許釋文

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

在很多情況下，求解電場(chǎng)和庫(kù)侖力的區(qū)域內(nèi)有電荷，一種重要的情形是區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或一個(gè)以上點(diǎn)電荷，且區(qū)域邊界是規(guī)則的導(dǎo)體界面，如球形或者無(wú)限大平面．這時(shí)，要直接利用學(xué)生所學(xué)公式來(lái)計(jì)算電場(chǎng)場(chǎng)和電場(chǎng)力就很困難．因?yàn)榇藭r(shí)導(dǎo)體外的電場(chǎng)應(yīng)是點(diǎn)電荷Q所激發(fā)的電場(chǎng)加上自身感應(yīng)電場(chǎng)的疊加．而感應(yīng)電荷的分布難以知道，則其所激發(fā)的電場(chǎng)也就難以計(jì)算，導(dǎo)致導(dǎo)體外的電場(chǎng)也難以計(jì)算．

那么，能否在導(dǎo)體內(nèi)部引入一個(gè)或者幾個(gè)假想的點(diǎn)電荷(即像電荷)來(lái)替換導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)呢？實(shí)際上，由電動(dòng)力學(xué)中的唯一性定理可知，當(dāng)然可以引入假想的電荷(即像電荷)來(lái)替代導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷．

那么，導(dǎo)體外空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)就等于空間外點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的原電場(chǎng)E原加上導(dǎo)體像(或感應(yīng))電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)E像．即：E=E原+E像．此種解題的巧妙方法稱為“等效電像變換法”．

所謂電像變換法，其實(shí)也就是“猜”的方法，但是又不是毫無(wú)根據(jù)的猜，而是由給定的已知條件，再憑借一定的經(jīng)驗(yàn)去猜，且猜的結(jié)果不能改變?cè)幸阎獥l件．例如，求解無(wú)限大接地平面外和一個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)，我們可以根據(jù)無(wú)限大導(dǎo)體平面電勢(shì)為零，再憑借等量異種電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)，就可“猜測(cè)”出的像電荷位置和大?。?/p>

1 應(yīng)用電像變換法解兩類電學(xué)題

1.1 求無(wú)限大接地平面外一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小

圖1 例1題圖

分析：求金屬板和點(diǎn)電荷產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)，顯然用現(xiàn)在的公式直接求解比較困難．能否用中學(xué)所學(xué)的知識(shí)靈活地遷移而解決呢？當(dāng)然可以．

可以利用等量異種電荷的電場(chǎng)線分布來(lái)進(jìn)行等效替換，用電像轉(zhuǎn)換法來(lái)求解，求解的過(guò)程非常簡(jiǎn)單易懂，體現(xiàn)物理思維方法的等效美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)單美．

(1)

故選項(xiàng)D正確．

利用電像變換法解題的突破口是由題目給定的已知條件，根據(jù)對(duì)稱性找到聯(lián)系，再憑借一定的經(jīng)驗(yàn)得到像電荷的位置和大小，進(jìn)而解決問(wèn)題．

就拿此高考題目來(lái)說(shuō)，應(yīng)用電像變換法解題的思路是：由xOy導(dǎo)體平面下方為真空，可得其電勢(shì)為零，由此可聯(lián)想到等量異種電荷中垂線上的電勢(shì)為零，確定像電荷的位置和大小，則接下來(lái)就可以利用所學(xué)知識(shí)得到正確答案．

1.2 求接地均勻?qū)w球外一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和點(diǎn)電荷在該點(diǎn)受的庫(kù)侖力

【例2】如圖2所示，在一個(gè)接地均勻?qū)w球的右側(cè)P點(diǎn)距球心的距離為d，球半徑為R．在P點(diǎn)放置一個(gè)電荷量為 +q的點(diǎn)電荷．試求導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小和點(diǎn)電荷在該點(diǎn)受的庫(kù)侖力．

圖2 例2題圖

解析：

感應(yīng)電荷在球上分布不均勻，靠近P一側(cè)較密，關(guān)于OP對(duì)稱，因此感應(yīng)電荷的等效分布點(diǎn)在OP連線上一點(diǎn)P′．設(shè)P′ 距離O為r，導(dǎo)體球接地，故球心O處電勢(shì)為零．

根據(jù)電勢(shì)疊加原理可知，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電荷量q′在O點(diǎn)引起的電勢(shì)與點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)引起的電勢(shì)之和為零，即

(1)

同理，像電荷位置，應(yīng)令其在球面上任意點(diǎn)引起的電勢(shì)與q在同一點(diǎn)電勢(shì)疊加為零，即q′與q在球面上任意點(diǎn)引起的電勢(shì)疊加之后為零．得

