王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

筆者在文[1]～[3]中介紹了北京中考數(shù)學(xué)學(xué)科“過程與結(jié)果”并重評價(jià)體系的建立過程，并在后續(xù)文章中闡述了評價(jià)體系實(shí)踐與完善的過程.在上述過程中，深入研究，力爭處理好三對關(guān)系：一是考試改革與課程標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系；二是考試改革與教研改革的關(guān)系；三是考試改革與教學(xué)改革的關(guān)系.課程標(biāo)準(zhǔn)是考試改革的出發(fā)點(diǎn)，教研改革是考試改革的助力劑，教學(xué)改革是考試改革的落腳點(diǎn).其中，課程標(biāo)準(zhǔn)是考試改革、教研改革、教學(xué)改革的基石，準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)性變化是保證改革實(shí)施的必要前提.關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)性變化在文[3]中進(jìn)行了概述，但未詳細(xì)介紹如何在考試改革中體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)性變化.本文旨在從如何落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)質(zhì)性變化的角度切入，通過分析2018年北京中考數(shù)學(xué)試卷，梳理、總結(jié)北京中考數(shù)學(xué)落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)理念和精神的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)改革積累寶貴的經(jīng)驗(yàn)財(cái)富.

2 評價(jià)改革再述

2.1 應(yīng)用意識(shí)

長期以來，無論是教學(xué)還是考試，對數(shù)學(xué)應(yīng)用的理解較為片面，將數(shù)學(xué)應(yīng)用簡單地定位在了講幾個(gè)應(yīng)用題.考試改革須正視此問題.對于應(yīng)用意識(shí)要把握住三個(gè)層次：一是學(xué)生能積極主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)思考實(shí)際問題；二是學(xué)生能積極主動(dòng)地將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題；三是學(xué)生能積極主動(dòng)地利用所掌握數(shù)學(xué)思想方法等驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的合理性，并探索其應(yīng)用價(jià)值.三個(gè)層次都是用“積極主動(dòng)地”進(jìn)行描述，這說明應(yīng)用意識(shí)是一種認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)和形成正確數(shù)學(xué)觀的過程，從本質(zhì)上說是數(shù)學(xué)思維形成的過程.

例(2018年15題)某公園劃船項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

船型兩人船(限乘兩人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小時(shí))90100130150

某班18名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí)，則租船的總費(fèi)用最低為 元.

解析此類問題是學(xué)生常見的生活問題，題目設(shè)置的目的是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維看待生活中的問題.在解決實(shí)際問題的過程中，既能生活情境數(shù)學(xué)化，也能數(shù)學(xué)問題生活化.

首先，利用數(shù)學(xué)知識(shí)思考實(shí)際問題，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.為使租船的總費(fèi)用最低，盡可能讓租船的數(shù)量少，18名同學(xué)可以乘坐2條8人船和1條2人船.這是將實(shí)際情景數(shù)學(xué)化的過程，并在此過程中建立了解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型.其次，將數(shù)學(xué)問題生活化，驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題是否符合生活實(shí)際.通過分析收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，不難發(fā)現(xiàn)，兩人船“90元/小時(shí)”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)“性價(jià)比”低，對每人的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(45元/人/小時(shí))要高于其他三類船的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).在保證租船數(shù)量最少的情況下，18名同學(xué)可以乘坐1條8人船、1條6人船和1條4人船.通過對比兩個(gè)方案，可推斷出8人船、6人船和4人船的方案使得租船的總費(fèi)用最低.

試題“錯(cuò)答”率為17.64%(未答390或380)，反映出這部分考生缺乏用數(shù)學(xué)思維看待生活問題的意識(shí)，生活情境數(shù)學(xué)化的意識(shí)薄弱；反映到課堂教學(xué)方面，應(yīng)用意識(shí)是處于一種“失落”的狀態(tài)，對其重視程度不夠，在課堂上可能只是注重了解題過程，忽略了學(xué)生的“實(shí)踐性”，沒有讓學(xué)生獨(dú)立思考并解決問題，缺乏將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化這一思維過程.答“390”的考生占27.35%，對G1～G10橫向分析發(fā)現(xiàn)，在各組中答“390”的人數(shù)相當(dāng)，尤其是在高分段組中，人數(shù)并沒有顯著下降.這反映出“學(xué)生能積極主動(dòng)地利用所掌握數(shù)學(xué)思想方法等驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的合理性”的意識(shí)薄弱.

