陳楚天

[寧波市效實(shí)中學(xué)高三(2)班 浙江 寧波 315012]

關(guān)鍵字：陽(yáng)光 影子 形變 幾何光學(xué)

陽(yáng)光明媚的日子，如果仔細(xì)觀察，便會(huì)發(fā)現(xiàn)一種有趣的現(xiàn)象：當(dāng)一個(gè)影子很靠近另一個(gè)影子的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)影子發(fā)生形變(如圖1所示，書(shū)角的影子發(fā)生明顯的形變)，并以比相離較遠(yuǎn)時(shí)更快的趨勢(shì)接近另一個(gè)影子．主要表現(xiàn)如下：

(1)這種有趣的現(xiàn)象在影子相距很近(即將相接)時(shí)才會(huì)發(fā)生(圖1，僅很靠近窗框影的書(shū)影的角發(fā)生了這一現(xiàn)象)．

(2)此時(shí)，物移動(dòng)相同距離，影子移動(dòng)距離顯著大于相距較遠(yuǎn)時(shí)．

(3)若影子邊線不互相平行，還將伴有明顯形變(圖1，書(shū)影的角部發(fā)生形變，明顯偏離直角)．

(4)離屏近的物的影改變較大，離屏遠(yuǎn)的物的影幾乎不變(圖1，窗框影觀察不到明顯形變)．

圖1 書(shū)的直角影子(圖中左側(cè)影子)靠近窗框的直邊影子(圖中右側(cè)影子)的情形.其中書(shū)離屏近，窗框離屏遠(yuǎn)

這一現(xiàn)象早已有人注意，但鮮有人給出正確分析．流行的解釋有兩種：

一是認(rèn)為衍射使然．然而陽(yáng)光的相干性并不太好，且陽(yáng)光并非單色光，若是衍射使然，則不免發(fā)生色散，而實(shí)際觀察中屏上陽(yáng)光只是整體變暗，并無(wú)色散．故仍應(yīng)從幾何光學(xué)入手來(lái)解釋?zhuān)?/p>

二是認(rèn)為半影疊加使然．誠(chéng)然，兩個(gè)物的半影交疊區(qū)是會(huì)變暗．但這一現(xiàn)象出現(xiàn)在我們所討論的現(xiàn)象出現(xiàn)之前，不在本文討論范圍之內(nèi)．我們觀察到并將在下文予以討論的是整個(gè)影區(qū)特別是全暗區(qū)域的扭曲變形，而非半影交疊區(qū)的簡(jiǎn)單變暗(這并不能造成全暗區(qū)的變化)．另外，此解釋也無(wú)法說(shuō)明上面提到的(4)中體現(xiàn)出的不對(duì)稱(chēng)性．

其實(shí)如仔細(xì)觀察，更能發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的另一表現(xiàn)：

(5)在本文所討論現(xiàn)象發(fā)生的同時(shí)可以觀察到離屏近的物上有離屏遠(yuǎn)的物的影．

僅就這表現(xiàn)我們就可以判斷，這一現(xiàn)象是一物進(jìn)入另一物的半影區(qū)所造成的，由此也可解釋(4)中所體現(xiàn)出的不對(duì)稱(chēng)性．

下面我們作具體分析．

現(xiàn)約定：

(1)稱(chēng)日心到地表某點(diǎn)的連線為陽(yáng)光光軸，由于日地距離極大，對(duì)該點(diǎn)附近的點(diǎn)，光軸方向可視為不變．

(2)陽(yáng)光可視為由多組平行光組成，它們相對(duì)光軸有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性．將陽(yáng)光與光軸的夾角記為θ．記陽(yáng)光中與光軸夾角最大者夾角為θ0，此即太陽(yáng)對(duì)地半張角．

(3)陽(yáng)光完全照不到的區(qū)域稱(chēng)為全暗區(qū)，其邊界稱(chēng)為全暗線．

并進(jìn)行以下理想化處理：

(1)遮擋物為兩個(gè)不透光且足夠大的半平面α和β；

(2)α和β與光屏平面γ平行，與γ間距分別為a和b(a>b)；

(3)陽(yáng)光正入射，即光軸垂直于γ．

為解決這一問(wèn)題，我們誠(chéng)然可以計(jì)算γ上的光強(qiáng)分布，但計(jì)算繁復(fù)而無(wú)必要，我們只須考察全暗線的形狀即可．

