馬千云

【摘要】函數(shù)貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)體系，甚至為中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線.因此，對于函數(shù)的學(xué)習(xí)與把握十分重要.函數(shù)概念是學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)理解的第一步也是最重要的一步，因此，要想學(xué)好數(shù)學(xué)就要打好函數(shù)定義的基礎(chǔ)，函數(shù)在高考及中考中所占的百分比也是相當(dāng)之大，因此，本文針對初高中對函數(shù)的定義做了一些比較及聯(lián)系的分析.

【關(guān)鍵詞】初高中；函數(shù)；區(qū)別

二、初中階段

在常量及變量的基礎(chǔ)上，我們對于函數(shù)下的定義為傳統(tǒng)法.（定義1）此種定義法為函數(shù)的傳統(tǒng)定義法（變量法），以平面坐標(biāo)系及實數(shù)為基礎(chǔ)，具體研究了初中所學(xué)的正比例函數(shù)及圖像，反比例函數(shù)及圖像，二次函數(shù)圖像及性質(zhì).

函數(shù)的傳統(tǒng)定義法內(nèi)容比較形象直觀，適于表達定義在某個區(qū)間上且給出解析式進而有算法可循的連續(xù)函數(shù).初中生理解起來比較容易接受，但也是最基礎(chǔ)最根本的.

三、高中階段

對于y=1這樣的函數(shù)只含有一個未知數(shù)且始終為1，y=sinx2+cosx2，x∈R，無論x怎么變化y的值始終為1不符合初中兩個變量的要求，利用初中所學(xué)的知識很難判斷這個等式是否為函數(shù)，因此，結(jié)合初中函數(shù)的概念及高中集合及對應(yīng)兩個基礎(chǔ)概念之上，把函數(shù)定義為對應(yīng)法，使函數(shù)定義更廣泛.

高中在集合及對應(yīng)這兩個基本概念基礎(chǔ)上對函數(shù)定義（定義2），既與之前集合概念有相似之處，又使函數(shù)定義不模糊，清晰明了且適用的范圍較廣.此種定義法有利于研究函數(shù)的精確性質(zhì)并且這種定義方法擺脫了中學(xué)定義中“變量”這一個不確定名詞，抓住了函數(shù)一一對應(yīng)這一核心名詞.因此，高中的函數(shù)概念更適合于高中的學(xué)習(xí)與研究.

同時引進了映射的概念，把函數(shù)定義為特殊的映射使學(xué)生進一步了解函數(shù)的本質(zhì)（定義2′），這樣也糾正了學(xué)生把函數(shù)理解為函數(shù)只是解析式的思想，避免了學(xué)生對函數(shù)理解的表面性和主觀性.

而定義3這一定義雖然比較抽象，但它只涉及“集合”這一概念確實便于接受，但是這一定義過于形式不具體，沒有函數(shù)解析式，也沒提到一一對應(yīng)，因此，對于初學(xué)者來說是很不容易掌握的.

四、初高中函數(shù)定義的區(qū)別

初中函數(shù)定義強調(diào)變量之間的關(guān)系，強調(diào)一個變量隨著另一個量的變化而變化，而高中對于函數(shù)的定義是在映射概念的基礎(chǔ)上進行定義及理解的.同時結(jié)合高中第一單元集合的概念更有利于學(xué)生的理解和對集合的充分運用及對函數(shù)更好的理解.

初中主要研究的函數(shù)為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其圖像.而高中主要研究基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其圖像、性質(zhì).

初中階段只要求學(xué)生掌握什么是函數(shù)，會求函數(shù)的解析式及簡單的函數(shù)的應(yīng)用，而高中涉及要求學(xué)生會求定義域、值域以及之后接觸的反函數(shù)，由這一觀點可以看出相對于初中，高中對學(xué)生理解函數(shù)的要求更高、更多.

函數(shù)的概念教學(xué)是有階段性的，學(xué)生對于函數(shù)的理解也是有階段性的，都是從具體到一般、從模糊到具體.在初中階段學(xué)生可能只認為有解析式的就是函數(shù)，有圖像的就是函數(shù)，而高中對于函數(shù)的概念借助映射的定義更好理解，雖然相對于初中，高中對函數(shù)的定義較抽象，但是更符合學(xué)生的認知，映射使一一對應(yīng)更廣泛不僅僅局限于數(shù)集.

五、初高中函數(shù)定義的聯(lián)系

第一，初高中函數(shù)應(yīng)用上都用到了數(shù)形結(jié)合的思想，在初高中研究函數(shù)經(jīng)常用到的方法就是數(shù)形結(jié)合，通過對圖像的分析及研究來研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，通過圖像能夠清晰明了地理解函數(shù)的概念及函數(shù)概念中強調(diào)的一一對應(yīng)的關(guān)系.

第二，學(xué)過初中函數(shù)的定義也能夠更好地理解高中函數(shù)定義中強調(diào)的一一對應(yīng)關(guān)系.高中將初中自變量、因變量的取值范圍分別定義為定義域及值域.使得自變量、因變量的取值范圍不那么抽象，能夠更好地理解定義域及值域.

第三，兩種階段函數(shù)定義的選取都符合當(dāng)時學(xué)生的認知.初中階段學(xué)生的抽象邏輯思維形成但是處于經(jīng)驗型，剛開始理解抽象概念的本質(zhì)，因此，初中階段對于函數(shù)的定義更接近學(xué)生的認知.而高中階段學(xué)生能夠全面深刻地了解事物的細節(jié)、可以輕松抓住抽象概念的本質(zhì)、概括能力增強、對于抽象事物的理解更上升了一個層次，因此，高中階段對于函數(shù)的定義更符合高中學(xué)生的認知.

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