表1 2018年15題作答情況數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表(人數(shù))

(注：文中的組G1～G10是按照考生本科目成績升序排列后，根據(jù)人數(shù)平均分為十組)

2.2 數(shù)據(jù)分析觀念

2.2.1 統(tǒng)計(jì)

長時(shí)間以來，計(jì)算平均數(shù)、畫統(tǒng)計(jì)圖(表)是課堂教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)和考試評價(jià)的主要內(nèi)容，但其非統(tǒng)計(jì)的核心.義務(wù)教育階段，數(shù)據(jù)分析觀念是統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)的核心.筆者在文[4]中詳細(xì)地闡述了統(tǒng)計(jì)在初中階段的要求，特別地指出數(shù)據(jù)分析觀念是需要學(xué)生在親身經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)全過程中培養(yǎng)的對數(shù)據(jù)的領(lǐng)悟，根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，并在統(tǒng)計(jì)全過程中感悟統(tǒng)計(jì)思維與思想方法.

例(2018年25題)某年級(jí)共有300名學(xué)生.為了解該年級(jí)學(xué)生A，B兩門課程的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行測試，獲得了他們的成績(百分制)，并對數(shù)據(jù)(成績)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.A課程成績的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成6組：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：

b.A課程成績在70≤x<80這一組的是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c.A，B兩門課程成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

課程平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)A75.8m84.5B72.27083

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)寫出表中m的值；

(2)在此次測試中，某學(xué)生的A課程成績?yōu)?6分，B課程成績?yōu)?1分，這名學(xué)生成績排名更靠前的課程是 (填“A”或“B”)，理由是 ；

(3)假設(shè)該年級(jí)學(xué)生都參加此次測試，估計(jì)A課程成績超過75.8分的人數(shù).

解析此類試題以統(tǒng)計(jì)思想為引導(dǎo)，通過重現(xiàn)統(tǒng)計(jì)全過程，考查數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析，選用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，并解釋推斷結(jié)果.試題設(shè)計(jì)圍繞調(diào)查、隨機(jī)、推斷和量化四個(gè)統(tǒng)計(jì)思想展開，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析(描述性統(tǒng)計(jì)分析和推斷性統(tǒng)計(jì)分析)，側(cè)重于利用樣本的數(shù)據(jù)推測總體的情況，體現(xiàn)樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)基本思想.

首先，讀取數(shù)據(jù).對于數(shù)據(jù)的讀取不能單單讀數(shù)據(jù)本身，應(yīng)當(dāng)是數(shù)據(jù)之間的讀取，找到圖表中數(shù)據(jù)的關(guān)系. 頻數(shù)直方圖表示連續(xù)分組數(shù)據(jù)，但原始數(shù)據(jù)信息丟失.對于A課程的中位數(shù)，需結(jié)合A課程成績在70≤x<80這一組的數(shù)據(jù)分布情況進(jìn)行讀取.其次，在讀取數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)意義，通過分析數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和推理，并回答具體的問題.最后，利用樣本數(shù)據(jù)推測總體的情況.

