沙國祥

2016年高考結(jié)束幾天后，一位考生來到《新高考》編輯部，我問他：

“第19題第（2）小題（附后），你當(dāng)時是怎么想的？”

（2016年江蘇卷第19題）已知函數(shù)f（x）=ax+bx，（a>0，b>0，a≠1，b≠1）.

（1）略：

（2）若Ol，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有1個零點(diǎn)，求ab的值.

“我是先猜出 ab=l的，這時g（x）=ax+a-x-2，它的圖象關(guān)于y軸對稱，x=o是g（x）的唯一零點(diǎn).”

從直觀上看，偶函數(shù)f（x）的圖象（如圖1是a=0.5時f（x）的圖象）具有軸對稱性，且在x=O時f（x）的圖象在最低點(diǎn)處與直線y=2相切，這意味著x=0時，g（x）的圖象在最低點(diǎn)處與x軸相切，據(jù)此可猜想題目的結(jié)論，從而為下一步證明找到方向和思路：

“下面我畫畫草圖，繼續(xù)猜想并證明了ab≠1時，g（x）至少有兩個零點(diǎn).”

如果ab>l，如圖2，a=0.5，b=3時，f（x）的圖象不是關(guān)于y軸對稱的.x

下面只需證明以上從直觀圖象得到的猜想，這里簡單說說證明的思路.