秦佳敏

[摘 要]要讓學生掌握用軸對稱變換的方法，解決“兩點之間線段最短”路徑問題，教師要題目分析到位，將問題轉(zhuǎn)化明確，從而讓學生把握住重點，明確好方向.教師還要做好引導，引領(lǐng)學生總結(jié)結(jié)論.

[關(guān)鍵詞]有效教學；最短路徑；軸對稱；探索

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）29-0019-02

“兩點之間線段最短”是課標實驗教科書人教版初一上冊的內(nèi)容.教材通過生活實例解釋，比如說用相同速度從學校到家，走什么路線最快到家？最短的距離當然是走直線，可以測量距離.而如何使用這個知識點，是到了初二的時候?qū)W生才有所接觸，那就是“最短路徑問題”.“最短路徑問題”看似困難，而當學生想清楚了解決起來就比較簡單.教師要把這個知識點的問題提得到位、講透徹卻并不容易.學生會有一系列問題，如怎么去看圖？哪里才有直線？怎樣構(gòu)成線段？怎么尋找對稱軸、對稱點？下面我們就來看看廣西師大附中張知瑩老師如何解決問題.

一、教學過程

1.提出問題，轉(zhuǎn)化思想

廣西師大附中張知瑩老師從中考考題出發(fā)，講解初二上冊書本13.4課題學習中的最短路徑問題.

問題1：牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

如果把河邊L近似地看成一條直線，如圖1，P為直線L上的一個動點，那么，上面的問題可以轉(zhuǎn)化為“當點P在L的什么位置時，AP與PB的和最小”.解決這類題型的方法是運用軸對稱變換，把同側(cè)的兩個點變成異側(cè)，如圖2，將點A的對稱點A′與點B相連，構(gòu)成“兩點之間線段最短”，引出今天的知識點.

2.延伸練習，鞏固結(jié)論

課程中教師讓學生解釋了A′B為何是最短距離之后給出了變式練習，再結(jié)合三角形、四邊形、坐標系等學習內(nèi)容，把圖形轉(zhuǎn)變成“點變線不變”的練習題，讓學生加深印象，再在四邊形的基礎(chǔ)上將背景圖形不斷變換，把四邊形的基礎(chǔ)知識結(jié)合在一起加強鞏固，最后“點不變增加線”，升華內(nèi)容變成兩個點和兩條對稱軸的情況，如圖3和圖4，期望能夠通過不斷地強化“兩點之間，線段最短”的思想達到訓練的目的.

二、課堂評價

第一，教師對教材的整合比較到位.由易到難，層層深入，同時歸納了整個初中階段可能會遇到的有關(guān)距離最短的問題，將材料很好地展現(xiàn)到了學生面前.如上題中，先從基本圖形入手，讓學生有一個較為系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，再讓學生對知識的運用加以拓展.但是由于學生知識的積累還不夠，網(wǎng)絡(luò)雖然已經(jīng)搭建起來，學生能夠往里面填的材料卻不足，不知道要如何去找對應(yīng)的對稱點和對稱軸.

第二，教師對學生的關(guān)注和引導比較到位.學生對基礎(chǔ)知識有疑問，不知道是如何作關(guān)于直線L的對稱，找到一個點的對稱點，教師及時對學生的這種理解做了相應(yīng)的改變，加入了推導過程和解釋的過程，并且很好地解釋了為什么這條直線是最短的，如圖5所示.

第三，教師注重學生思維培養(yǎng).這是本節(jié)課的一大優(yōu)點，教師問到關(guān)鍵的點：你為什么會想到這樣做？讓學生的思維得到很好的拓展和延伸.比如學生在做出相應(yīng)的習題后，教師抓住時機問他們是如何想的，把學生的思維方式總結(jié)歸納出來，使得大部分學生有了數(shù)感，以后遇到這樣的題目就知道這樣去想了.

三、探索實踐

在聽完課后，我做了大膽的嘗試，用了連續(xù)兩節(jié)課的時間，在自己的班上把課程再上一遍.

