□ 朱雪蓮 饒大燕 執(zhí)筆

在一次教師培訓(xùn)中，筆者有幸聆聽到蔡金法教授的講座，他在講課過程中給學(xué)員們呈現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)典問題——“三門問題”，組織大家采用小組合作方式開展研究。學(xué)員們對形成“換門”“不換門”“投幣”的解決策略沒有疑義，但由于問題的正確結(jié)果和解題者的直覺反應(yīng)有著很大的差異，引起了大家的爭議?；氐綄W(xué)校后，筆者對這個(gè)問題一直懷有濃厚的興趣，雖然可以通過百度查詢到結(jié)果，但是久久沒有找到一個(gè)能說服自己的解題辦法。

一、實(shí)驗(yàn)解讀

三門問題（MontyHallproblem），亦稱為蒙提霍爾問題或蒙提霍爾悖論，出自美國的電視游戲節(jié)目Let'sMakeaDeal。參賽者會(huì)看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇門的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會(huì)問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。問題是：換另一扇門是否會(huì)增加參賽者贏得汽車的概率？

面對這個(gè)問題，直覺告訴人們：如果被打開的門后什么都沒有，這個(gè)信息會(huì)改變剩余的兩種選擇的概率，哪一種都只能是二分之一。顯然，這是一個(gè)概率論和人的直覺不太符合的例子，這告訴我們在做基于量化判斷的時(shí)候，要以事實(shí)和數(shù)據(jù)為依據(jù)，而不要憑主觀和直覺來決定。我們可以從合情推理或通過計(jì)算得出相應(yīng)的概率。

推理過程如下：如果參賽者選擇了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門；如果參賽者選擇了一扇有汽車的門，主持人隨機(jī)在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。我們可以遍歷所有可能，那么假設(shè)參賽者選擇1號門，就會(huì)存在三種可能情況：

A.參賽者選擇汽車，主持人選擇山羊甲，轉(zhuǎn)換失敗。

B.參賽者選擇山羊甲，主持人選擇山羊乙，轉(zhuǎn)換成功。

C.參賽者選擇山羊乙，主持人選擇山羊甲，轉(zhuǎn)換成功。

可見轉(zhuǎn)換選擇后的成功概率為三分之二。

計(jì)算過程如下：使用數(shù)學(xué)工具貝葉斯公式。我們用事件A代表參賽者第一次選擇的門后是汽車，B代表主持人打開的門后是山羊。那么已知B的情況下，A發(fā)生的條件概率P｛A｜B｝用貝葉斯公式可得：

二、實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)

擬通過1個(gè)課時(shí)的“三門問題”探究學(xué)習(xí)，達(dá)成以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.知道什么是“三門問題”，通過猜想、推測、實(shí)驗(yàn)、分析，初步理解不換門、換門、投幣三種策略贏得汽車的概率，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)。

2.培養(yǎng)學(xué)生勇于猜想、積極合作、大膽求證、觀察分析等的科學(xué)研究精神。

3.通過聯(lián)系生活，學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值。

三、實(shí)驗(yàn)過程

（一）“要不要換門”——?jiǎng)?chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境，激發(fā)認(rèn)知沖突

【教學(xué)片段一】

師：看明白了沒有？看明白的同學(xué)簡單地復(fù)述一下游戲規(guī)則。

生：就是有三扇門，三扇門后各藏有一件獎(jiǎng)品，兩件是山羊，一件是汽車。猜獎(jiǎng)?wù)呷芜x一扇門并得門后的獎(jiǎng)品。在猜獎(jiǎng)?wù)弋?dāng)場選定一扇門未打開前，主持人打開了另外一扇門，發(fā)現(xiàn)后面是羊。

