馬千云

【摘要】函數(shù)貫穿整個中學數(shù)學體系，甚至為中學數(shù)學的一條主線.因此，對于函數(shù)的學習與把握十分重要.函數(shù)概念是學生對函數(shù)本質(zhì)理解的第一步也是最重要的一步，因此，要想學好數(shù)學就要打好函數(shù)定義的基礎(chǔ)，函數(shù)在高考及中考中所占的百分比也是相當之大，因此，本文針對初高中對函數(shù)的定義做了一些比較及聯(lián)系的分析.

【關(guān)鍵詞】初高中；函數(shù)；區(qū)別

二、初中階段

在常量及變量的基礎(chǔ)上，我們對于函數(shù)下的定義為傳統(tǒng)法.（定義1）此種定義法為函數(shù)的傳統(tǒng)定義法（變量法），以平面坐標系及實數(shù)為基礎(chǔ)，具體研究了初中所學的正比例函數(shù)及圖像，反比例函數(shù)及圖像，二次函數(shù)圖像及性質(zhì).

函數(shù)的傳統(tǒng)定義法內(nèi)容比較形象直觀，適于表達定義在某個區(qū)間上且給出解析式進而有算法可循的連續(xù)函數(shù).初中生理解起來比較容易接受，但也是最基礎(chǔ)最根本的.

三、高中階段

對于y=1這樣的函數(shù)只含有一個未知數(shù)且始終為1，y=sinx2+cosx2，x∈R，無論x怎么變化y的值始終為1不符合初中兩個變量的要求，利用初中所學的知識很難判斷這個等式是否為函數(shù)，因此，結(jié)合初中函數(shù)的概念及高中集合及對應(yīng)兩個基礎(chǔ)概念之上，把函數(shù)定義為對應(yīng)法，使函數(shù)定義更廣泛.

高中在集合及對應(yīng)這兩個基本概念基礎(chǔ)上對函數(shù)定義（定義2），既與之前集合概念有相似之處，又使函數(shù)定義不模糊，清晰明了且適用的范圍較廣.此種定義法有利于研究函數(shù)的精確性質(zhì)并且這種定義方法擺脫了中學定義中“變量”這一個不確定名詞，抓住了函數(shù)一一對應(yīng)這一核心名詞.因此，高中的函數(shù)概念更適合于高中的學習與研究.

同時引進了映射的概念，把函數(shù)定義為特殊的映射使學生進一步了解函數(shù)的本質(zhì)（定義2′），這樣也糾正了學生把函數(shù)理解為函數(shù)只是解析式的思想，避免了學生對函數(shù)理解的表面性和主觀性.

而定義3這一定義雖然比較抽象，但它只涉及“集合”這一概念確實便于接受，但是這一定義過于形式不具體，沒有函數(shù)解析式，也沒提到一一對應(yīng)，因此，對于初學者來說是很不容易掌握的.

四、初高中函數(shù)定義的區(qū)別

初中函數(shù)定義強調(diào)變量之間的關(guān)系，強調(diào)一個變量隨著另一個量的變化而變化，而高中對于函數(shù)的定義是在映射概念的基礎(chǔ)上進行定義及理解的.同時結(jié)合高中第一單元集合的概念更有利于學生的理解和對集合的充分運用及對函數(shù)更好的理解.

初中主要研究的函數(shù)為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其圖像.而高中主要研究基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其圖像、性質(zhì).

初中階段只要求學生掌握什么是函數(shù)，會求函數(shù)的解析式及簡單的函數(shù)的應(yīng)用，而高中涉及要求學生會求定義域、值域以及之后接觸的反函數(shù)，由這一觀點可以看出相對于初中，高中對學生理解函數(shù)的要求更高、更多.

函數(shù)的概念教學是有階段性的，學生對于函數(shù)的理解也是有階段性的，都是從具體到一般、從模糊到具體.在初中階段學生可能只認為有解析式的就是函數(shù)，有圖像的就是函數(shù)，而高中對于函數(shù)的概念借助映射的定義更好理解，雖然相對于初中，高中對函數(shù)的定義較抽象，但是更符合學生的認知，映射使一一對應(yīng)更廣泛不僅僅局限于數(shù)集.

五、初高中函數(shù)定義的聯(lián)系

第一，初高中函數(shù)應(yīng)用上都用到了數(shù)形結(jié)合的思想，在初高中研究函數(shù)經(jīng)常用到的方法就是數(shù)形結(jié)合，通過對圖像的分析及研究來研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，通過圖像能夠清晰明了地理解函數(shù)的概念及函數(shù)概念中強調(diào)的一一對應(yīng)的關(guān)系.

第二，學過初中函數(shù)的定義也能夠更好地理解高中函數(shù)定義中強調(diào)的一一對應(yīng)關(guān)系.高中將初中自變量、因變量的取值范圍分別定義為定義域及值域.使得自變量、因變量的取值范圍不那么抽象，能夠更好地理解定義域及值域.

第三，兩種階段函數(shù)定義的選取都符合當時學生的認知.初中階段學生的抽象邏輯思維形成但是處于經(jīng)驗型，剛開始理解抽象概念的本質(zhì)，因此，初中階段對于函數(shù)的定義更接近學生的認知.而高中階段學生能夠全面深刻地了解事物的細節(jié)、可以輕松抓住抽象概念的本質(zhì)、概括能力增強、對于抽象事物的理解更上升了一個層次，因此，高中階段對于函數(shù)的定義更符合高中學生的認知.

【參考文獻】

[1]章建躍.中學數(shù)學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[2]任明俊，汪曉勤.中學生對函數(shù)概念的理解—歷史相似性初探[J].數(shù)學教育學報，2007（4）：84.

[3]詹國梁.中學數(shù)學中的函數(shù)定義及其教學[J].蘇州教育學院學報，1996（3）：13-15.