表2-1 2018年25-1題作答情況數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)情況(人數(shù))

表2-2 2018年25-2題作答情況數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)情況(人數(shù))

對表2-1中組G1～G10橫向分析，得0分與2分的人數(shù)呈現(xiàn)出“兩極”分化的特點(diǎn).前30%、中間40%和后30%考生中，得0分考生分別占22%、49%、79%；結(jié)合表2-2中組G1～G10橫向分析，兩問得分情況分布.上述數(shù)據(jù)從表上面反映出的是對頻數(shù)直方圖的作用不清，數(shù)據(jù)讀取只是單純地讀數(shù)，數(shù)據(jù)間加工能力不強(qiáng)，通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷的能力欠缺等，實(shí)質(zhì)上反映出的是經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過程的欠缺，缺乏統(tǒng)計(jì)思維，更缺乏用統(tǒng)計(jì)的方法發(fā)現(xiàn)、分析和解決統(tǒng)計(jì)問題的能力.例如，對于第(2)問中平均數(shù)和中位數(shù)的理解，這些量都是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，有了這些量，不僅可以描述對象的集中趨勢，還可以用來對不同的總體進(jìn)行比較，對于這些量的認(rèn)識(shí)，不僅是學(xué)習(xí)如何計(jì)算，而是要設(shè)計(jì)合適的統(tǒng)計(jì)過程，在統(tǒng)計(jì)過程中去了解它們是如何描述數(shù)據(jù)集中趨勢的，在數(shù)據(jù)分析過程中理解它們具體的統(tǒng)計(jì)意義.

2.2.2 概率

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的.義務(wù)教育階段概率學(xué)習(xí)更重要的目標(biāo)是體會(huì)概率的意義和作用，而不僅僅是計(jì)算一些事件發(fā)生的概率，不能將這部分內(nèi)容看成是單純計(jì)算內(nèi)容，而應(yīng)該更加關(guān)注在實(shí)際問題中對概率意義的理解.

例(2018年14題)從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時(shí)情況，在每條線路上隨機(jī)選取了500個(gè)班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時(shí)(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：

公交車用時(shí)的頻數(shù) 公交車用時(shí)線路 30≤t≤3535

早高峰期間，乘坐 (填“A”，“B”或“C”)線路上的公交車，從甲地到乙地“用時(shí)不超過45分鐘”的可能性最大.

解析此類試題考查核心是數(shù)據(jù)得隨機(jī)性:一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)不同；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

表3 2018年14題作答情況數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)情況(人數(shù))

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，試題難度不大.試題設(shè)置對教學(xué)導(dǎo)向有二：第一，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)概率的最終目的是解決實(shí)際問題，知道在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多問題可以先調(diào)查數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的分析得到結(jié)論，讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，數(shù)據(jù)較多時(shí)具有某種穩(wěn)定性，可以進(jìn)行“概率決策”.第二，引導(dǎo)教學(xué)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想教授隨機(jī).在這一過程中既能體會(huì)隨機(jī)，又感受到數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，并根據(jù)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行規(guī)律性推斷，雖然不能保證估計(jì)得完全一致，但是能保證在一定試驗(yàn)次數(shù)下，估計(jì)值與實(shí)際值相差不大的可能性是很大的.這也是這種推斷背后的科學(xué)依據(jù).

2.3 尺規(guī)作圖

很長時(shí)間以來，尺規(guī)作圖被歸為“數(shù)學(xué)基本技能”類，也就是按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、畫圖、繪制圖表等，只強(qiáng)調(diào)操作性.對于“尺規(guī)作圖”，要像證明一樣做到“言必有據(jù)”，這種要求有助于發(fā)展學(xué)生的理性精神，應(yīng)當(dāng)予以充分重視.

例(2018年17題)下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P.

求作：直線PQ，使得PQ∥l.

作法：如圖，

①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點(diǎn)B；

②在直線l上取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)A重合)，作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)Q；

③作直線PQ.

所以直線PQ就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：∵AB=______，CB=______，

∴PQ∥l( )(填推理的依據(jù)).