師：這時(shí)，你打算怎么辦？

生：堅(jiān)持原來的選擇。

生：改猜另一扇門。

生：投一枚硬幣，正面朝上選擇不變，反面朝上改猜另一扇門。

【環(huán)節(jié)點(diǎn)評】

富有趣味性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生產(chǎn)生探究的興趣與欲望。通過讓學(xué)生觀看綜藝節(jié)目微視頻的形式導(dǎo)入新課，數(shù)學(xué)游戲內(nèi)容豐富且直觀，又含有較高的思維含量，讓學(xué)生對“三門問題”產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。在猜獎(jiǎng)?wù)弋?dāng)場選定一扇門未打開前，主持人打開了另外一扇門，發(fā)現(xiàn)后面是羊。教師拋出問題：“這時(shí)，你打算怎么辦？”在實(shí)驗(yàn)?zāi)M情境中，有效喚醒了學(xué)生已有的統(tǒng)計(jì)知識經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。

（二）“換門的勝算大嗎”——大膽猜想，試析引發(fā)實(shí)驗(yàn)需求

【教學(xué)片段二】

師：同學(xué)們，現(xiàn)在出現(xiàn)了三種策略，你覺得哪種策略獲得汽車的概率更大？

生：我覺得三種策略的可能性都是一樣的，都是三分之一。

師：你的猜測非常大膽，誰還有不同的想法？

生：我覺得不一定是三分之一，因?yàn)椴呗匀龘Q門和不換門的概率是不一樣的。如果你拋到正面，正面是不換門，反面是換門，那么換門的概率會(huì)更大一些。

師：你有不同的意見，你覺得這三個(gè)哪個(gè)是有問題的？

生：拋硬幣。

師：那拋硬幣的概率應(yīng)該是多少？

生：我覺得拋硬幣的概率應(yīng)該是二分之一，硬幣有兩個(gè)面，隨便拋一個(gè)就是正面或反面。

生：我認(rèn)為三個(gè)都是二分之一，因?yàn)樽詈笫Ｏ碌亩际菍Q門和不換門這兩種情況進(jìn)行選擇。

師：你們都很會(huì)猜想，三種策略贏得汽車的可能性分別是多少？怎么辦呢？

生：就和原來解決拋硬幣、摸乒乓球的問題一樣，做個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)吧。

【環(huán)節(jié)點(diǎn)評】

每個(gè)人都有猜想的潛能，當(dāng)一個(gè)人的思維被激活，迫切地想知道某個(gè)問題的答案時(shí),往往都會(huì)先進(jìn)行猜想，以滿足自己求知的欲望。所以在拋出問題“哪種策略獲得汽車的可能性更大”時(shí),一下子就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性，讓學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)猜想的欲望。同時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)良好的課堂氛圍，學(xué)生根據(jù)自己的理解提出猜想，在對話交流中拓寬了解決問題的視野，從而獲得解題的思路，提出做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的需求。我們也發(fā)現(xiàn)，在研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，不可能總有先例可供參考，這時(shí)就需要大膽地發(fā)揮猜想，突破原有的桎梏，敢于實(shí)踐求知。而寬松和諧的課堂氛圍能使學(xué)生的思維活躍,多元、新奇的猜想才可能出現(xiàn)，點(diǎn)燃學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)的火花。

（三）“哪種勝算更大”——經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)猜想

【教學(xué)片段三】

1.實(shí)驗(yàn)前制訂實(shí)驗(yàn)規(guī)則。

師:既然要做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)蔷蛻?yīng)該有規(guī)則,你覺得要注意些什么?

生:主持人應(yīng)做到保密、公平,不能提前泄露汽車在哪兒。

生:主持人自己要對汽車心中有數(shù),隨機(jī)選擇汽車。

生:做實(shí)驗(yàn)時(shí),實(shí)驗(yàn)的次數(shù)盡量要多一點(diǎn),實(shí)驗(yàn)會(huì)更加準(zhǔn)確。

師:我們是否要先確定小組成員,想一想小組成員有幾人？

生:需要一個(gè)主持人和一個(gè)猜獎(jiǎng)?wù)摺?/p>

師:除了主持人、猜獎(jiǎng)?wù)哌€可以增加，你們覺得還可以增加哪些成員？

生:觀察員、記錄員,幫忙記錄結(jié)果和監(jiān)督……

2.實(shí)驗(yàn)中需要注意的事項(xiàng)。

師：我們用三個(gè)紙杯代替三扇門，分別在紙杯底部寫有“車”“羊”“羊”字樣，反過來放在桌面上。在做實(shí)驗(yàn)過程中，還應(yīng)該注意什么呢？請同學(xué)們觀看一段模擬視頻。