(2)

其中α為球面上任意一點(diǎn)與O連線和OP的夾角，具有任意性．將q′代入上式并進(jìn)行數(shù)學(xué)變換后，得

d2r2-R4=(2Rrd2-2R3d)cosα

根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度決定式可知感應(yīng)電荷在P點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

(3)

再根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)力的關(guān)系式可得

(4)

由此可以看出，利用電像轉(zhuǎn)換法解題的關(guān)鍵一步是根據(jù)變換后電場(chǎng)不變的原則，確定像電荷的大小和位置．

2 電像變換法及使用過(guò)程中需注意的問(wèn)題

電像變換法，多用于接地導(dǎo)體或保持電勢(shì)不變的導(dǎo)體外有一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)電荷的情況．通常根據(jù)導(dǎo)體面及點(diǎn)電荷的集合位置關(guān)系，推斷在所考察區(qū)域適當(dāng)放置一個(gè)或多個(gè)量值合適的電荷，使之能夠滿足導(dǎo)體面上給定的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)條件、模擬感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的貢獻(xiàn)．這些虛擬的電荷成為“像電荷”．通過(guò)等效電像變換的方法，使實(shí)際問(wèn)題易于解決，而其可靠性則源于靜電學(xué)的重要原理——唯一性定理．

電像變換法的的實(shí)質(zhì)是在所研究的場(chǎng)域外的適當(dāng)?shù)胤?，用假想?“像電荷” 來(lái)代替真實(shí)的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的作用．在代替的時(shí)候，必須保證原有的電場(chǎng)、邊界條件等不變，不能破壞原有的場(chǎng)分布．

這里要注意幾點(diǎn)：

(1)唯一性定理要求所研究空間的泊松方程不能被改變(即自由點(diǎn)電荷位置、大小不能變)．因此，做替代時(shí)，假想電荷必須放在所求區(qū)域之外．

(2)由于像電荷代替了真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認(rèn)為原來(lái)的真實(shí)的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在，即不再考慮導(dǎo)體和介質(zhì)表面的感應(yīng)電荷．也就是直接用“像電荷”替代感應(yīng)電荷．

(3)一旦用了假想(像)電荷，就不再考慮原來(lái)的電荷分布．

(4)像電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場(chǎng)方面與真實(shí)的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用．而其電荷量并不一定與真實(shí)的感應(yīng)電荷或真實(shí)的極化電荷相等，不過(guò)在某些問(wèn)題中，它們卻恰好相等．

(5)電像變換法所適應(yīng)的范圍是：所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替；導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡(jiǎn)單的規(guī)則的幾何面(球面、柱面、平面)．

3 電像變換法的“思維魅力”

如果在所要求解的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界又是規(guī)則且有高度對(duì)稱的導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問(wèn)題就可以用電像變換法來(lái)求解電場(chǎng)分布、感應(yīng)電荷分布以及庫(kù)侖力．

電像變換法，形象地說(shuō)，就是一種等效的方法．為什么等效呢？可以從相關(guān)的電場(chǎng)的電場(chǎng)線的具體形狀就能夠看出來(lái)，將導(dǎo)體板，或者是接地導(dǎo)體板對(duì)電荷的作用等效為某點(diǎn)電荷對(duì)其的作用．此法簡(jiǎn)單易用，是求解的訣竅．

電像可以理解為光學(xué)中的平面鏡成像．通過(guò)作圖，可以知道其一些特性．給定一個(gè)由一片無(wú)限平面導(dǎo)體和一個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的物理系統(tǒng)，這無(wú)限平面導(dǎo)體可以被視為一片鏡子，在鏡子里面的鏡像電荷與鏡子外面的點(diǎn)電荷，所形成的新系統(tǒng)，可以使得導(dǎo)體平面上的電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體，與原本系統(tǒng)等價(jià)．借此方法，我們可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化，很容易地計(jì)算出總感應(yīng)電荷、導(dǎo)體外的電場(chǎng)、代替外電荷受到的庫(kù)侖力等等．

利用電像變換法解決問(wèn)題可讓學(xué)生領(lǐng)略到這種找到像電荷進(jìn)行等效替代的樂(lè)趣以及學(xué)會(huì)等效替代的物理方法和養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維．電像變換法所體現(xiàn)的等效思想的美、簡(jiǎn)單美，能夠讓人“如獲至寶”，回味無(wú)窮．而它解題過(guò)程中需注意的問(wèn)題，又恰恰體現(xiàn)物理的嚴(yán)謹(jǐn)性．因此，利用電像轉(zhuǎn)換法解電學(xué)題，可以帶我們領(lǐng)略物理科學(xué)思維的“魅力”．