解析此類試題從課堂教學(xué)的角度呈現(xiàn)了學(xué)習(xí)“尺規(guī)作圖”的一般過程.步驟1：寫出已知條件和求作圖形.應(yīng)當(dāng)把已知的線段或角畫出，并用字母表示.步驟2：求作圖形.應(yīng)當(dāng)說明是哪些邊和角構(gòu)成的圖形.步驟3：畫草圖分析.探索作圖的方法.步驟4：作法.要清楚簡要地?cái)⑹鲎鞣?步驟5：證明.證明所作出的圖形是符合條件和要求的.其中，其中1、2、4、5這四步缺一不可.課程標(biāo)準(zhǔn)要求“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”.這說明“尺規(guī)作圖”不要求寫出“已知”、“求作”，但強(qiáng)調(diào)了作圖要有根有據(jù)，反映出對“尺規(guī)操作”的要求不能僅僅停留在操作層面，還要搞清楚作圖過程中的“因、果、由因得果的依據(jù)”，并且能有條理的表達(dá)作圖過程中的邏輯.

2.4 函數(shù)

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中，沒有系統(tǒng)全面提出映射，函數(shù)三要素，函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性，奇偶性)等有關(guān)函數(shù)的理論問題及相關(guān)概念，但結(jié)合具體的函數(shù)，須有效地滲透，并逐步解釋函數(shù)的本質(zhì)特征—聯(lián)系和變化，以及基本思想方法.但很長一段時(shí)間以來，函數(shù)的關(guān)注點(diǎn)在引入形式化的函數(shù)定義，圖象與性質(zhì)等具體內(nèi)容上，忽視了學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目標(biāo)：函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際的聯(lián)系十分緊密，它來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，從實(shí)際中抽象出函數(shù)的有關(guān)概念，又運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)理論的主體，但須把握函數(shù)是從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律和對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，抓住變化與對應(yīng)的思想是函數(shù)的基礎(chǔ)，也應(yīng)是函數(shù)學(xué)習(xí)的主線.

例(2018年24題)如圖，Q是AB與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點(diǎn)，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長交AB于點(diǎn)C，連接AC.已知AB=6 cm，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為xcm，P，C兩點(diǎn)間的距離為y1cm，A，C兩點(diǎn)間的距離為y2cm .

小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補(bǔ)充完整：

(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值；

x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x，y1)，(x，y2)，并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，AP的長度約為 cm.

解析此類試題從具有幾何背景的問題出發(fā)，從運(yùn)動(dòng)與變化的角度，采用取點(diǎn)，畫圖，測量，填表的方法，對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象和梳理，由常量過渡到變量，概括出變量間關(guān)系的共同特征，引出解決問題的函數(shù)模型；通過建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)，畫函數(shù)圖象，領(lǐng)會(huì)函數(shù)圖象具有直觀反映和描述函數(shù)的變化規(guī)律的工具作用，研究函數(shù)的性質(zhì)；重新審視問題，利用函數(shù)的本質(zhì)特征，結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題.

義務(wù)教育階段對函數(shù)性質(zhì)的研究只是初步的，但是有限度的研究，已經(jīng)體現(xiàn)出從函數(shù)的數(shù)量特征以及圖象的幾何特征來研究每一類函數(shù)，并利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解決問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想是研究和解決函數(shù)問題的基本思想和方法.通過分析表4數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)，得1分考生占比很大，主要分布于組G1～G7；得2分考生主要分布于組G5～G9；得3分考生占比最小，主要分布于組G8～G10.此問很好地實(shí)現(xiàn)了區(qū)分功能，但從另外一個(gè)角度來看，結(jié)合函數(shù)圖象，利用屬性結(jié)合思想解決問題的能力不夠，這一點(diǎn)應(yīng)該引起足夠的重視.

表4 2018年24-3題作答情況數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)情況(人數(shù))

3 結(jié)束語

本文從課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)質(zhì)性變化的角度切入，從核心概念、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、函數(shù)等方面，提出存在問題，通過分析試題，結(jié)合數(shù)據(jù)，進(jìn)行深入思考，提供解決問題的方案，既是對落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)理念和精神的總結(jié)，更是提出了教學(xué)改革、教研改革和考試改革共同努力的方向和目標(biāo).北京中考數(shù)學(xué)學(xué)科的改革還在不斷地進(jìn)行探索與完善之中，思考之處未必文章若有不妥之處，請批評指正.