黃進(jìn)鵬， 黃杰忠， 張 純， 宋固全

(1. 南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 江西 南昌 330031； 2. 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部， 遼寧 大連 116024)

橋梁結(jié)構(gòu)在車(chē)輛荷載、風(fēng)荷載、溫度應(yīng)力或環(huán)境災(zāi)害等因素的影響下，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷或性能退化是不可避免的。損傷不僅會(huì)降低橋梁的安全性、耐久性及影響橋梁的正常通行，甚至可能導(dǎo)致重大安全事故。在不影響橋梁正常運(yùn)營(yíng)的前提下，利用行駛車(chē)輛作用下的車(chē)橋耦合信號(hào)進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別和健康監(jiān)測(cè)是較為符合實(shí)用性要求的選擇。因此，對(duì)基于車(chē)橋耦合振動(dòng)信號(hào)的損傷識(shí)別方法進(jìn)行研究具有重要意義。

在基于模型的時(shí)域損傷識(shí)別方法中，最常見(jiàn)的方法是靈敏度法[1～3]。由于需要利用結(jié)構(gòu)全部的時(shí)程響應(yīng)及相應(yīng)的靈敏度進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷反演，這類(lèi)方法存在計(jì)算量大、不能在線(xiàn)使用等問(wèn)題。與之相比，目前卡爾曼濾波類(lèi)的識(shí)別算法(如擴(kuò)展卡爾曼濾波、無(wú)跡卡爾曼濾波等)正受到越來(lái)越多的關(guān)注[4～7]?？柭鼮V波類(lèi)算法相當(dāng)于一種利用當(dāng)前觀(guān)測(cè)值不斷進(jìn)行模型修正的遞推算法，可以得到識(shí)別參數(shù)的最優(yōu)(或次優(yōu))估計(jì)，具有良好的魯棒性。更重要的是行駛的車(chē)輛會(huì)改變耦合系統(tǒng)的質(zhì)量分布，并導(dǎo)致時(shí)變的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程；而用于非線(xiàn)性系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)方法從其基本理論上就保證了可以適用于時(shí)變系統(tǒng)，這對(duì)于基于車(chē)橋耦合振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別算法來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。與此同時(shí)，由于EKF損傷識(shí)別算法也會(huì)面臨反問(wèn)題求解的不適定性，引入l1正則化技術(shù)[8,9]可有效改善不適定性，達(dá)到更好的損傷識(shí)別效果。

本文利用偽測(cè)量方法在EKF的遞推步中加入l1正則化過(guò)程，提出了基于車(chē)橋耦合振動(dòng)信號(hào)的擴(kuò)展卡爾曼濾波損傷識(shí)別算法。數(shù)值模擬表明：對(duì)于不同的量測(cè)噪聲和模型參數(shù)，本文方法均能有效控制噪聲影響并準(zhǔn)確識(shí)別橋梁結(jié)構(gòu)損傷。

1 基本理論

1.1 車(chē)橋耦合振動(dòng)理論

以最為常見(jiàn)的簡(jiǎn)支梁橋?yàn)榇恚?chē)輛采用半車(chē)模型模擬，建立如圖1所示車(chē)橋耦合模型。設(shè)梁中心線(xiàn)的動(dòng)撓度為u(x,t)，車(chē)輛系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)分別為z1，z2，zb，θb；前后輪的位置分別為x1，x2，與橋梁接觸點(diǎn)處橋梁相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移分別為zof，zor；車(chē)輛通過(guò)橋梁的速度為v，并假定車(chē)輛在橋梁上行駛時(shí)不脫離開(kāi)梁體。

設(shè)橋梁的位移響應(yīng)為：

(1)

式中：φi設(shè)為橋梁結(jié)構(gòu)第i階質(zhì)量歸一化模態(tài)；qi為廣義模態(tài)坐標(biāo)；N為模態(tài)截?cái)嗟碾A數(shù)。根據(jù)D’Alembert原理可得到車(chē)橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[10]為:

