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        用多種方法證明循環(huán)小數(shù)0.等于1

        2018-11-15 12:23:26戴凡浩
        中學課程輔導·教學研究 2018年29期
        關(guān)鍵詞:公比等式小數(shù)

        ◎戴凡浩

        自學了等比數(shù)列之后,循環(huán)小數(shù)皆可以使用無限多項的等比數(shù)列之和進行表示。例如:

        等式(1)中,等比數(shù)列{0.3,0.03,0.003,……}的公比 q為0.1,首相a1為0.3,故此等比數(shù)列的無窮多項和S求和公式為:

        通過上面的方法,可以將所有的循環(huán)小數(shù)變成分數(shù)。

        一.循環(huán)小數(shù)0.的分數(shù)形式

        等式(3)中,等比數(shù)列{0.9,0.09,0.009,……}的公比 q為0.1,首相a1為0.9,故此等比數(shù)列的無窮多項和S求和公式為:

        二.證明方法2:

        將分數(shù)1/3分解為循環(huán)小數(shù)為:

        等式(5)兩邊都乘以3,等式左邊1/3*3,為1;等式右邊,為;即為:,證明完畢。

        三.證明方法3:

        將分數(shù)1/9分解為循環(huán)小數(shù)為:

        等式(6)兩邊都乘以9,等式左邊1/9*9,為1;等式右邊,為;即為:,證明完畢。

        四.證明方法4:

        等式(7)兩邊都乘以10,則:

        等式(8)減(7),得:

        五.證明方法5:

        等式(9)兩邊都乘以0.1,則:

        等式(9)減(10),得:

        從而證得0.9·=1。

        六.證明方法6:

        將無限多個上面的等式累加,結(jié)果為:

        證明完畢。

        七.證明方法7:

        將無限多個上面的等式累加,結(jié)果為:

        等式左邊只會留下1,其余0.1、0.01、0.001等小數(shù)會與隨后的相反數(shù) -0.1、-.01、-0.001所抵消,故等式左邊簡化為1;而等式右邊可以簡化為,代入等式(18),即為:

        證明完畢。

        八.證明方法8:

        設(shè)

        等式(19)兩邊都除以9,則

        九.證明方法9:

        十.結(jié)論:

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