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        扁平思維洞悉立體幾何

        2018-11-09 01:35:34梁曉盟
        高考金刊·理科版 2018年1期
        關(guān)鍵詞:球心線面三視圖

        梁曉盟

        獨白:數(shù)學(xué)是神秘的,但又是最直率的。初次面對一道數(shù)學(xué)題,或許毫無頭緒,但是當我們把它抽絲剝繭,分化組合的時候,就會發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”。正是這種神秘和直率,讓我對數(shù)學(xué)有執(zhí)著的熱愛。

        愛好:讀書、羽毛球

        就讀高校&專業(yè):北京大學(xué)/歷史學(xué)

        經(jīng)常有同學(xué)說“我的空間想象能力差,所以立體幾何題做不好”我是不贊同這種觀點的一方面,空間想象能力可以通過解題培養(yǎng);另一方面,單純強調(diào)空間想象能力是片面的立體幾何題的求解是綜合能力的體現(xiàn),同時也是有方法可循的。

        想象的駿馬

        良好的空間想象能力對立體幾何的學(xué)習(xí)確實有很大的幫助,因此在平時解題時,我們要有意識地加以培養(yǎng).如平時多做一些與三視圖相關(guān)的練習(xí),畫不同幾何體的直觀圖,研究平面截幾何體所得的截面圖形形狀,以及計算截得的幾何體的體積和表面積等問題.這些都對空間想象能力的培養(yǎng)有很大幫助.

        心中有形,人圖合一

        立體幾何問題的求解方法很重要,熟練掌握常見模型對提升解題速度和準確率都有很大幫助.以與球有關(guān)的組合體為例,常見的求解方法有兩種:一是剖面圖,重點考查平面截球的兩條性質(zhì),如(1)球心和截面的圓心連線與截面垂直;(2)球的半徑(R),截面圓的半徑(r)以及球心到截面的距離(d)滿足關(guān)系式R2=r2+d2;二是補體,轉(zhuǎn)化為與常見幾何體有關(guān)的問題,

        我曾遇到過這樣一道題:如圖1,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為多少?

        模型難求?自己來修

        在面對不規(guī)則模型正面(直接)求解沒有頭緒時,割補法可以幫助我們打開思路,如圖2,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為多少?

        3D?我選2D!

        立體的模型有時可以把條件轉(zhuǎn)化到平面內(nèi),空間問題平面化能讓題目看起來更直觀.例如解決有關(guān)球的組合體問題經(jīng)常借助過球心和截面圓心連線的平面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來研究,例如:某幾何體的三視圖如圖3所示,則該幾何體外接球的體積為多少?

        化繁為簡,四兩撥千斤

        在立體幾何證明題中,經(jīng)常涉及線面轉(zhuǎn)化.看到待證明的結(jié)論,切勿盲目下筆,先理清思路找到解題方向,這樣推理鏈才容易進行,

        有效的推理鏈包括兩個方面:其一是“上游命題”,即要證明一個結(jié)論常用到的理論依據(jù),例如要證明線線平行,我們可以聯(lián)想到平行公理、線面平行的定義等;其二則是“下游命題”,即可以由已知條件得到有價值的信息.例如當題干中出現(xiàn)面面垂直時,聯(lián)想到面面垂直的性質(zhì)定理,將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.注重平時積累和有針對性地探究結(jié)論間的聯(lián)系,是建立和增進推理鏈的基本方法.

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