陳小紅
平面向量具有代數(shù)的特性,例如它可以用坐標(biāo)表示,兩向量的共線、垂直、數(shù)量積都可以利用坐標(biāo)來判斷或表示.平面向量又具有幾何的特征,例如它本身可以用有向線段來表示,兩向量的和、差都可以通過幾何的方式作出來等等.正是因?yàn)槠矫嫦蛄康摹皟擅嫘浴?,所以思考與解決平面向量相關(guān)問題往往會(huì)有“兩視角”.下面,我們舉例說明.
兩種視角的評(píng)析代數(shù)的視角,是將向量的數(shù)量積坐標(biāo)化,最終轉(zhuǎn)化成一元不等式恒成立問題,這種轉(zhuǎn)化方法比較直接,也容易想到,其缺點(diǎn)是字母運(yùn)算多,計(jì)算量大;幾何的視角,將向量的數(shù)量積為正,轉(zhuǎn)化成點(diǎn)P在以O(shè)M為直徑的圓外,再由點(diǎn)P的任意性,轉(zhuǎn)化成直線AB與以O(shè)M為直徑的圓相離,這樣的轉(zhuǎn)化比代數(shù)視角要困難一些,更加遞進(jìn)一個(gè)層次,但是計(jì)算要容易得多,后面又有兩種視角轉(zhuǎn)化直線與圓相離這個(gè)條件,其一是常規(guī)的做法,即利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系列出不等式求解,其二注意到問題的特殊性,根據(jù)AB⊥OM及圖形,只要滿足點(diǎn)0,M在直線AB的同側(cè)即可,然后列出不等式求解.盡管幾何視角對(duì)于平面向量的相關(guān)幾何意義的要求較高,但這種方法對(duì)問題背景揭示得更為深刻,本例中利用幾何視角解題關(guān)鍵是要能想到PO·PM >O的幾何視角的轉(zhuǎn)化!既然明白了PO·PM>O的幾何意義,那么理解PO·PM =O,PO·PM 結(jié)語(yǔ) 轉(zhuǎn)化與化歸的思想幾乎貫穿了數(shù)學(xué)解題的始終,并且很多問題轉(zhuǎn)化的方向不是單一的,尤其是與向量相關(guān)的問題.向量具有“兩面性”,思考常有“兩視角”——代數(shù)視角與幾何視角.因此同學(xué)們應(yīng)該常常從不同的視角去解讀同一個(gè)問題,往往會(huì)找到不同的突破口,甚至可以比較得出好的解法,加深對(duì)問題的本質(zhì)的理解!