楊元韡 耿曉華

(1.江蘇省常州高級中學(xué) 213003； 2.常州市北郊高級中學(xué) 213031)

考試作為教學(xué)評價的一個重要的形式，其價值和功能是不可低估的．作為試卷的細胞———試題，如果它背景簡單，立意深刻，解法常規(guī)，甚至多樣，不僅能考察學(xué)生的能力，而且能起到科學(xué)測試的作用．筆者有幸為常州高級中學(xué)高一年級學(xué)生命制期末試題，其中的附加卷部分的形式可以多樣，同時鼓勵創(chuàng)新．

筆者以蘇教版必修4教材[1]為藍本，在附加卷中命制了以下探索題，并給出參考答案．

探索題——探索幾何與三角的統(tǒng)一之美

對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法．下面的問題為蘇教版必修4教材第125頁的問題(2)引申出來的新問題：

如圖1，矩形ABCD所在的平面與地面垂直，A點在地面上，AB=a，BC=b，AB與地面成θ角，∠CAB=φ，點C到地面的高為h，試用兩種不同的方法計算h(即利用上面所說的算兩次思想)，并寫出你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

圖1

參考答案如圖2，第1種方法計算h：過點B作地面的垂線EF，與過點C的水平面及地面分別交于E，F(xiàn)，容易得到

h=EF=BF+BE=asinθ+bcosθ.

過點C作地面的垂線CG，交地面于點G，則

根據(jù)算兩次的思想，我們可以發(fā)現(xiàn)輔助角公式一種情況：

當(dāng)a>0，b>0時，

其中輔助角φ滿足

圖2

筆者通過觀察圖形給出計算h的兩種方法，通過“算兩次”得到輔助角公式．本以為這道題學(xué)生會循著筆者設(shè)計好的參考答案作答，但是測試的結(jié)果的確讓筆者感到意外．因為學(xué)生之間思考的角度、命題者與被測者之間思考的角度都有著差異，所以學(xué)生得到的結(jié)論是豐富多彩的，筆者認(rèn)為的一道“封閉”題居然變成了一道開放題！下面列出學(xué)生精彩的解答(為簡便起見，以下解答僅寫出關(guān)鍵步驟)．

學(xué)生解法1：同參考答案，得到輔助角公式．

學(xué)生解法2：

一方面，h=asinθ+bcosθ，

化簡得cosφsinθ+sinφcosθ=sin(θ+φ)，

即兩角和的正弦公式．

學(xué)生解法3：

如圖2，一方面，

AG=AF-CE=acosθ-bsinθ，

則h=CG=AG·tan(θ+φ)

=(acosθ-bsinθ)·tan(θ+φ)，

另一方面h=asinθ+bcosθ，

則有(acosθ-bsinθ)·tan(θ+φ)

=asinθ+bcosθ，

即得兩角和的正切公式．

基于對于命題預(yù)設(shè)與測試反饋存在的較大差異，筆者作了以下幾點思考.

思考1 要重視“算兩次”的教學(xué)

“算兩次”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也稱作富比尼(G.Fubini)原理．實際上就是從不同角度看問題，將同一個量從兩個不同的角度計算兩次，利用“ 殊途同歸”的等量關(guān)系達到“出奇制勝”的目的．“算兩次”不僅體現(xiàn)了從兩個方面去計算的解題方法，更重要的是蘊涵著換一個角度看問題的轉(zhuǎn)換思想．它是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造發(fā)明的法寶，也是同學(xué)們進行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動的探索方式．著名數(shù)學(xué)家波利亞對此十分推崇，他曾形象地將其比喻為“拋兩個錨安全系數(shù)更大”．“算兩次”的解題形式，一般分為三步：“ 一方面……，另一方面……，綜合這兩個方面, 可以得到……”．在蘇教版教材中，“算兩次”的身影常常出現(xiàn)．例如，在必修4教材第三章中兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，在三角變換一章中有若干道習(xí)題，都是利用“算兩次”得到或者解決；再如選修2-3教材[2]中第1章復(fù)習(xí)題第17題還明確給出了“算兩次”的概念，并利用“算兩次”構(gòu)造組合恒等式等．

教師在教學(xué)的過程中，如果遇到一個量可以用多種方法表示，應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去表達同一個量，往往會得到一些有趣的等式，可以讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)中不同的對象之間的統(tǒng)一之美．例如，學(xué)生若從圖形中得到這些常見的公式，就有這樣的機會體驗數(shù)學(xué)中三角與幾何的統(tǒng)一之美．“算兩次”的教學(xué)對拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、分析、歸納等能力，提高學(xué)生的審美水平都大有裨益．

