林麗玲

（平潭城北小學，福建 平潭 350400）

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。”筆者認為，模型思想的感悟，必然是在建構數(shù)學模型、應用數(shù)學模型的過程中實現(xiàn)的。文章以“乘法分配律”教學為例，談談如何在課堂教學中引導學生經歷數(shù)學建模過程，感悟模型思想。

一、觀察分析，感知模型

模型的建構依賴于一定的現(xiàn)實情境，要想使學生有效建構數(shù)學模型，首先要創(chuàng)設出符合學生實際的生活情境，然后引導學生通過觀察、分析，從生活原型中提煉出數(shù)學問題，并在初步感知模型的基礎上，逐步向建構模型過渡。

如筆者在教學時，針對下面一張統(tǒng)計表的信息內容（表1），讓學生根據表中信息提出數(shù)學問題。教師把學生所提的問題板書在黑板上：①買轉筆刀一共用了多少錢？②買文具盒一共用了多少錢？③買魔方一共用了多少錢？然后學生選擇其中一個問題用不同的方法列出綜合算式并解答，然后匯報交流。

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從課堂上學生解答上述3個問題的模式看基本是相同的。如第一個問題，學生第一種算法列式為（7+3）×8=80，先算出兩次一共買了10個轉筆刀后，再算10個轉筆刀的總價；第二種算法，分別算出第一次與第二次買的轉筆刀的價錢后，再加起來就是10個轉筆刀的總價錢，列式為7×8+3×8=80。第二個問題和第三個問題的解答方法與解答第一個問題的思路是一致的，學生列出的算式分別是：（8+5）×5=65，8×5+5×5=65；（10+9）×4=76，10×4+9×4=76。

教師根據學生的交流適時板書算式，并引導學生對黑板上的這些算式進行分類。學生把這些算式分成了兩類，然后觀察這兩類算式的區(qū)別與聯(lián)系，此時乘法分配律的特征已經初步呈現(xiàn)。教師進一步質疑：“結果相等的兩個算式在數(shù)學上可否用等號將它們連接起來，形成一個等式呢？”通過質疑繼續(xù)引導學生觀察黑板上的這些等式，導向從乘法的意義上探索左右相等的秘密,將新知識納入到原有的知識體系之中，初步感知乘法分配律這一數(shù)學模型。這樣充滿觀察、分析的探究過程，才是數(shù)學建模教學背景下應有的學習過程。

二、抽象概括，建立模型

學生對模型的建構是需要一定的過程，如果僅僅憑借之前的三個等式來進行乘法分配律的概括，那么學生的感性積淀就會顯得有些單薄，學生對該模型的理解還不夠深刻。因此，需要教師提供更多有效的學習活動為學生的感悟“造勢”。

教師指著黑板上的等式說：“同學們，像這樣的等式還有嗎？請你試著寫出一個來?！睂W生寫等式，匯報交流，并相互檢查：“左邊是幾個幾？右邊有幾個幾？等式成立嗎？”通過交流讓學生感受到這樣的等式永遠也寫不完。教師問：“你能不能想辦法寫出一個等式來表示出所有的等式？”學生嘗試寫式子并交流多樣化的表示方法，教師先是肯定學生的成果。但學生所交流的方法都難以達到教師所提的要求：用一個等式來表示所有的等式。這時學生的思維陷入“盲區(qū)”，所謂的“盲區(qū)”即學生不能拋開現(xiàn)實的模型去構建一個新的模型。于是，教師適時啟智：“老師給你們a、b、c三個字母（這里的a、b、c是三個實數(shù)），你們能用數(shù)學符號的連結，表示出一個等式來嗎？”這樣撥通學生思維障礙的通道，學生很快就用（a+b）×c=a×c+b×c來表示。教師總結：“這就是今天發(fā)現(xiàn)的一個運算定律——乘法分配律，乘法分配律告訴我們：兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結果不變?！?/p>

數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號的表達式和圖表。在上面教學片段中，當學生對乘法分配律的表象有一點感知時，教師放手讓學生仿寫等式，既豐富了學生的感性認識，同時也為后續(xù)的抽象概括增加邏輯上的力度。在此基礎上，教師順勢而為，繼續(xù)引導學生用自己實驗的方式表征發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學生用字母、圖形、漢字等符號將乘法分配律表示出來。這個逐步抽象的過程，既是讓學生嘗試數(shù)學建模的過程，也是數(shù)學符號化思想具體應用的過程，它所滲透的數(shù)學思想是遞進性，也富有創(chuàng)新性，如果教師的教學流程設計只是讓學生模仿，學生的思維就無法跳躍。于是在這個過程中，當學生對乘法分配律有了更進一步的理解，再通過建模，學生的數(shù)學抽象思維能力就得到了提升。

三、拓展聯(lián)系，應用模型

從具體的問題抽象、概括出相應的數(shù)學模型，并不是學生認識的終結。在建立數(shù)學模型之后，教師要及時組織學生應用已確立的模型解決具體的問題，通過溝通聯(lián)系、拓展延伸，進一步鞏固、內化學生的認知，深刻理解乘法分配律，為今后正確、靈活地運用乘法分配律這一數(shù)學模型打下扎實的基礎，也為后續(xù)學習其他相關數(shù)學知識做好鋪墊，達到真正發(fā)展學生的學習能力。

教師在鞏固已學知識，拓展思維的設計上，也遵循層層遞進的原則，依次出示了以下練習：

1.在（）里填上合適的數(shù)。

①(10+7)×6=（ ）×6+（ ）×6

②8×996+8×（ ）=8× ( + )

③（）×（）+（）×（）=（ + ）×（ ）

2.你能在圖2中找到乘法分配律嗎？

圖2

3.下面的算式哪些運用了乘法分配律？

①11×72+11×28=11×（72+28）

②(10+4)×25=14×25

③48×8×7=48×（8×7）

④5×a+a=（5+1）×a

4.解決問題：學校操場是一個長方形，原來長78米，寬30米，擴建后，寬不變，長增加了18米，增加的面積比原來的面積少多少平方米？

這里的4個練習代表了四個不同的思維層次：練習1，通過不完全填空的形式，從正、反兩個方面加強對乘法分配律結構的記憶與掌握。練習2，通過在“口算12×3”和“筆算12×3”中尋找乘法分配律的過程，喚醒學生的已有經驗，把新知的學習與舊知建立聯(lián)系，鞏固了乘法分配律的算理和算法，有效進行知識的同化和順應。練習3，借助4個算式檢驗學生對于乘法分配律的認知圖式是否達到了一個平衡的狀態(tài)，幫助學生進一步理解乘法分配律的含義及其與乘法結合律的結構區(qū)別，將乘法分配律納入到整個運算定律的體系。練習4，先動筆計算再觀察比較，發(fā)現(xiàn)乘法分配律同樣適用于兩個數(shù)的差，即（a-b）×c=a×c-b×c（a、b、c不等于0），拓寬了學生對乘法分配律的理解，把學生的思維引向更廣闊的空間。

數(shù)學模型建立過程的本質是數(shù)學思維活動的過程。在教學中，教師要準確地診斷出學生建模過程的難點與困惑，通過設計合理有效的數(shù)學活動，激發(fā)學生產生研究數(shù)學建模的興趣，經歷數(shù)學建模的整個過程，提高數(shù)學建模的能力，感悟模型思想。