情形Ⅰ，α和β邊線平行時(shí)，設(shè)參數(shù)如圖2所示．

圖2 情形Ⅰ

當(dāng)β未進(jìn)入α的半影區(qū)，即d>(a-b)tanθ0時(shí)，容易畫(huà)出其本影、半影區(qū)，不難得出A左與B右為全暗區(qū)，γ上影為α和β二者影的簡(jiǎn)單相加，容易得到

(1)

(2)

而當(dāng)β進(jìn)入α的半影區(qū)，即d<(a-b)tanθ0時(shí)，如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)光線*成為極限光線，A左側(cè)，B′右側(cè)即成全暗區(qū)．

圖3 β進(jìn)入α半影區(qū)后的側(cè)視圖

由圖示幾何關(guān)系有

(3)

(4)

即變化趨勢(shì)變大．同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)A相對(duì)α位置并不改變，故(1)、(2)、(4)即得解釋?zhuān)?/p>

情形Ⅱ，α和β邊線成δ角時(shí)[δ∈(0,π)]，設(shè)參數(shù)如圖4所示．

圖4 情形Ⅱ，γ面上投影圖

之前已經(jīng)說(shuō)明，影區(qū)變化是由一個(gè)物體進(jìn)入另一個(gè)物體的影區(qū)產(chǎn)生的，故額外的全暗區(qū)一定在兩個(gè)物體半影區(qū)的交疊區(qū)M區(qū)(即圖中陰影區(qū)域)內(nèi)．

設(shè)一與光軸夾角為θ[θ∈(0,θ0)]，在γ面上投影與la夾角為φ的光線n能照到該點(diǎn)上，則n與α，β所在平面的交點(diǎn)必在半徑分別為atanθ，btanθ的圓周上．為使n不被α，β遮擋，其交點(diǎn)必在α，β邊線之外．

將所有圖形投影到γ面上，則得圖5.

圖5 將所有圖形投影到γ面上得到的圖形

由幾何關(guān)系

(5)

同時(shí)為使n可存在，應(yīng)有角度關(guān)系

∠1+∠2>π-δ

(6)

故有

(7)

式(7)表示的是一片包含C點(diǎn)即(0,0)點(diǎn)的區(qū)域(亮區(qū))，記該區(qū)域?yàn)棣?θ)，其邊界為橢圓的一部分．可知Ω(θ)相互關(guān)于C點(diǎn)位似，位似比為tanθ．

可知θ取最大值θ0時(shí)，Ω(θ)范圍最大，故全暗線方程為

(8)

也可對(duì)式(8)兩側(cè)取余弦并移項(xiàng)平方，即可表達(dá)為另一形式

式(9)表現(xiàn)的是一個(gè)以C為中心的與la，lb相切于A，B的橢圓．因受式(10)的限制，只能取A和B間部分，這與直接用式(8)作圖結(jié)果相同．記此結(jié)果表示的全暗線為E．

按式(9)可算得A和B與O距離分別為btanθ0(cscδ+cotδ)，atanθ0(cscδ+cotδ)，并可使用MATLAB作出不同條件下曲線E的圖，如圖6所示．(為使我們能對(duì)角度大小有一直觀感受，下文δ在呈現(xiàn)時(shí)都改為采用角度制．)

圖6

最后，將理論計(jì)算得的E與實(shí)際拍攝結(jié)果進(jìn)行比較．圖7和圖8所示為不同條件下實(shí)拍、曲線E的理論計(jì)算以及計(jì)算結(jié)果和分層設(shè)色(將灰度值一定范圍內(nèi)的像素改賦一定的顏色)后的實(shí)拍圖比較的情況．

圖7

圖8

可以發(fā)現(xiàn)，拍攝圖片和理論計(jì)算的擬合程度非常好，同時(shí)a=b的極限情況下，E為一段圓弧，和我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)相符；這更驗(yàn)證了本模型的正確性．

至此，所有現(xiàn)象均得到了解釋?zhuān)?/p>