摘 要：信號(hào)根據(jù)其隨時(shí)間變化的特征可以分為平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)。信號(hào)在任意時(shí)刻的頻率特征都很重要，僅在時(shí)間域或頻率域分析是不夠的。因此選擇和改進(jìn)時(shí)頻方法，將時(shí)域和頻域結(jié)合起來描述、觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜尤為重要。

關(guān)鍵詞：信號(hào)；頻率；時(shí)頻

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.19.127

0 前言

傅里葉分析方法可以單獨(dú)從時(shí)間域或頻率域觀察信號(hào)，基于傅里葉變換的頻譜分析中頻譜僅僅是時(shí)間平均的頻率響應(yīng)，這一全局變換方式不能很好地分析信號(hào)的局部特征。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，由于信號(hào)在任意時(shí)刻的頻率特征都很重要，僅在時(shí)間域或頻率域分析是不夠的。短時(shí)傅里葉變換在分析平穩(wěn)信號(hào)方面比傅里葉變換更有優(yōu)勢(shì)。

1 傅里葉變換

傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。傅里葉變換是處理平穩(wěn)信號(hào)的最基本、最經(jīng)典的方法，傅里葉變換是信號(hào)從時(shí)間域變換到頻率域的重要紐帶。傅里葉變換把信號(hào)的時(shí)間域映射到頻率域上進(jìn)行表示，且具有一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。傅里葉變換運(yùn)用如此普遍有一個(gè)重要的原因，那就是正弦基函數(shù)對(duì)小擾動(dòng)數(shù)學(xué)方程是一個(gè)很好的手段并且為研究這種問題提供了一個(gè)合適的框架。

時(shí)間函數(shù)在時(shí)間域的表示如圖1（a），其頻率隨著時(shí)間增加而變大，圖1（b）是該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的倒序，其頻率隨著時(shí)間增加而變小，都是非平穩(wěn)信號(hào)。圖1（a）和圖1（b）是同一個(gè)函數(shù)表示的不同序列。從圖1（a）和圖1（b）分辨不出信號(hào)的不同頻率成分以及不同時(shí)間段的頻率大小，即此種情況下信號(hào)的時(shí)間分辨率達(dá)到無窮大，而頻率分辨率則為無窮小。圖2（a）和圖2（b）分別則是這兩個(gè)信號(hào)傅里葉分析后的結(jié)果。圖2（a）和圖2（b）中的振幅譜中可以看到這兩個(gè)序列具有完全相同的振幅譜，也可以確定信號(hào)的頻率成分，或者頻率范圍，但卻無法確定頻率分量的出現(xiàn)時(shí)間及其隨時(shí)間的變化情況。圖3（a）和圖3（b）分別則是這兩個(gè)信號(hào)的相位譜，可以從圖上明顯的看出這兩個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)具有相反的相位譜，但是這個(gè)區(qū)分也是微不足道的，對(duì)實(shí)際中信號(hào)的處理沒有多大的意義。不難看出，在時(shí)間域兩個(gè)信號(hào)的波形圖完全不同，而經(jīng)過傅里葉變換后，在頻域的特征卻基本上一致。這充分說明了傅里葉變換分析方法在分析非平穩(wěn)信號(hào)方面的缺陷。

為了更細(xì)致真實(shí)的刻畫非平穩(wěn)信號(hào)及其時(shí)變系統(tǒng)，傅里葉變化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要對(duì)此進(jìn)行革命性的推廣，采取對(duì)信號(hào)進(jìn)行局部分析的方法，用時(shí)間和頻率的二維函數(shù)來刻畫信號(hào)，即對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析。

2 短時(shí)傅里葉變換

為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅里葉變換進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命。D.Gabor注意到了傅里葉變換存在的缺點(diǎn)，于1946年引入了短時(shí)傅里葉變換。短時(shí)傅里葉變換對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)頻分析的基本思想是：用窗函數(shù)將信號(hào)的時(shí)間域劃分成許多的時(shí)間間隔，假設(shè)窗函數(shù)范圍內(nèi)的信號(hào)是平穩(wěn)的，用傅里葉變換分析每個(gè)窗函數(shù)內(nèi)的信號(hào)部分，通過窗在時(shí)間軸上的移動(dòng)可以得出信號(hào)的一組局部頻譜，稱為信號(hào)的時(shí)變頻譜，即所需的時(shí)頻分布。

短時(shí)傅里葉變換（STFT）實(shí)際上是時(shí)間序列乘以一個(gè)可以平移的時(shí)窗后再做離散傅里葉變換（DFT）的結(jié)果，其在時(shí)頻平面上，各處的分辨率是相同的，短時(shí)傅里葉變換對(duì)信號(hào)的分析如圖4（a）和（b）所示。

在短時(shí)傅里葉變換中對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗是很重要的。定義窗函數(shù)，非平凡函數(shù)稱為窗函數(shù)，如果。要使

（1）

當(dāng)，的衰減速度應(yīng)比快。對(duì)于任意的窗函數(shù)，下面給出窗函數(shù)的中心及半徑的定義，它的中心與半徑分別定義如下：

不難算出，高斯函數(shù)窗的中心與半徑分別為0和，因此，窗函數(shù)的寬度為2。a的取值不同，高斯窗函數(shù)的形狀不同，如圖5所示。

時(shí)間序列由頻率不同的信號(hào)和合成，如圖6所示。下面對(duì)信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換（STFT），圖7是信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換（STFT）頻譜的三維空間圖，圖8是信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換（STFT）頻譜的二維等值線圖。從圖7和圖8不難看出，信號(hào)頻率隨著時(shí)間的變化情況。

3 結(jié)語

短時(shí)傅里葉變換在傅里葉基礎(chǔ)上取得了本質(zhì)的進(jìn)展。用短時(shí)傅里葉變換分析信號(hào)可以在時(shí)頻窗這個(gè)局部范圍內(nèi)觀察，時(shí)頻窗面積反映了時(shí)頻局部化的程度。短時(shí)傅里葉變換在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換不具有的局部分析能力的缺陷。但是，短時(shí)傅里葉變換的時(shí)間-頻率窗的寬度對(duì)于高頻和低頻的局部化的信號(hào)是保持不變。它也存在著自身不可克服的缺點(diǎn)，即窗函數(shù)選定后，時(shí)頻矩形窗口的形狀就確定了。只能改變窗口在時(shí)頻平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。因此，短時(shí)傅里葉變換本質(zhì)上是一種單一分辨率分析，若想改變分辨率，需要重新選定窗函數(shù)。這種性質(zhì)表明，短時(shí)傅里葉變換比較適合分析較平穩(wěn)信號(hào)，而不太適合非平穩(wěn)信號(hào)。

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作者簡(jiǎn)介：裴跟弟（1986-），男，甘肅天水人，研究生，主要研究方向：淺層地震勘探資料解釋。