◎戴凡浩
自學(xué)了等比數(shù)列之后,循環(huán)小數(shù)皆可以使用無限多項(xiàng)的等比數(shù)列之和進(jìn)行表示。例如:
等式(1)中,等比數(shù)列{0.3,0.03,0.003,……}的公比 q為0.1,首相a1為0.3,故此等比數(shù)列的無窮多項(xiàng)和S求和公式為:
通過上面的方法,可以將所有的循環(huán)小數(shù)變成分?jǐn)?shù)。
等式(3)中,等比數(shù)列{0.9,0.09,0.009,……}的公比 q為0.1,首相a1為0.9,故此等比數(shù)列的無窮多項(xiàng)和S求和公式為:
將分?jǐn)?shù)1/3分解為循環(huán)小數(shù)為:
等式(5)兩邊都乘以3,等式左邊1/3*3,為1;等式右邊,為;即為:,證明完畢。
將分?jǐn)?shù)1/9分解為循環(huán)小數(shù)為:
等式(6)兩邊都乘以9,等式左邊1/9*9,為1;等式右邊,為;即為:,證明完畢。
等式(7)兩邊都乘以10,則:
等式(8)減(7),得:
等式(9)兩邊都乘以0.1,則:
等式(9)減(10),得:
從而證得0.9·=1。
將無限多個上面的等式累加,結(jié)果為:
證明完畢。
將無限多個上面的等式累加,結(jié)果為:
等式左邊只會留下1,其余0.1、0.01、0.001等小數(shù)會與隨后的相反數(shù) -0.1、-.01、-0.001所抵消,故等式左邊簡化為1;而等式右邊可以簡化為,代入等式(18),即為:
證明完畢。
設(shè)
等式(19)兩邊都除以9,則