范大陽(yáng)
【教材重現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第三章第一節(jié)“平均數(shù)”第二課時(shí)(99~100頁(yè)).
問(wèn)題1:為了解某市九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的情況,抽樣調(diào)查了該市200名九年級(jí)學(xué)生上學(xué)期參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的天數(shù),并根據(jù)調(diào)查所得的數(shù)據(jù)繪制條形統(tǒng)計(jì)圖(圖1)如下:
圖1
求這200名學(xué)生參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的平均天數(shù).
小麗的算式為:
你認(rèn)為上述兩種算法哪一個(gè)正確?為什么?
這200名學(xué)生參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的平均天數(shù),不僅與參加活動(dòng)的天數(shù)有關(guān),還與相應(yīng)的人數(shù)有關(guān),因此小麗的算法是正確的.
這里的人數(shù)10,30,60,50,50分別是天數(shù)2,3,4,5,6的“權(quán)”.那什么叫做“權(quán)”呢?
一組數(shù)據(jù)的平均數(shù),不僅與這組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的值有關(guān),而且與各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān).我們把衡量各個(gè)數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做“權(quán)”.這樣算出來(lái)的平均數(shù)4.5就是數(shù)2,3,4,5,6的“加權(quán)平均數(shù)”.
由“問(wèn)題1”而產(chǎn)生的變式問(wèn)題在各地中考中極其常見(jiàn),下面就讓我們一起去探究吧.
例1為迎接“六一”兒童節(jié)的到來(lái),某校學(xué)生參加獻(xiàn)愛(ài)心捐款活動(dòng),隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生的捐款數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,相應(yīng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖(圖2)如下:
圖2
(1)該樣本的容量是_______,樣本中捐款15元的學(xué)生有________人.
(2)若該校一共有500名學(xué)生,據(jù)此樣本估計(jì)該校學(xué)生的捐款總數(shù).
【解析】(1)50,10.
(2)樣本中平均每人的捐款數(shù)為:
所以9.5×500=4750(元).
這里的15,25,10分別是捐款數(shù)5,10,15的“權(quán)”,9.5就是5,10,15的“加權(quán)平均數(shù)”.
關(guān)于這種統(tǒng)計(jì)圖的題目還有很多,下面我們?cè)倏匆焕?
例2為了解某種電動(dòng)汽車的性能,對(duì)這種電動(dòng)汽車進(jìn)行了抽檢,將一次充電后行駛的里程數(shù)分為A,B,C,D4個(gè)等級(jí),其中相應(yīng)等級(jí)的里程依次為200千米,210千米,220千米,230千米,獲得如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖(圖3).
圖3
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)問(wèn)這次被抽檢的電動(dòng)汽車共有幾輛?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)估計(jì)這種電動(dòng)汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少千米?
本題考點(diǎn):條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、加權(quán)平均數(shù).
【解析】(1)具體過(guò)程略.共有100輛電動(dòng)汽車被抽檢,補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖(圖4)所示:
圖4
這里的10,30,40,20分別是里程數(shù)200,210,220,230的“權(quán)”,217就是200,210,220,230的“加權(quán)平均數(shù)”.
【總結(jié)】看了這兩道題目之后,不知同學(xué)們是否發(fā)現(xiàn)了規(guī)律.這類求平均數(shù)的問(wèn)題,分母總是權(quán)數(shù)的和,分子是各個(gè)項(xiàng)目的權(quán)與代表該項(xiàng)目的具體數(shù)值的乘積的和.同學(xué)們,你們發(fā)現(xiàn)了嗎?
當(dāng)然,這類問(wèn)題不止是以統(tǒng)計(jì)圖的形式出現(xiàn),還有以表格的形式出現(xiàn),我們?cè)倏匆焕?
例3貴陽(yáng)市“陽(yáng)光小區(qū)”開(kāi)展“節(jié)約用水,從我做起”的活動(dòng),一個(gè)月后,社區(qū)居委會(huì)從小區(qū)住戶中抽取10個(gè)家庭與他們上月的用水量進(jìn)行比較,統(tǒng)計(jì)出節(jié)水情況如下表:
節(jié)水量(m2)0.3 0.4 0.5 0.6 0.7家庭數(shù)(個(gè))2 2 4 1 1
那么這10個(gè)家庭的節(jié)水量(m2)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是( ).
A.0.47和0.5 B.0.5和0.5
C.0.47和4 D.0.5和4
【解析】這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:
處于中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是0.5.故選:A.
這里的2,2,4,1,1分別是節(jié)水量0.3,0.4,0.5,0.6,0.7的“權(quán)”,0.47就是0.3,0.4,0.5,0.6,0.7的“加權(quán)平均數(shù)”.