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        一個(gè)不等式恒成立問題的求解與思考

        2018-11-29 02:52:14沈良
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年1期
        關(guān)鍵詞:宏觀微觀本題

        沈良

        不等關(guān)系與相等關(guān)系是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系,是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容,“數(shù)量、變量之間相等與不等關(guān)系”的研究成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要課題,不等式是一種數(shù)學(xué)表示形式,描述若干個(gè)量之間的不等關(guān)系,等式刻畫的是若干個(gè)量之間的相等關(guān)系,不等式作為刻畫不等關(guān)系的重要代表,如同方程是刻畫相等關(guān)系的重要代表一樣,是數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象,也因此,不等式恒成立條件下求參數(shù)取值范圍成為數(shù)學(xué)考查中的一類經(jīng)典問題。

        不等式恒成立問題歷來是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn),以變量與參數(shù)共存的不等式為背景來考量學(xué)生能較好考查學(xué)生思維的靈活性、深刻性與辯證性,能較好考查學(xué)生的知識(shí)技能、思想方法與能力素質(zhì)等,因此在每年的高考與模擬試題中這方面的問題也是精彩豐呈,下面,筆者就對(duì)新疆維吾爾自治區(qū)2017年普通高考第二次適應(yīng)性檢測(cè)第21題,這個(gè)有關(guān)不等式恒成立條件下求參數(shù)值問題,從多樣解法、蘊(yùn)涵幾何背景、滲透思想方法、知識(shí)拓展及教學(xué)啟示等角度進(jìn)行探討。

        1題意分析

        分析本題第1小題為函數(shù)單調(diào)性的判斷,主要是求導(dǎo)后研究導(dǎo)函數(shù)取值的正負(fù)問題,同時(shí)(1)問又為(2)問做好熱身;第2小題條件中為一個(gè)不等式恒成立問題,求解的是a的所有可能的取值的集合,這也是本題的巧妙所在,與通常在不等式恒成立條件下求參數(shù)范圍不同,本題求解的是以的具體值,題目條件簡(jiǎn)潔清爽,簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單,蘊(yùn)含多種解法,蘊(yùn)含豐富幾何意義,解決本題需要學(xué)生有一定的分類討論能力、數(shù)形結(jié)合能力、推理論證能力及較好的計(jì)算能力等,很好體現(xiàn)了試題能力立意的的特點(diǎn)。

        2解法探究

        解法2分離參數(shù)法

        對(duì)于不等式恒成立問題,我們自然還會(huì)想到分離參數(shù)法(或稱分離變量法)。

        解法3數(shù)形結(jié)合法

        對(duì)于不等式恒成立問題,我們自然還會(huì)聯(lián)想到轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象問題研究。

        3教學(xué)啟示

        (1)抓住知識(shí)本質(zhì)教學(xué)

        (2)融入數(shù)學(xué)思想方法

        從上述問題的解決,可以看到,數(shù)學(xué)思想方法在問題解決中起著一種高屋建瓴的指導(dǎo)作用,如不等式與方程、函數(shù)的互化,實(shí)現(xiàn)了不等式的有效轉(zhuǎn)化;如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,實(shí)現(xiàn)“以形觀數(shù)”,直觀明了,特別是運(yùn)用函數(shù)圖象解決不等式問題非常巧妙,簡(jiǎn)化了許多計(jì)算;如轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,有效實(shí)現(xiàn)參變量分離,數(shù)學(xué)思想是知識(shí)的精髓,是方法的精神,是對(duì)知識(shí)與方法的高度概括與提煉,而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化,是在數(shù)學(xué)的提出、解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題或?qū)嶋H問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等,具有實(shí)踐性,若說數(shù)學(xué)方法是外顯的,那么數(shù)學(xué)思想可以說是內(nèi)隱的,數(shù)學(xué)思想能更深刻地反映數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在關(guān)系,是進(jìn)一步對(duì)數(shù)學(xué)方法的概括與升華,教學(xué)中,有機(jī)融入數(shù)學(xué)思想方法,有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        (3)宏觀與微觀相結(jié)合

        數(shù)學(xué)教學(xué)要注重整體格局的把握,要注重將宏觀與微觀結(jié)合,宏觀是大的方向,大的背景,它是學(xué)生問題解決的總體思路,具體如思想方法的引導(dǎo);微觀即是小的技巧,問題的切入點(diǎn),問題解決細(xì)膩的處理,反映的是面對(duì)問題解決中不同的情境采用的方法,本題中,于教師而言不僅宏觀上需要知曉這三種處理方法,而且微觀上也需要掌握這三種處理方法應(yīng)用的具體知識(shí);于學(xué)生而言,因?yàn)橛行┲R(shí)超越了學(xué)生的認(rèn)知能力,不妨點(diǎn)到為止,但宏觀上可以將上述方法2與方法3的思路與學(xué)生分享,不僅體現(xiàn)知識(shí)方法完整性,也體現(xiàn)數(shù)學(xué)的解法的多樣性和簡(jiǎn)潔性,解題教學(xué)中,宏觀與微觀相結(jié)合,有助于學(xué)生厘清思路,把握問題本質(zhì)。

        參考文獻(xiàn)

        [1]金雪根.抓住本質(zhì)、突出主線、促進(jìn)發(fā)展:例談關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的課堂教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2011(7):87-98

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