生：實(shí)驗(yàn)紙杯要一模一樣。

生：不能在三個(gè)紙杯上做記號，否則會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

生：每次猜完，主持人要調(diào)換紙杯的位置，猜獎(jiǎng)?wù)咭谧⊙劬Σ荒芡悼础?/p>

生：猜獎(jiǎng)?wù)咝膽B(tài)要好，不要一個(gè)勁地想得到汽車，影響可能性大小。

師：是的，實(shí)驗(yàn)過程中，實(shí)驗(yàn)者的態(tài)度影響著實(shí)驗(yàn)結(jié)果，贏得汽車不是我們的最終目的，探究三種策略哪種獲得汽車的可能性最大，才是我們的研究目的。我們用紙杯代替門，雖然研究條件簡陋，但只要我們遵守實(shí)驗(yàn)規(guī)則，結(jié)果仍然有效。

教師介紹實(shí)驗(yàn)單使用方法。

2號實(shí)驗(yàn)單

實(shí)驗(yàn)換門策略贏得跑車的可能性 實(shí)驗(yàn)員（ ）

局次初選門號 調(diào)整門號 是否贏得跑車（是：√）1 2 3……

實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

選中跑車次數(shù)總選擇次數(shù)我們的發(fā)現(xiàn)：

師：考慮到策略3硬幣容易滾落，所以建議采用投幣策略的同學(xué)，可以多領(lǐng)一個(gè)紙杯，用手掌蓋住杯口，充分搖動(dòng)杯中硬幣。

3.自由組合實(shí)驗(yàn)小組。

根據(jù)每個(gè)學(xué)生選擇的最想?yún)⑴c的實(shí)驗(yàn)策略，調(diào)整學(xué)生座位，自由組合實(shí)驗(yàn)小組并領(lǐng)取實(shí)驗(yàn)材料。

【環(huán)節(jié)點(diǎn)評】

在實(shí)驗(yàn)探究過程中，我們設(shè)置了開放型的探究活動(dòng)，即學(xué)生自己制訂實(shí)驗(yàn)過程的注意事項(xiàng)，自主選擇喜歡的一種策略做實(shí)驗(yàn)，自主確定同伴的人數(shù)和小組成員的分工，真正把課堂變成人人參與、個(gè)個(gè)思考的空間。在做實(shí)驗(yàn)過程中，每個(gè)小組的記錄員及時(shí)記錄猜獎(jiǎng)?wù)叩膶?shí)驗(yàn)結(jié)果，是獲得羊還是汽車。選擇不換門策略的小組會(huì)很快發(fā)現(xiàn)，當(dāng)猜獎(jiǎng)?wù)咦龀龅谝粋€(gè)選擇之后，主持人打開了山羊這扇門，猜獎(jiǎng)?wù)咴俅巫鲞x擇這個(gè)環(huán)節(jié)其實(shí)是無效的，所以實(shí)驗(yàn)過程只需要前半程即可。選擇換門策略的小組也會(huì)在實(shí)驗(yàn)中頓悟，第一次選擇山羊的結(jié)果肯定是贏得汽車，山羊?qū)?yīng)兩扇門，所以贏得汽車的可能性大。這些實(shí)驗(yàn)的臨場感悟，為學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的緣由打下了基礎(chǔ)。

（四）“為什么要換門”——比較辨析明理，探索實(shí)驗(yàn)緣由

【教學(xué)片段四】

1.借力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，質(zhì)疑猜想。

（學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)，匯報(bào)后師生一起統(tǒng)計(jì)總次數(shù)、選中次數(shù)，計(jì)算選中百分比）

師：請同學(xué)們比較一下我們最初的猜測和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，你想說什么？

