□ 鄭小琳

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學?！皵?shù)”是描述數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，其地位不言而喻。數(shù)、數(shù)量不僅是孩子認識世界的基本元素，也是認識和理解數(shù)學的開始。數(shù)的概念、數(shù)的意義伴隨著孩子數(shù)學學習的終身，小學階段學生學習數(shù)的整個過程是從自然數(shù)開始逐步擴充到分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)的，在內(nèi)化或順應(yīng)“數(shù)”的概念過程中不斷深化“數(shù)”的意義的理解和運用。學生在認識和構(gòu)建“數(shù)”的概念的過程中應(yīng)重點關(guān)注數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用等，其中數(shù)的意義更是重中之重。“數(shù)”的概念的建立對于學生進一步學習數(shù)學知識有著莫大的幫助。

對數(shù)量的表征是學生獲得“數(shù)”的概念并向更高級的數(shù)學能力發(fā)展的基礎(chǔ)。所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達到交流的目的。當表征所表現(xiàn)的意義切實掌握后，可進一步成為思維的材料，從而簡化解題過程。理解概念涉及:概念的豐富表達形式——外在表征，概念的心理表達(表象)形式——內(nèi)在表征，以及內(nèi)外表征之間的轉(zhuǎn)換。在小學階段，尊重學生的已有經(jīng)驗，尊重學生對知識的主觀認識，運用多元表征，對于學生理解數(shù)的意義、建立數(shù)的概念有重要的作用。

一、借助多元表征，感悟“數(shù)”的意義

對于未知世界的認識，我們總是借助于熟悉的事物來刻畫，在對比、分析的過程中挖掘其共性，抽離出本質(zhì)。維果茨基曾提出“了解概念形成的過程，即可把握住兒童認知與思維的過程”。概念形成的核心是理解，理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過程，可以說概念其實就是理解狀態(tài)下的某種心理表征。因此，在小學階段，學生數(shù)的概念的建立可借助已有經(jīng)驗，運用實物圖像、模型、言語、動作等多種手段進行直觀可視的外在表征，從而理解數(shù)的意義。

圖1

（一）圖形表征——以圖形語言話本質(zhì)

布魯納認為，兒童的思維活動依賴外在刺激的程度來決定兒童心智的成長。認識數(shù)時,引導學生盡可能通過實物、圖形等直觀可視的方式來表征抽象的數(shù)，為他們認識、理解數(shù)提供“拐杖”。當具體物體消失時，學生能在心中以原物的形象作為思考的材料并以畫圖的形式進行展現(xiàn)，這種視覺化的闡述拉近抽象的數(shù)與學生個體心理的距離，從而易于學生理解和接受。在小學階段數(shù)的認識中，起始課一般都借助于直觀的物或形，根據(jù)物與數(shù)的等價聯(lián)系及對應(yīng)關(guān)系，以具象的方式抽離出共同特征從而概括出數(shù)，建立數(shù)的概念。

如教學一年級上冊第15頁“1～5的數(shù)的認識”時（見圖2a），通過小狗、鴨子、小鳥的個數(shù)來抽象概括出數(shù)1、2、3，并通過擺小棒將數(shù)進一步簡約化表達，使學生體會到一只小狗記作“1”，1也可以用一根小棒來表示。通過表征，數(shù)字1變得直觀、可視，這樣的方式使學生很自然地理解自然數(shù)的內(nèi)涵。在低年級教學中，學生可以用畫圖等方式表示數(shù)，進行組成、順序、大小比較等研究（見圖2b）。在研究6的組成時及時拋出問題“6可以分成幾和幾呢？請你想一想、畫一畫、擺一擺，讓人一看就明白”。學生通過擺小棒、畫圓形等方式思考6的分與合。從作品中可以看出，有的學生是無序的，有的則是按一定的規(guī)則在分、合。通過表征，不僅使分的結(jié)果變得可視，學生的思維過程也變得直觀。經(jīng)過多次的表征發(fā)現(xiàn)該階段的孩子，對數(shù)的表征慢慢地開始脫離實物，而用相對抽象的幾何圖形如三角形、圓等來替代。

