和 陽, 王蓉華*, 徐曉嶺

(1.上海師范大學 數(shù)理學院,上海 200234; 2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 統(tǒng)計與信息學院,上海 201600)

0 引 言

ABD ELLAH A H[1]將Lomax分布稱為第二型的Pareto分布,該分布包含了單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的失效率,在分析醫(yī)學、生物科學和工程科學等方面的壽命試驗數(shù)據(jù)處理中起著重要的作用.關(guān)于該分布的統(tǒng)計推斷理論引起了很多統(tǒng)計學者的興趣.XIAO和REN[2]研究了熵損失下兩參數(shù)Lomax分布中尺度參數(shù)已知時形狀參數(shù)的Bayes估計;ZHOU[3]研究了對數(shù)熵損失下兩參數(shù)Lomax分布中形狀參數(shù)的Bayes估計;WANG和REN[4]研究了Negative association(NA)樣本下兩參數(shù)Lomax分布中形狀參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗;YAO和XIE[5]研究了在不同損失函數(shù)下兩參數(shù)Lomax分布中尺度參數(shù)已知時形狀參數(shù)的Bayes估計;YAO[6]得出了Linex損失函數(shù)下兩參數(shù)Lomax分布中尺度參數(shù)已知時形狀參數(shù)的Bayes估計及多層Bayes估計;YAO和WU[7]研究了在Linex損失函數(shù)下兩參數(shù)Lomax分布中形狀參數(shù)的E-Bayes估計,并運用Monte-Carlo隨機模擬對各個估計值進行比較;LONG[8]研究了兩參數(shù)Lomax分布次序統(tǒng)計量的性質(zhì)和漸進分布,并在文獻[9]中研究了兩參數(shù)Lomax分布中參數(shù)的區(qū)間估計和假設檢驗;AMAL和AMANI[10]討論了累積損傷(CE)模型下Lomax分布簡單步進應力加速壽命試驗的極大似然估計,以及參數(shù)的漸進方差-協(xié)方差矩陣,并給出了基于極大似然估計漸進正態(tài)性的區(qū)間估計,通過似然比的方法獲得了參數(shù)的假設檢驗.本文作者討論了累積損傷模型情況下,Lomax分布產(chǎn)品在循環(huán)序進應力加速壽命試驗下的參數(shù)估計.

設某產(chǎn)品的壽命T服從Lomax分布,其分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為:

(1)

(2)

其中,β為尺度參數(shù),λ為形狀參數(shù).

1 逆冪律模型和Nelson假定

逆冪律模型是指在加速壽命試驗過程中,電壓作為加速應力,根據(jù)物理原理和實驗經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)有些產(chǎn)品(如絕緣材料、電容器、微型電機和某些電子器件等)的尺度參數(shù)β(單位:h)和U電壓(單位:V)之間有如下關(guān)系(稱為逆冪律關(guān)系):

(3)

其中,d>0,c>0,且d,c都是常數(shù).若產(chǎn)品是電子元器件時,物理實驗表明c僅與元器件的類型有關(guān),與其規(guī)格無關(guān).

式(3)對兩邊同時取對數(shù),則β滿足對數(shù)線性關(guān)系:

lnβ=a+bφ(V),

(4)

其中,a=-lnd,b=-c,φ(V)=lnV.

步進應力或序進應力加速壽命試驗的統(tǒng)計分析大多是建立在Nelson假定基礎上的.

Nelson假定[11]:產(chǎn)品的殘余壽命僅依賴于當時已積累失效的部分和當時的應力水平,與積累方式無關(guān).

Nelson假定其實就是一種“時間折算”,即如果持續(xù)在一個恒定應力下,未失效產(chǎn)品會根據(jù)該應力下的分布函數(shù)來失效,但是要從以前累積失效的部分開始算起.

設在恒定應力Vi(i=1,2)下產(chǎn)品的壽命Ti服從Lomax分布,其分布函數(shù)為:

(5)

由Nelson假定知:

(6)

即

(7)

2 Lomax分布在循環(huán)序進應力V1=0加速壽命試驗下的失效模式

循環(huán)序進應力V(t)是時間t的周期函數(shù)(周期為Z),且在一個周期內(nèi),V(t)是非負遞增有界的連續(xù)函數(shù).

設產(chǎn)品壽命為T,不妨假定t∈[0,MZ],將區(qū)間[0,MZ]分成M個周期區(qū)間[iZ,(i+1)Z],i=0,1,…,M-1.在每個區(qū)間內(nèi)插入n-1個分割點,把區(qū)間分成了n個小區(qū)間,將M個周期區(qū)間的所有Mn個小區(qū)間的端點記為:

t0

其中,t0=0.

由循環(huán)序進應力函數(shù)V(t)的定義,一個循環(huán)的步進應力函數(shù)

(8)

(9)

設產(chǎn)品在應力水平Vi下所經(jīng)歷的循環(huán)步加試驗時間依次為ti-ti-1,i=1,2,…,Mn,其中t0=0.記τi-1為產(chǎn)品經(jīng)歷的各段試驗時間折算到Vi應力下總的折算時間,根據(jù)Nelson假定,可得:

(10)

定理產(chǎn)品在循環(huán)序進應力V(t)下壽命的分布函數(shù)為:

(11)

(12)

由Nelson假定可知:

(13)

這相當于把[0,t]分割成i個小區(qū)間,當分割的細度λ→0時,由定積分的定義知:

(14)

由此可得循環(huán)步進應力下的壽命分布函數(shù)為:

(15)

3 Lomax分布在循環(huán)序進應力(V1=0)加速壽命試驗下的可靠性統(tǒng)計分析

考慮循環(huán)序進應力加速壽命試驗,將n個產(chǎn)品隨機分成p組,每組有ni個產(chǎn)品,分別在循環(huán)應力Vi(t)=Kit下獨立地進行無替換的壽命試驗,循環(huán)周期為Z,記下每個失效產(chǎn)品的試驗循環(huán)次數(shù),直到所有的產(chǎn)品失效試驗停止.設第i類應力Vi(t)下ni產(chǎn)品的試驗循環(huán)次數(shù)為yi1,yi2,…,yini,i=1,2,…,p.

設產(chǎn)品在任何循環(huán)序進應力下所承受的循環(huán)次數(shù)為X,某產(chǎn)品失效時,在循環(huán)應力下承受的循環(huán)次數(shù)為m,則概率為:

(16)

關(guān)于αi和λi的似然函數(shù)為:

(17)

對數(shù)似然函數(shù)為:

(18)

求lnL(αi,λi)對αi和λi的偏導數(shù),分別為:

(19)

令

(20)

(21)

即:

lnαi=γ+clnKi,

(22)

(23)

由最小二乘法得到β的估計為:

(24)

則參數(shù)γ的估計為:

(25)

參數(shù)c的估計為:

(26)

(27)

4 Monte-Carlo算例

取樣本容量n=60,將樣本分成4組,每組有15個數(shù)據(jù),參數(shù)真值取為:k1=2.0,k2=3.0,k3=4.0,k4=5.0,c=1.0,d=1.0,λ=1.0,τ=0.4,通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生60個步進應力下的隨機數(shù).

第一組產(chǎn)品經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)為:

2,2,2,4,5,7,9,13,21,24,32,40,48,118,611;

第二組產(chǎn)品經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)為:

1,4,5,6,6,7,10,7,19,24,27,31,56,372,411;

第三組產(chǎn)品經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)為:

1,1,2,4,5,5,6,7,7,9,9,18,26,29,174;

第四組產(chǎn)品經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)為:

1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,15,18,46.