生：差得很多，換門的和拋硬幣的兩種概率。

師：你想說的是這兩個(gè)數(shù)據(jù)比我們猜測的要高很多，是嗎？

生：我們猜測是二分之一，但實(shí)際是32.5%，感覺有點(diǎn)奇怪。

師：也就是它和誰比較接近？三分之一。

生：我們一開始以為三種策略的概率是一樣的，但是發(fā)現(xiàn)原來換門的概率最大，其次是拋硬幣。

生：我發(fā)現(xiàn)其實(shí)換門和不換門的就是互補(bǔ)的，加起來是“1”，如果不換門的概率小那么換門的概率必然大。

師：現(xiàn)在這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出來了，你覺得準(zhǔn)確嗎？

生：可能不太準(zhǔn)確。

圖1 三門問題板書圖

2.借力樣本數(shù)據(jù)，完善猜想。

師：只憑這幾組數(shù)據(jù)，我們能驗(yàn)證自己的猜想了嗎？

生：我們做的實(shí)驗(yàn)次數(shù)還太少，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能還不夠準(zhǔn)確。

師：那現(xiàn)在我們就增加實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證猜想。（樣本數(shù)據(jù)演示）

師：比較自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和電腦軟件大數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

策略1

策略2

策略3

3.借力合情推理，理解本質(zhì)。

師：那么，為什么不換門的可能性是三分之一呢？

生：因?yàn)椴粨Q門中有三扇門可以選一扇，猜中的就只有一扇門，所以就是三分之一。

師：為什么換門的可能性是三分之二呢？

生：就是換門和不換門是互補(bǔ)的，一個(gè)是三分之一另一個(gè)就是三分之二。

生：第一種可能是羊、羊、車，二號門的可能是羊、車、羊，三號門可能是車、羊、羊。好，我們來看，如果第一次選中的是羊，主持人打開羊，我們選擇的就是車。第二次選擇的是車，主持人打開的是羊，我們換門選擇的也是羊。第三次我們選擇的羊，主持人打開的也是羊，我們換門就是車。這三種情況贏得汽車的概率就是三分之二。

【環(huán)節(jié)點(diǎn)評】

學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，樣本數(shù)據(jù)分析和合情推理層層展開，步步深入，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證和推理的探究過程，從中挖掘“三門問題”所蘊(yùn)含的奧秘，從而進(jìn)一步建立“三門問題”的數(shù)學(xué)模型。從第一次對比最初猜測和我們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)：三種策略的統(tǒng)計(jì)結(jié)果跟最初的猜想有較大的偏差，學(xué)生猜測換門和投硬幣的概率都是二分之一，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比我們的猜測要高；第二次對比我們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和大數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感受到統(tǒng)計(jì)建模與一般的數(shù)學(xué)建模有所不同，它充滿了很強(qiáng)的不確定性，我們需要盡力降低這種不確定性，盡量對這種不確定性進(jìn)行量化。從而進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，感性經(jīng)驗(yàn)和猜想有時(shí)并不是很準(zhǔn)確，猜想還需借助實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證，如果不動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，思維將會(huì)受到阻礙或發(fā)生錯(cuò)誤，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相當(dāng)于給學(xué)生搭建了一副理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的“腳手架”。

四、教學(xué)反思

上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的目的是讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中不斷積累“做的經(jīng)驗(yàn)”“想的經(jīng)驗(yàn)”，在此過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)，完成數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)。上好一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課還要注意以下幾點(diǎn)。

（一）素材選擇需有度

“三門問題”是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性、有一定難度的數(shù)學(xué)問題，往往會(huì)給人們造成理解上的困惑，更何況是小學(xué)生。我們相信，只要找到一個(gè)合適的途徑和方法，一些高等數(shù)學(xué)知識也可以讓小學(xué)生進(jìn)行理解。考慮到六年級學(xué)生有一定的概率知識儲備，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和合情推理，可以促進(jìn)學(xué)生理解“三門問題”的解題策略。不過，我們也注意到一個(gè)現(xiàn)象，有部分學(xué)生雖然完成了教學(xué)流程，對學(xué)習(xí)材料也保持著濃厚的興趣，但對和自我最初猜想差異較大的正確結(jié)果還會(huì)有一個(gè)理解的過程，我們要允許學(xué)生有自我調(diào)整的學(xué)習(xí)過程。