(2)

(3)

式中：q為廣義位移向量；M，C，K，F(xiàn)分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣及荷載向量，其具體形式分別為：

式中：

M22=diag(mwf,mwr,mhb,Ihp)；

C11=diag(2ξ1ω1,2ξ2ω2,…,2ξNωN)；

mhb，Ihp分別為車(chē)體質(zhì)量、車(chē)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mwf，mwr分別為前、后懸架與輪胎質(zhì)量之和；ksf，ksr分別為前、后懸架彈簧剛度；Csf，Csr分別為前、后懸架的阻尼系數(shù)；ktf，ktr分別為前、后輪胎的等效剛度；Ctf，Ctr分別為前、后輪胎的阻尼系數(shù)；a，b分別為車(chē)輛前、后軸到車(chē)輛重心的距離；ωi和ξi分別為橋梁結(jié)構(gòu)第i階頻率和模態(tài)阻尼比；Φ1=[φ1(x1)φ2(x1) …φN(x1)]T，Φ2=[φ1(x2)φ2(x2) …φN(x2))T，當(dāng)車(chē)輪位置不在梁橋節(jié)點(diǎn)上時(shí)，橋梁相應(yīng)位置的模態(tài)值φi(x1)和φi(x2)利用節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)插值得到。

圖1 車(chē)橋耦合系統(tǒng)

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波損傷識(shí)別算法

利用EKF算法進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，首先需要建立結(jié)構(gòu)的基準(zhǔn)模型，并引入描述結(jié)構(gòu)剛度變化的損傷參數(shù)；通過(guò)不斷獲得的觀(guān)測(cè)值，持續(xù)更新結(jié)構(gòu)狀態(tài)及修正結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)值。這實(shí)際上是一種結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)合識(shí)別的過(guò)程。算法中需要在待識(shí)別的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量中加入單元損傷參數(shù)來(lái)指示損傷，因此，本文算法采用的系統(tǒng)狀態(tài)向量定義為：

(4)

根據(jù)車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和狀態(tài)向量定義，EKF算法中離散形式的狀態(tài)方程和觀(guān)測(cè)方程可表示為：

(5)

z(x,t+Δt)=h(θ(t+Δt),x,t+Δt)+V

(6)

(7)

由于狀態(tài)變量中的結(jié)構(gòu)材料參數(shù)(損傷參數(shù))與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間存在非線(xiàn)性關(guān)系，因此，狀態(tài)方程和觀(guān)測(cè)方程均是非線(xiàn)性的。EKF算法中，在將非線(xiàn)性的狀態(tài)方程、觀(guān)測(cè)方程線(xiàn)性化時(shí)，需要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣A和觀(guān)測(cè)矩陣H：

(8)

(9)

不考慮結(jié)構(gòu)損傷對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響，在A和H矩陣中頻率ωi和振型φi關(guān)于損傷參數(shù)的靈敏度[11]可以表示為：

(10)

由于結(jié)構(gòu)損傷一般是局部的，整體結(jié)構(gòu)中僅有少數(shù)單元存在損傷，即損傷參數(shù)的分布具有稀疏性。l1正則化技術(shù)能夠在改善反問(wèn)題求解不適定性的同時(shí)，有效保留損傷識(shí)別結(jié)果的稀疏性特征。故本文將EKF與l1范數(shù)正則化技術(shù)相結(jié)合，用于提高損傷識(shí)別算法的性能?？紤]l1范數(shù)正則化過(guò)程的EKF損傷識(shí)別算法實(shí)質(zhì)上等效為一個(gè)帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題[12]：

(11)

為在卡爾曼濾波框架內(nèi)求解問(wèn)題(11)，本文在每一個(gè)EKF遞推步中，利用偽測(cè)量算法[13]，通過(guò)虛擬測(cè)量方程柔性地實(shí)現(xiàn)l1范數(shù)約束條件。偽測(cè)量過(guò)程的狀態(tài)方程與虛擬量測(cè)方程分別為：