圖2

學生認數(shù)的過程中離不開直觀，以“形”譯數(shù)，化抽象為具體，在豐富的素材中學生感悟數(shù)的內(nèi)涵，建立表象，從而更好地溝通數(shù)的意義、數(shù)的讀寫、數(shù)感的培養(yǎng)。特別是那些相對較難理解且課本中抽象化水平較高的數(shù)，如分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)、負數(shù)等，課堂上借助畫一畫，找一找身邊事物等多種表征可以很好地化解數(shù)抽象的特點。這種可視的表征方式喚起了學生的生活經(jīng)驗，從而使學生觸摸數(shù)的本質(zhì)。

（二）模型表征——借模型刻畫明關(guān)系

模型表征是以具體可觸摸的模型取代實物，并保留原物的可操作性。以模型表征數(shù)，使抽象的數(shù)和現(xiàn)實之間的數(shù)量建立聯(lián)系，這里的模型可以是幾何模型、計數(shù)器、直尺、數(shù)軸、方格圖等。在這種形式化的表征中，學生可觀察、操作，并從中掌握數(shù)的概念中很多重要但很抽象的內(nèi)容，比如計數(shù)單位、讀寫法等，模型與計數(shù)單位建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，這對學生數(shù)感的培養(yǎng)很有幫助。

如在“11～20的數(shù)的認識”的教學中，可以設(shè)計多次圈、捆、畫等操作活動，以模型的形式為計數(shù)單位“十”的建立提供直觀支持。

師：你能想辦法讓人一看就知道有幾個草莓嗎？

生：可以5個5個地圈起來。

生：還可以10個圈起來,余下幾個就是十幾。

師：一個圈表示10個，這種方法真好。如果用小棒代替草莓，現(xiàn)在怎樣讓人一看就明白是幾根呢？

生：可以把10根小棒捆成一捆，一捆就是10根，和余下的3根合起來就是13根。

師：這里有兩個盒子，請你將小棒放好，并做好記錄。

生：左邊的盒子里放1捆，就畫1顆珠子，右邊的盒子里放3根，畫3顆珠子。

生：我左邊也放了1捆，但是我畫了10顆，右邊也是放了3根，畫3顆珠子。

生：左邊不能畫10顆，放1捆畫1顆，畫10顆就要放10捆了。

師：是啊，1顆珠子表示1捆，這一捆捆放的盒子我們把它叫作十位盒子，放1捆就記作1，一根根放的叫作個位盒子，放1根就記作1，放3根就記作3，合起來就是……

圖3

計數(shù)單位“十”及數(shù)位概念是11～20各數(shù)的認識時的要點。通過活動使學生對數(shù)的認識從單個的一個個數(shù)擴展到十個為一群數(shù)，這是讓學生建立十進制數(shù)位概念的重要階段。課堂上引導學生通過“怎樣讓人一看就明白有幾根”的活動引導學生建立10個一堆、10個一捆的觀念；再通過捆一捆、畫一畫、填一填等活動，把圖與數(shù)結(jié)合，將抽象的數(shù)位與具體形象的小棒圖結(jié)合，通過直觀表征（圈10個草莓）到半直觀模型（一捆小棒）最后抽象出十位上的一顆珠子，以可視的方式將一捆小棒（計數(shù)單位十的模型）過渡到計數(shù)器十位上一顆珠子的模型。在操作中學生體會一個算珠在不同位置上的意義，以實現(xiàn)“以一當一”到“以一當十”的飛躍。

小學階段常用的計數(shù)器、小棒、方格紙、立方體等，都是一種“齊性”的“結(jié)構(gòu)化”特征的直觀可視的學具，用這些材料進行表征可幫學生建立“單位”“位值”等概念，為他們以后讀寫、理解更大的數(shù)，進行有意義的運算打下基礎(chǔ)。

此外，數(shù)軸也是一種較為抽象的模型，在小學階段中經(jīng)常用到。在小學階段，很多內(nèi)容都可以借助數(shù)軸這一模型來表征，如“公約數(shù)和最大公約數(shù)”“近似數(shù)”“數(shù)的大小比較”等，利用數(shù)在數(shù)軸上的位置，使數(shù)與數(shù)之間的大小關(guān)系、重疊關(guān)系直觀呈現(xiàn)。學生通過在數(shù)軸上找—圈—觀察—對比等活動感受直觀背景和概念間的關(guān)系，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)并及時整合，形成對應(yīng)的程序模型。