（二）學(xué)生猜想有引導(dǎo)

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)猜想時(shí),不能因?yàn)閷W(xué)生說不清緣由而指責(zé)學(xué)生“瞎猜”或“胡說八道”，而應(yīng)該及時(shí)鼓勵(lì)，適時(shí)表揚(yáng),容忍學(xué)生出現(xiàn)短暫的“忘乎所以”，久而久之，學(xué)生就不會(huì)有所顧慮,遇到新問題時(shí)便敢于猜想。在鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想的同時(shí)，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對其思路進(jìn)行矯正，如果教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的猜想完全偏離軌道，可以適當(dāng)追問或提供一些小建議，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整思路,重新分析,久而久之，學(xué)生猜想的方法越來越合理化，真正讓猜想為學(xué)習(xí)所用，讓猜想為課堂所用，猜想才更具有意義。

（三）實(shí)驗(yàn)組織重有效

在做實(shí)驗(yàn)前，如果“三門問題”游戲規(guī)則要求不明確、不到位，代替三扇門的三個(gè)杯子形狀、顏色不一，實(shí)驗(yàn)者的心態(tài)，這些都會(huì)增加學(xué)生實(shí)驗(yàn)的難度，使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不夠穩(wěn)定，使一些學(xué)習(xí)水平和理解能力不足的學(xué)生產(chǎn)生困難，對大數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生懷疑，白白浪費(fèi)了寶貴的學(xué)習(xí)時(shí)間。又比如，有一些學(xué)生選擇投幣實(shí)驗(yàn)，可以提醒學(xué)生把硬幣放入紙杯，杯口用掌心蓋住搖動(dòng)，可以讓實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確。所以，教師在設(shè)計(jì)活動(dòng)要求時(shí)應(yīng)簡要、明確，提供充分的實(shí)驗(yàn)時(shí)間，關(guān)注學(xué)生的實(shí)驗(yàn)進(jìn)度、探究互動(dòng)和辨析明理的過程。

（四）數(shù)學(xué)思考要充分

毋庸置疑，“三門問題”是集趣味和難度（與直覺相悖）于一體的，沒有一定的思考和實(shí)驗(yàn)時(shí)間，只能淪為機(jī)械操作，無法獲得實(shí)質(zhì)性的思維提升。對游戲的理解也好，對實(shí)驗(yàn)規(guī)則的設(shè)計(jì)也好，還是實(shí)驗(yàn)過程，都應(yīng)讓學(xué)生手腦并用，注重培養(yǎng)學(xué)生邊觀察、邊想象、邊思考的習(xí)慣?？梢圆捎谩跋茸龊笙搿被颉跋认牒笞觥钡确绞?，將觀察與操作、想象與操作、想象與思考等結(jié)合起來，提高實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的質(zhì)量。

課即將結(jié)束，學(xué)生還沉浸在“三門問題”的思考中，猜測如果是四扇門、五扇門或更多的門，同樣的游戲規(guī)則，結(jié)果又會(huì)是怎樣的呢？提出問題的學(xué)生還不斷提出解決問題的新規(guī)則和方法。教師讓學(xué)生給這節(jié)課取個(gè)題目，學(xué)生紛紛拋出：車羊問題、贏車問題、三門問題、三門風(fēng)波等。正如一位學(xué)生所說的，從最初的猜想可能性是二分之一，到實(shí)驗(yàn)所得三個(gè)不同的數(shù)據(jù)，雖然知道了結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論和猜想相差較大，心理好比過山車一樣，經(jīng)歷了一場“三門風(fēng)波”?？梢?，從研究三扇門的獲獎(jiǎng)概率問題，到研究四扇門、五扇門甚至更多的門的獲獎(jiǎng)概率問題，對學(xué)生而言，他們經(jīng)歷的是學(xué)習(xí)之旅，思維之旅，精神升華之旅。這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的魅力所在！