(12)

綜上，基于l1范數(shù)正則化的EKF損傷識(shí)別算法流程如下所示：

(1)預(yù)測(cè)更新

(13)

(14)

(2)量測(cè)更新

(15)

(16)

(17)

(3)偽測(cè)量過(guò)程

(18)

(19)

(20)

(21)

重復(fù)式(13)～(21)的步驟即可實(shí)現(xiàn)EKF算法的遞推，最終完成損傷參數(shù)的估計(jì)。偽測(cè)量過(guò)程中協(xié)方差Rε的大小與約束參數(shù)ε正相關(guān)，可采用L曲線(xiàn)法[14]確定其大小。此外，需要強(qiáng)調(diào)的是，算法流程中(13)式采用了通解的表達(dá)形式，但具體計(jì)算時(shí)無(wú)需計(jì)算積分，可以采用通常的動(dòng)力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法，如Runge-Kutta法、Newmark-β法等。本文采用精細(xì)積分法。

2 數(shù)值算例

2.1 參數(shù)介紹

算例采用圖1中所示的車(chē)橋耦合系統(tǒng)，梁的參數(shù)如下：材料彈性模量和密度分別為31 GPa、2400 kg/m3，梁長(zhǎng)15 m，截面尺寸為12×0.8 m2，將梁等分為10個(gè)單元。半車(chē)車(chē)輛模型參數(shù)如下：車(chē)體質(zhì)量mhb=2×104kg，車(chē)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ihp=6×104m4，前、后懸架與輪胎質(zhì)量之和分別為mwf=340 kg，mwr=660 kg，前、后懸架彈簧剛度分別為kSf=1×106N/m，ksr=2×106N/m，前、后懸架的阻尼系數(shù)CSf=1.7×105N·s/m，Csr=1.4×104N·s/m，前、后輪胎的等效剛度為ktf=0.85×106N/m，ktr=2×106N/m，前、后輪胎的阻尼系數(shù)Ctf=Ctr=0，車(chē)輛前、后軸到車(chē)輛重心的距離分別為a=2.5 m，b=0.5 m，車(chē)輛通過(guò)簡(jiǎn)支梁的速度為v=15 m/s，位移響應(yīng)的記錄是從車(chē)輛的后輪剛經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)支梁左端開(kāi)始，前輪剛到達(dá)右端時(shí)結(jié)束，總時(shí)長(zhǎng)0.8 s，并假設(shè)車(chē)輛在橋梁上行駛時(shí)不脫離開(kāi)梁體。單元?jiǎng)澐智闆r如圖2所示，提取2～10號(hào)節(jié)點(diǎn)的豎向位移響應(yīng)作為觀(guān)測(cè)值，采樣頻率1000 Hz，同時(shí)按下式加入高斯白噪聲模擬觀(guān)測(cè)噪聲：

圖2 簡(jiǎn)支梁模型/m

(21)

式中：高斯白噪聲swgn(t)的信噪比定義為SNR=10×lg(SP/NP)，其中SP和NP分別為信號(hào)和噪聲的強(qiáng)度值。

表1列出了單損傷和多損傷兩種損傷工況，用于模擬不同的損傷工況。

表1 不同損傷工況

2.2 單損傷工況識(shí)別結(jié)果

圖3給出了信噪比分別為30，25，20 dB三種情況下梁的損傷識(shí)別結(jié)果。從圖中看出，盡管車(chē)橋耦合信號(hào)所含噪聲等級(jí)在不斷加大，本文方法依然能夠保持較高的識(shí)別精度。即使當(dāng)噪聲級(jí)別達(dá)到20 dB時(shí)，單元?jiǎng)偠茸R(shí)別值的最大相對(duì)誤差為2.41%，并且在無(wú)損單元處沒(méi)有發(fā)生誤判現(xiàn)象。圖4給出了在不同信噪比時(shí)，5號(hào)單元損傷參數(shù)的遞推收斂過(guò)程。在不同噪聲級(jí)別下，損傷參數(shù)均能快速收斂至實(shí)際損傷值附近；噪聲較小時(shí)，損傷參數(shù)收斂速度相對(duì)更快。圖5為當(dāng)信噪比為20 dB時(shí)6號(hào)節(jié)點(diǎn)的位移信號(hào)跟蹤曲線(xiàn)，可以看出車(chē)橋耦合信號(hào)能被算法很好地跟蹤，且體現(xiàn)出良好的濾波效果。