1.提出問題，總結(jié)歸納

對于“點A、B位于直線L一側(cè)，在L上找到一點P使得AP+BP最短.”我會歸納出幾個核心問題提問學生：“對稱的點是哪個？對稱軸是哪條？所用的思想方法是什么？”總結(jié)歸納，讓學生從一道題中得出自己的思維方法，從而舉一反三.

2.同類問題，舉一反三

根據(jù)例題的結(jié)論，學生會有意識地去尋找對稱的點和對稱軸.如果出現(xiàn)圖像變換的時候，他們也可以答題.如練習：如圖6所示，正方形[ABCD]的面積為12，[△ABE]是等邊三角形，點[E]在正方形[ABCD]內(nèi)，在對角線[AC]上有一點[P]，使[PD+PE]的和最小，則這個最小值為 .

學生很容易發(fā)現(xiàn)點D、E是對稱點，而對稱軸是AC.在比較兩個對稱點D和E后，大家會發(fā)現(xiàn)點D更容易找到對稱點B，這樣將問題中的[PD+PE]轉(zhuǎn)化成了求BE的長度，從而使問題簡單化.

學生明白了要找的目標后，題目就會變得簡單，學生在背景圖形不斷變換的情況下，較好地掌握了解題的思想和方法.

3.衍生方法，討論結(jié)果

題目出現(xiàn)兩條對稱軸.例題：如圖3，已知牧馬營地在A處，放馬到草地吃草后，再到河邊L處喝水后回到點B處，牧馬人到草地和河邊的什么位置放馬，才能使所走的路徑最短？

學生剛開始聽到題目時有點懵，但當我問道：“這是不是我們之前的‘兩點之間，線段最短”的問題時，大家還是能夠很肯定的回答.接著我又問：“那么如何才能出現(xiàn)‘兩點，使得線段最短呢？”學生很快想到一定還是使用對稱這樣的方式來解決，嘗試去將兩個點分別對稱.最后發(fā)現(xiàn)兩個點同時作對稱就能夠達到最短的要求.但同時遇到一個爭議比較大的問題：是不是可以作兩個點關(guān)于任意一條對稱軸的對稱點呢？學生通過討論，發(fā)現(xiàn)四種情況：1.關(guān)于草地作對稱；2.關(guān)于河邊L 作對稱；3.點A、B分別關(guān)于河邊L、草地作對稱；4.點A、B分別關(guān)于草地、河邊L作對稱.

學生的答案五花八門，結(jié)果產(chǎn)生矛盾，問題發(fā)生爭執(zhí)，到底哪一個才是正確的呢？大家討論可以發(fā)現(xiàn)，圖7和圖8的畫法只能完成牧草或者是喝水一件事，都不符合題意.圖9很多學生有了爭議，通過討論學生發(fā)現(xiàn)A-C-D-B這條路線，只是做了所謂的對稱，并沒有體現(xiàn)出“兩點之間線段最短”.怎么體現(xiàn)“兩點之間線段最短”有沒有具體的實例驗證？只有圖10能給出正確答案.總結(jié)大家的結(jié)論，學生發(fā)現(xiàn)這樣的對稱并不是任意的，而是對稱點距離哪條對稱軸近，就作關(guān)于這條對稱軸的對稱.

4.追加問題，提升思維難度

借助學生討論出正確答案的那股勁，我追加問題：如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？

通過本節(jié)課的嘗試，我發(fā)現(xiàn)問題式教學可以改變教師“以講為主，以講居先”的格局.好的問題還可以調(diào)動學生的學習積極性和主動性，更加注重學生參與課堂的能力和探索的能力.學生從討論中自我尋找正確的思維方式，更有利于學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng).這樣的課堂目標明確，學生真正參與到課堂來.學生對自己討論的題目更有興趣，并能夠不斷地質(zhì)疑.讓學生學會探索，讓學生學會學習，我想這才是我們教育的本質(zhì).

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 課程教材研究所·義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2] 課程教材研究所.義務(wù)教育課程標準實驗教科書（教師教學用書）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[3] 何偉方.最短路徑問題：“兩點之間線段最短”的應(yīng)用[J].學苑教育，2013（21）：52-53.

[4] 陶衛(wèi)東.探究“最短路徑”問題[J].數(shù)學教育通訊（初等教育），2013（9）：62-64.

（責任編輯 黃桂堅）