馬千云
【摘要】函數(shù)貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)體系,甚至為中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線.因此,對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)與把握十分重要.函數(shù)概念是學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)理解的第一步也是最重要的一步,因此,要想學(xué)好數(shù)學(xué)就要打好函數(shù)定義的基礎(chǔ),函數(shù)在高考及中考中所占的百分比也是相當(dāng)之大,因此,本文針對(duì)初高中對(duì)函數(shù)的定義做了一些比較及聯(lián)系的分析.
【關(guān)鍵詞】初高中;函數(shù);區(qū)別
二、初中階段
在常量及變量的基礎(chǔ)上,我們對(duì)于函數(shù)下的定義為傳統(tǒng)法.(定義1)此種定義法為函數(shù)的傳統(tǒng)定義法(變量法),以平面坐標(biāo)系及實(shí)數(shù)為基礎(chǔ),具體研究了初中所學(xué)的正比例函數(shù)及圖像,反比例函數(shù)及圖像,二次函數(shù)圖像及性質(zhì).
函數(shù)的傳統(tǒng)定義法內(nèi)容比較形象直觀,適于表達(dá)定義在某個(gè)區(qū)間上且給出解析式進(jìn)而有算法可循的連續(xù)函數(shù).初中生理解起來(lái)比較容易接受,但也是最基礎(chǔ)最根本的.
三、高中階段
對(duì)于y=1這樣的函數(shù)只含有一個(gè)未知數(shù)且始終為1,y=sinx2+cosx2,x∈R,無(wú)論x怎么變化y的值始終為1不符合初中兩個(gè)變量的要求,利用初中所學(xué)的知識(shí)很難判斷這個(gè)等式是否為函數(shù),因此,結(jié)合初中函數(shù)的概念及高中集合及對(duì)應(yīng)兩個(gè)基礎(chǔ)概念之上,把函數(shù)定義為對(duì)應(yīng)法,使函數(shù)定義更廣泛.
高中在集合及對(duì)應(yīng)這兩個(gè)基本概念基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)定義(定義2),既與之前集合概念有相似之處,又使函數(shù)定義不模糊,清晰明了且適用的范圍較廣.此種定義法有利于研究函數(shù)的精確性質(zhì)并且這種定義方法擺脫了中學(xué)定義中“變量”這一個(gè)不確定名詞,抓住了函數(shù)一一對(duì)應(yīng)這一核心名詞.因此,高中的函數(shù)概念更適合于高中的學(xué)習(xí)與研究.
同時(shí)引進(jìn)了映射的概念,把函數(shù)定義為特殊的映射使學(xué)生進(jìn)一步了解函數(shù)的本質(zhì)(定義2′),這樣也糾正了學(xué)生把函數(shù)理解為函數(shù)只是解析式的思想,避免了學(xué)生對(duì)函數(shù)理解的表面性和主觀性.
而定義3這一定義雖然比較抽象,但它只涉及“集合”這一概念確實(shí)便于接受,但是這一定義過(guò)于形式不具體,沒(méi)有函數(shù)解析式,也沒(méi)提到一一對(duì)應(yīng),因此,對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)是很不容易掌握的.
四、初高中函數(shù)定義的區(qū)別
初中函數(shù)定義強(qiáng)調(diào)變量之間的關(guān)系,強(qiáng)調(diào)一個(gè)變量隨著另一個(gè)量的變化而變化,而高中對(duì)于函數(shù)的定義是在映射概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行定義及理解的.同時(shí)結(jié)合高中第一單元集合的概念更有利于學(xué)生的理解和對(duì)集合的充分運(yùn)用及對(duì)函數(shù)更好的理解.
初中主要研究的函數(shù)為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其圖像.而高中主要研究基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其圖像、性質(zhì).
初中階段只要求學(xué)生掌握什么是函數(shù),會(huì)求函數(shù)的解析式及簡(jiǎn)單的函數(shù)的應(yīng)用,而高中涉及要求學(xué)生會(huì)求定義域、值域以及之后接觸的反函數(shù),由這一觀點(diǎn)可以看出相對(duì)于初中,高中對(duì)學(xué)生理解函數(shù)的要求更高、更多.
函數(shù)的概念教學(xué)是有階段性的,學(xué)生對(duì)于函數(shù)的理解也是有階段性的,都是從具體到一般、從模糊到具體.在初中階段學(xué)生可能只認(rèn)為有解析式的就是函數(shù),有圖像的就是函數(shù),而高中對(duì)于函數(shù)的概念借助映射的定義更好理解,雖然相對(duì)于初中,高中對(duì)函數(shù)的定義較抽象,但是更符合學(xué)生的認(rèn)知,映射使一一對(duì)應(yīng)更廣泛不僅僅局限于數(shù)集.
五、初高中函數(shù)定義的聯(lián)系
第一,初高中函數(shù)應(yīng)用上都用到了數(shù)形結(jié)合的思想,在初高中研究函數(shù)經(jīng)常用到的方法就是數(shù)形結(jié)合,通過(guò)對(duì)圖像的分析及研究來(lái)研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),通過(guò)圖像能夠清晰明了地理解函數(shù)的概念及函數(shù)概念中強(qiáng)調(diào)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.
第二,學(xué)過(guò)初中函數(shù)的定義也能夠更好地理解高中函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.高中將初中自變量、因變量的取值范圍分別定義為定義域及值域.使得自變量、因變量的取值范圍不那么抽象,能夠更好地理解定義域及值域.
第三,兩種階段函數(shù)定義的選取都符合當(dāng)時(shí)學(xué)生的認(rèn)知.初中階段學(xué)生的抽象邏輯思維形成但是處于經(jīng)驗(yàn)型,剛開(kāi)始理解抽象概念的本質(zhì),因此,初中階段對(duì)于函數(shù)的定義更接近學(xué)生的認(rèn)知.而高中階段學(xué)生能夠全面深刻地了解事物的細(xì)節(jié)、可以輕松抓住抽象概念的本質(zhì)、概括能力增強(qiáng)、對(duì)于抽象事物的理解更上升了一個(gè)層次,因此,高中階段對(duì)于函數(shù)的定義更符合高中學(xué)生的認(rèn)知.
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