圖3 不同噪聲情況下橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果

圖4 橋梁損傷單元損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)

圖5 節(jié)點(diǎn)6的信號(hào)跟蹤曲線(xiàn)(20 dB噪聲)

30 dB噪聲情況下，不同車(chē)輛行駛速度對(duì)于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果的影響如圖6所示。從圖中可以看出，在不同的車(chē)速下本文方法都能夠準(zhǔn)確識(shí)別出損傷，損傷識(shí)別結(jié)果差別很小，這說(shuō)明算法對(duì)于車(chē)速不敏感。圖7給出了車(chē)重對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響。重載車(chē)輛情況下識(shí)別出的結(jié)果略?xún)?yōu)于輕載車(chē)重的情況，但剛度識(shí)別結(jié)果的相對(duì)誤差都小于1.6%，可見(jiàn)橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的結(jié)果對(duì)于車(chē)重的變化同樣不敏感。

圖6 不同車(chē)速下橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果(30 dB噪聲)

圖7 不同車(chē)重下橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果(30 dB噪聲)

2.3 多損傷工況識(shí)別結(jié)果

圖8給出了多損工況下，利用車(chē)橋耦合振動(dòng)信號(hào)識(shí)別得到的橋梁損傷結(jié)果。隨著噪聲級(jí)別的提高，損傷識(shí)別精度將相應(yīng)降低，但始終能有效抑制噪聲對(duì)無(wú)損單元的干擾，正確指示結(jié)構(gòu)損傷。圖9給出了在噪聲25 dB下?lián)p傷參數(shù)的收斂曲線(xiàn)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)損傷參數(shù)都能夠在較短時(shí)間內(nèi)收斂到真實(shí)值附近并保持穩(wěn)定。由圖10可以看出，在多損傷工況下，即使噪聲為20 dB，信號(hào)依然能夠有效跟蹤，表明本文方法具有良好的抗噪聲濾波能力和信號(hào)跟蹤效果。

圖8 不同噪聲情況下橋梁結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖9 多損傷工況的損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)(25 dB噪聲)

圖10 節(jié)點(diǎn)6的振動(dòng)信號(hào)跟蹤曲線(xiàn)(20 dB噪聲)

從以上數(shù)值算例中可以看出，無(wú)論針對(duì)單損傷還是多處損傷，采用基于半車(chē)模型的車(chē)橋耦合振動(dòng)信號(hào)，利用結(jié)合l1范數(shù)的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法進(jìn)行損傷識(shí)別，都可以較好地識(shí)別出損傷位置與程度。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文基于移動(dòng)車(chē)輛激勵(lì)下的橋梁振動(dòng)信號(hào)，提出了一種結(jié)合l1范數(shù)正則化過(guò)程的EKF橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。把車(chē)輛模型簡(jiǎn)化為半車(chē)模型，推導(dǎo)了半車(chē)模型對(duì)應(yīng)的車(chē)橋耦合動(dòng)力學(xué)方程，將其用于EKF算法的狀態(tài)遞推過(guò)程，并利用不斷獲得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)不斷更新結(jié)構(gòu)狀態(tài)與參數(shù)，最終準(zhǔn)確識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷。數(shù)值算例表明本文方法能有效抑制噪聲干擾，損傷參數(shù)能迅速收斂至真值附近，且對(duì)于車(chē)速、車(chē)重等因素的影響不敏感。