思考2 開放性數(shù)學(xué)試題的價值值得思考

在國外的數(shù)學(xué)測試中常常出現(xiàn)開放性的數(shù)學(xué)試題．開放性的數(shù)學(xué)試題的特點在于被測者根據(jù)自己思維的廣度和深度的不同而得到不同層次或者不同類別的結(jié)論，或者不能得到相應(yīng)的結(jié)論，從而有一定的區(qū)分度，但又不禁錮學(xué)生思維．例如，在上述探索題中，計算h的方法至少有3種，一些被測者因只能利用一種方法表示不能得到等式；另一些被測者能得到兩種方法，很快能根據(jù)“算兩次”得到等式；而即使能用“算兩次”得到等式的被測者，由于計算方法存在差異，所得的等式完全不同．實質(zhì)上試題考察學(xué)生思維的廣度，考察學(xué)生能否從多個角度觀察問題、分析問題、歸納結(jié)論的能力．例如，本次測試中，有同學(xué)得到 (acosθ-bsinθ)·tan(θ+φ)=asinθ+bcosθ后，采取繼續(xù)消元的方式，得到了熟悉的兩角和的正切公式，但也有同學(xué)得到這個等式后沒有繼續(xù)化簡，這就體現(xiàn)了被測者思維的深度之間也存在著差異．這說明試題也能考察被測者思維的深度．

開放性數(shù)學(xué)試題能引導(dǎo)學(xué)生從多角度去思考問題，提高思維的廣度，能習(xí)慣用發(fā)散性的思維考慮問題，可能會出現(xiàn)讓命題者都始料不及的豐富而正確的結(jié)論．利用開放性的問題訓(xùn)練學(xué)生的思維，從長遠的角度看，能夠潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生今后從事學(xué)術(shù)科研能力，因為學(xué)術(shù)研究探求的結(jié)論往往都是未知的，需要去探索發(fā)現(xiàn)并予以證明或解決等．

遺憾的是，因為試題在很大程度上要講究標(biāo)準(zhǔn)化，所以這一類開放題以往很少能進入我們的視線．值得欣喜的是，最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)的學(xué)業(yè)水平考試和高考命題建議中明確指出：“命題時，要有一定數(shù)量的應(yīng)用題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題”，這表明開放性問題也將會逐漸地被重視.我校的附加題的命制要求，實際上同時給了命題者和被測者很大的空間，真正讓附加題成為命題改革的實驗田．本次嘗試得到了高一數(shù)學(xué)組同事的認(rèn)同，也得到絕大部分學(xué)生的認(rèn)可(講評時結(jié)論的多樣性讓學(xué)生感嘆不已)．

思考3 輔助角公式的引入的途徑的比較分析

途徑1： 觀察—比較—歸納—驗證—(反思)

途徑2 ：觀察—計算—驗證—反思

類似于探索題，先通過觀察和計算得出輔助角公式(具有一定的局限性，如角的范圍等)；驗證環(huán)節(jié)與反思環(huán)節(jié)同途徑1．

途徑2是受前面探索題啟發(fā)而設(shè)計的，從幾何的問題入手，通過“算兩次”先發(fā)現(xiàn)公式，再去驗證公式，再反思，這也是一個有益的嘗試．因為通過圖形發(fā)現(xiàn)公式本身難度較大，所以途徑2比較適合觀察能力、分析能力很強，基礎(chǔ)很好的學(xué)生．因為有了圖形的幾何解釋，所以理解公式本身就有了幾何的表象，這有利于加深對公式的理解，能進一步感受到幾何和三角的統(tǒng)一之美，使得課堂更加厚實而有趣．事實上，這種引入的方法非常像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)定理，推論，公式等的過程，也就是經(jīng)歷先觀察，再猜想，最后證明(或驗證)．

途徑1和途徑2都遵循了弗賴登塔爾的的基本觀點—“數(shù)學(xué)教育就是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”[3]，具體地，都是先讓學(xué)生從特例的歸納、比較或者從幾何問題中“算兩次”發(fā)現(xiàn)輔助角公式，再去對公式進行驗證、反思．選擇何種途徑應(yīng)依據(jù)學(xué)情，因為學(xué)情是教學(xué)的出發(fā)點，也是教學(xué)的落腳點．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ耄共煌瑢哟蔚膶W(xué)生有不同的收獲．如果不顧學(xué)情選擇不恰當(dāng)?shù)囊敕椒?，只會適當(dāng)其反；比如對基礎(chǔ)一般的學(xué)生若使用途徑2的方法引入，可能連輔助角公式都得不到，這樣反而會弄巧成拙；而對基礎(chǔ)很好的學(xué)生若使用省略反思環(huán)節(jié)的途徑1引入，學(xué)生可能覺得寡然無味，感覺似乎少了點數(shù)學(xué)的道理．

以上是筆者對一道試題的命制預(yù)設(shè)與測試反饋差異的幾點不成熟的思考，以期與同行分享，有不當(dāng)之處懇請批評指正！