（三）言語表征——用樸素文字刻形象

言語表征是語言材料所負載的信息在頭腦中的存在方式，是一種相對圖形表征來說較為高級的表征方式。言語表征是符號性表征中的一種，它是儲存于頭腦中的“概念意向”在特定的時候被激活，適時描摹對象并用口語加以描述，其他個體可結(jié)合語言來構(gòu)畫具象的過程。如比較小數(shù)0.2和0.5的大小時，有的學生借助多年的生活經(jīng)驗來描述：0.2就是2角，0.5就是5角，2角比5角小，所以0.2＜0.5；有的學生聯(lián)系圖來描述：把一條線段平均分成10份，0.2就是其中的2份，0.5是其中的5份。在研究負數(shù)（-2）所表示的意義時，有的學生認為-2是地下二層，有的則認為是欠了2元錢，還有的學生理解為零下2℃，等等。以言語符號進行表征的兒童，他們的思維活動不再依賴實物或圖像的操作，僅以口語這一符號來反映個體的心智活動，故抽象思考性較高。

二、“轉(zhuǎn)譯”表征形式，理解“數(shù)”的概念

對于一個數(shù)學概念，往往可以借助多種形式來表征，不同的表征方式對概念或者問題進行不同的解釋，也就是從不同的角度對知識的本質(zhì)進行視覺化或者言語化的加工，因而使學生獲得深刻的體驗，感悟“數(shù)”的本質(zhì)。課堂上，教師要引導學生進行多種表征之間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯，從而使學生對概念具有豐富的多元化的理解。

（一）適時轉(zhuǎn)換，提升概念的意義理解

由于每一種表征都是個體經(jīng)過加工后而生成的，不同的表征相互補充，相互完善，從而豐富概念的內(nèi)涵和外延。表征方式的多樣性有助于學生對數(shù)的概念的多重意義的認識，教師要注意引導學生在多種表征方式之間進行轉(zhuǎn)換，在各種表征方式之間轉(zhuǎn)換越順暢，學生對概念的理解也就越深刻。

圖4

在二下學習1000以內(nèi)數(shù)的組成時（見圖4），教師可先出示一袋小方塊，提問：這里一共有多少呢？請你數(shù)一數(shù)，并用自己的方式記錄下來，讓人一看就明白。學生通過數(shù)數(shù)、用“百”去圈等方式來表征數(shù)，隨后引導學生以具有直觀結(jié)構(gòu)化的小棒和語言進行表征，從中可以清楚地表示數(shù)的組成，最后借助計數(shù)器表示數(shù)并讀寫數(shù)。教師引導學生通過實踐對多種表征方式一一對應(yīng)進行溝通：一個圈—一大捆小棒—百位上的一顆珠子，一列頭像—一捆小棒—十位上的一顆珠子，等等，在一對一的過程中向?qū)W生直觀地展示數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，同時又理順了知識間的關(guān)系。自然數(shù)概念是一個典型的過程性概念，這個過程就是“數(shù)數(shù)”，在不同形式的數(shù)數(shù)中“數(shù)”逐漸抽象，最后推理得到200可以用計數(shù)器百位上的2顆珠子代替等。

（二）轉(zhuǎn)譯語言，實現(xiàn)抽象與直觀的對接

皮亞杰的數(shù)概念學習理論中指出，兒童學會的思考除了“同一性思考”以外，還有可逆性思考，即對數(shù)這一對象加以操作，同時可以用相反的操作予以還原。因此，在數(shù)概念教學中要充分借助分、擺、圈、畫等活動，及時引導學生說一說，強化學生對數(shù)的語言表述；同時學生能通過語言表征而描畫出具體的直觀形象，實現(xiàn)語言與圖形的對接，我們稱之為轉(zhuǎn)譯。如用自己的方式表示出時，有的學生會在腦中描畫出圖5所示的形式，并用語言加以正確的描述：把一個圓平均分成3份，每份就是這個圓的又如在表達數(shù)的組成時，能在頭腦中勾勒出具體的模型：2個頭腦中出現(xiàn)的是2份涂色部分或圖5中的白色部分。

