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        “重心圓”的有趣性質(zhì)及其推廣

        2018-11-29 03:34:08何重飛
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年2期
        關(guān)鍵詞:任意球球心平方和

        何重飛

        熟知圓周上任意一點(diǎn)到該圓一直徑兩端點(diǎn)的距離的平方和為定值,事實(shí)上,有更一般的結(jié)論,

        命題1平面內(nèi)以線(xiàn)段中點(diǎn)為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到該線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離的平方和為定值,推論1空間中任意給點(diǎn)兩點(diǎn),則以該兩點(diǎn)構(gòu)成線(xiàn)段的中點(diǎn)為球心的任意球面上的點(diǎn)到該兩點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        延續(xù)這一思路,線(xiàn)段推廣到三角形便可得到:

        定理1以三角形重心為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        推論2以三角形重心為球心的任意球面上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        當(dāng)ΔAABC的重心G與其外心O重合時(shí),易知ΔABC為正三角形,再由定理1便可得到:

        推論3[2]正三角形外接圓周上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        筆者發(fā)現(xiàn),在四邊形中,也有類(lèi)似定理:

        定理2以平面四邊形重心為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到平面四邊形四個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值。

        推論4以四邊形的重心為球心的任意球面上的點(diǎn)到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        當(dāng)四邊形ABCD的重心G與其外心O重合時(shí),易知四邊形ABCD為矩形,再由定理2便可得到:

        推論5矩形外接圓周上的點(diǎn)到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        當(dāng)四邊形ABCD的重心G與其對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)重合時(shí),易知四邊形ABCD為平行四邊形,再由定理2便可得到:

        推論6以平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        事實(shí)上由定理1、2及其證明,以及引理l得:

        推論7[3]在由互相平分且交于一點(diǎn)G的n(n≥2)條線(xiàn)段所構(gòu)成的平面或立體圖形中,以G為球心的任意球面上的點(diǎn)到該n條線(xiàn)段端點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        推論8以平行六面體體對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為球心的任意球面上的點(diǎn)到平行六面體頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        證明每一個(gè)平行六面體都可由四條互相平分且交于一點(diǎn)的線(xiàn)段端點(diǎn)構(gòu)成的幾何體,由推論7便可得證。

        推論9以正多邊形重心(中心)為圓心(或球心)的圓周上(或球面上)的點(diǎn)到正多邊形各頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        將以上定理及推論推廣到空間,即可得到:

        定理3以四面體的重心為球心的任意球面上的點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

        要證定理3,需要用到以下引理:

        “重心圓”或者“重心球”上的點(diǎn)是否具有其他冪和式為定值的性質(zhì)或者其他有趣的性質(zhì)?留給感興趣的讀者探究。

        參考文獻(xiàn)

        [1]賀功保.三角形的六心及其應(yīng)用[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2015

        [2]羅建宇.正三角形和正四面體的優(yōu)美定值[J].數(shù)學(xué)通訊,2007 (20):35

        [3]代銀,戴晨希,多邊形與多面體的優(yōu)美定值[J].數(shù)學(xué)通訊,2012(7):38

        [4]孔令恩,王敬秀.Euler公式及其不等式的三維推廣[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995 (6):40

        [5]周?chē)?guó)富.一個(gè)平面定值問(wèn)題在空間的拓廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1995 (11):

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