.

對(duì)于此變式，有多種情況，在分類(lèi)討論之前先確定節(jié)點(diǎn)：邊ΛB，ΛC的中垂線(xiàn)與∠CΛB的角平分線(xiàn)分別交于點(diǎn)X，Y，過(guò)B，C分別作ΛB，ΛC的垂線(xiàn)與∠Λ角平分線(xiàn)分別交于B₁，C₁，假設(shè)⊙I_Λ的半徑為r，∠B>∠C（對(duì)于∠B<∠C的情況同樣討論）.

注 證明過(guò)程省略.

在變式3.3中，點(diǎn)I_A是在∠CΛB的角平分線(xiàn)上，由對(duì)稱(chēng)性。我們現(xiàn)在考慮點(diǎn)I_A在∠CΛB頂角的角平分線(xiàn)上，構(gòu)造類(lèi)似的圖形研究其性質(zhì).

變式3.5 已知△ABC，點(diǎn)I_A在∠CAB的外角平分線(xiàn)上，⊙I_A與AB，AC（或延長(zhǎng)線(xiàn)）分別切于點(diǎn)F，E，直線(xiàn)BE與CF交于點(diǎn)G，直線(xiàn)AG與BC交于點(diǎn)D，直線(xiàn)DE與AB交于點(diǎn)M，直線(xiàn)DF與AC交于點(diǎn)N.

此變式與變式3.3類(lèi)似，有多種情況，所以在分類(lèi)討論之前先確定節(jié)點(diǎn)：設(shè)邊AB的垂直平分線(xiàn)、過(guò)點(diǎn)B垂直于AB的直線(xiàn)分別與∠CAB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，Q，設(shè)⊙I_A的半徑為r。

至此，我們?cè)趩?wèn)題986號(hào)的基礎(chǔ)上，得到五個(gè)變式，其中的內(nèi)容可以說(shuō)非常豐富，在文中，一者我們僅對(duì)∠CAB的情況進(jìn)行討論，而對(duì)于另外兩個(gè)角，作一個(gè)輪轉(zhuǎn)即可，二者我們只考慮了部分線(xiàn)段之間的度量關(guān)系，在此，也希望有興趣的讀者繼續(xù)探析其它線(xiàn)段之間的度量關(guān)系或性質(zhì)，以加深對(duì)此構(gòu)型的認(rèn)識(shí)，豐富研究成果.

參考文獻(xiàn)

[1]袁安全.數(shù)學(xué)問(wèn)題與解答[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016 （10）：49