圖5

數(shù)學源自生活，百分數(shù)在學生生活中經(jīng)?？梢钥吹剑缟痰甏蛘?、程序卸載、手機的容量儲存等。對于這些信息，學生或多或少已經(jīng)有所了解，因此尊重學生的原有知識儲備，通過畫圖、語言等方式進行數(shù)學表征，讓抽象的百分數(shù)變得具體形象。在口語符號、圖形圖像及操作的互譯中學生不斷完善百分數(shù)的內(nèi)涵，形成更為完善的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，并在頭腦中儲存了百分數(shù)的模型（直觀可視圖）。當以后再次出現(xiàn)百分數(shù)時，學生的頭腦中會結(jié)合具體情境直接閃現(xiàn)圖，這種將概念意象化數(shù)的虛擬抽象轉(zhuǎn)譯為直觀可視的圖形表征，對于解決更為復雜的有關(guān)百分數(shù)的實際問題有很大的好處。

三、“回旋”表征方式，內(nèi)化“數(shù)”的運用

在小學階段，學生對于數(shù)量的認知離不開對實物、圖形的依賴，這對處于中低年級的學生而言更為明顯，這階段的學生更傾向于使用形象、具體的表征來理解數(shù)。但隨著年齡的增大,他們所使用的表征形式也趨于豐富，且對于數(shù)量的表征能力從具象逐漸朝著抽象化發(fā)展，但是還需要具體的感性經(jīng)驗作支撐。

（一）直觀向抽象，深化理解

小學階段的學生對每一類數(shù)的研究從實物、圖像等具體外在表征開始，慢慢地引入模型、符號來開展進一步的研究，并將數(shù)納入一個體系之中。以自然數(shù)為例（圖6），從圖6中可以看出，學生認識自然數(shù)先從常見實物表征開始，逐漸過渡到算盤、尺子、小棒等半直觀半抽象的模型，最后借助點子圖將數(shù)抽象成在數(shù)軸上的一個點表示。利用數(shù)軸可以將數(shù)有序地表示在一條有方向的線上，這對于整個數(shù)體系的建立具有重要的作用。

圖6

（二）回旋加停頓，走向運用

學生認識數(shù)從直觀入手，并逐漸概括向抽象化發(fā)展，即具體研究數(shù)時我們常借助形象來感受并適時、適當?shù)剡M行抽象，抽象化后有時根據(jù)需要又會回旋、停頓，通過外在表征來解釋數(shù)的概念，如性質(zhì)等，同時通過直觀理解數(shù)的運算、實際運用等。

在三年級學習《除數(shù)是一位數(shù)除法》的口算和筆算時，通過實物、圖形表征和模型表征的方式讓學生在操作過程中理解12個十平均分成3份，每份就是4個十，也就是40。借助操作或具體的圖像對于學生理解除數(shù)是一位數(shù)的口算與筆算是十分有幫助的，因為視覺和操作的表征對于中低年級的學生來說是比較容易接受的。因此在教學時，可以安排練習：“120÷3怎么算呢？你可以用畫畫圖、分分小棒、寫寫話等方式，讓人一看就明白你是怎么想的?！倍喾N形式的表征豐富學生的認識，并溝通直觀圖、小棒與語言描述的聯(lián)系。以小棒聯(lián)結(jié)學生的具體活動經(jīng)驗和抽象化語言，使學生對算理的理解更為順暢，豐富數(shù)感，指向運用。

有效的教學是建立在學生的認識發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的，教師引導學生運用多元表征，是引領(lǐng)學生經(jīng)歷自我建構(gòu)、自我生成的過程。多元表征幫助學生在對外部信息進行主動選擇、加工和處理過程中領(lǐng)悟數(shù)的意義，建立數(shù)的概念，豐富學生的數(shù)感，是學生探尋未知數(shù)學世界的一把智慧鑰匙。