□ 姚江峰

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是以問題為導(dǎo)向的學(xué)與教的方式，主要是導(dǎo)引學(xué)生對(duì)真實(shí)世界的、復(fù)雜的問題（任務(wù)/主題）進(jìn)行研究，以小組合作的方式制訂實(shí)施計(jì)劃并進(jìn)行實(shí)踐探索，通過信息收集、調(diào)查研究、分享討論，最終解決問題或完成作品。項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)通常持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，更具挑戰(zhàn)性和開放性，能有效促進(jìn)學(xué)生深度投入學(xué)習(xí)活動(dòng)，能有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)的綜合運(yùn)用，積累問題思考和問題解決的經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的動(dòng)手能力、計(jì)劃以及執(zhí)行項(xiàng)目的能力、團(tuán)隊(duì)合作能力、創(chuàng)造力和領(lǐng)導(dǎo)力，促進(jìn)終身學(xué)習(xí)技能的獲得和綜合素養(yǎng)的發(fā)展。下面以“籃球圈的秘密”為例來談項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施。

一、提出研究問題

為了讓項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)容更貼近學(xué)生的生活和興趣，同時(shí)也為了充分利用教材內(nèi)容作延伸和拓展，在學(xué)生學(xué)習(xí)“確定起跑線”這個(gè)教材內(nèi)容之后，向?qū)W生提出這樣的問題：通過“確定起跑線”的項(xiàng)目研究，我們發(fā)現(xiàn)了跑道起跑線中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)秘密。那你們還想研究體育運(yùn)動(dòng)中哪些隱藏的秘密？

“一問激起千層浪”，學(xué)生紛紛尋找體育運(yùn)動(dòng)中自己感覺疑惑的地方。通過思考和討論，同學(xué)們提出了以下這些問題：“為什么跑道兩邊直兩頭圓”“排球網(wǎng)的高度”“身高與跳高的高度關(guān)系”……筆者把它們一一羅列在黑板上，并組織大家一起思考和討論。最終，有一個(gè)問題引起了大家的共鳴和濃厚的研究興趣?！盀槭裁醋闱蛐【W(wǎng)框很大，但籃球大籃圈卻很小？”通過對(duì)問題的進(jìn)一步梳理，最終把項(xiàng)目研究的焦點(diǎn)指向“籃球圈的秘密”：籃球和籃球圈的大小有什么關(guān)系？

【感悟與思考】

在平時(shí)的教學(xué)中，教師總是絞盡腦汁地尋找作為學(xué)生數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)的好材料、好內(nèi)容。其實(shí)很多數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的好材料和好內(nèi)容就藏在教材之中，也可以利用教材之中的內(nèi)容作再次延伸和拓展。本次項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的案例是從教材“確定起跑線”一課的內(nèi)容出發(fā)，通過“你們還想研究體育運(yùn)動(dòng)中其他哪些隱藏的秘密？”問題，趁熱打鐵，觸發(fā)學(xué)生的熱情和興致，拓展學(xué)生的思維，再通過對(duì)學(xué)生問題的梳理歸納提煉，得到了本次項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的主題：籃球圈的秘密。

二、項(xiàng)目方案設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：分組討論制訂項(xiàng)目研究預(yù)案

“籃球圈的秘密：籃球和籃球圈的大小有什么關(guān)系？”如何展開研究？請(qǐng)學(xué)生以四人小組為單位設(shè)計(jì)一份切實(shí)可行的研究方案，研究預(yù)案要求體現(xiàn)怎么想、怎么做的基本研究思路。

環(huán)節(jié)2：分組展示項(xiàng)目研究預(yù)案

各組到講臺(tái)前展示并說明自己組的預(yù)案，其他組進(jìn)行提問。各組在展示預(yù)案時(shí)，要體現(xiàn)怎么想、怎么做的基本過程。

環(huán)節(jié)3：項(xiàng)目研究預(yù)案的調(diào)整

通過各組預(yù)案的展示和討論，通過逐步篩選辨析，大家覺得下面兩個(gè)組的方案比較好。

小組A：我們認(rèn)為，要想知道籃球和籃球圈的大小有什么關(guān)系，可以從數(shù)據(jù)出發(fā)去思考并解決，用工具軟尺先分別測(cè)量出籃球和籃球圈的周長(zhǎng)，然后通過對(duì)兩個(gè)數(shù)的比較，算出籃球和籃球圈的大小關(guān)系。小組B：我們認(rèn)為，籃球和籃球圈的大小應(yīng)該有一定關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以通過數(shù)據(jù)測(cè)量計(jì)算得到。但我們還思考：為什么會(huì)有這個(gè)關(guān)系？其他關(guān)系可以嗎？為此，我們想通過不同大小籃球圈和不同大小籃球的投籃，通過命中率的收集與分析得出更有說服力的聯(lián)系。

教師見學(xué)生基本已經(jīng)對(duì)本次項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的研究?jī)?nèi)容有了一定的了解，但還不是很清晰，于是，教師伺機(jī)進(jìn)行引導(dǎo)：這兩個(gè)小組從不同的角度思考得到了不同的方案，都非常好。第1個(gè)小組站在數(shù)據(jù)關(guān)系角度去思考設(shè)計(jì)，這雖然是我們大多數(shù)數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的常用思維，但確實(shí)能夠發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象本質(zhì)。而第2個(gè)小組，不僅想得到結(jié)論，還想追問結(jié)論后面的緣由。其實(shí)，通過剛才展示討論，同學(xué)們已經(jīng)逐步清晰了“籃球圈的秘密”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)主要研究的兩大內(nèi)容：1.籃球圈的秘密，即目前我們采用的籃球圈和籃球大小的關(guān)系；2.“秘密”的緣由，即我們?yōu)槭裁床捎眠@樣的關(guān)系，是否可以有其他不同的關(guān)系替代。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)小組的方案進(jìn)行整合優(yōu)化，形成一個(gè)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的研究方案（如下）。

【感悟與思考】

常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往比較重視解答現(xiàn)有的數(shù)學(xué)問題，即課本上已經(jīng)經(jīng)過數(shù)學(xué)處理的問題。學(xué)生只要按照學(xué)會(huì)的解題方法，一步一步地去解決就可以了。在不斷反復(fù)操作下，學(xué)生雖然能熟練地掌握各種題目的解題技能、技巧，但一碰到實(shí)際生活，特別是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)這種開放度較高的學(xué)習(xí)方式時(shí)，往往顯得不知所措，無從下手。項(xiàng)目實(shí)施方案的設(shè)計(jì)是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)成功的重要環(huán)節(jié)。本次項(xiàng)目案例采用了先分小組進(jìn)行開放式預(yù)案的設(shè)計(jì)，然后通過小組展示說明和其他小組質(zhì)疑提問等方式不斷深入，最后結(jié)合該項(xiàng)目?jī)?nèi)容特點(diǎn)，制訂統(tǒng)一的實(shí)施方案。這種從開放式預(yù)案到統(tǒng)一性方案的過程是項(xiàng)目式方案制訂的較好路徑，也是比較適合小學(xué)生開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)制訂方案的一種方式。

三、項(xiàng)目研究的實(shí)施

以8人小組為單位，按照上面的統(tǒng)一研究方案，分場(chǎng)地進(jìn)行實(shí)施。然后進(jìn)行小組展示。（教師可以為學(xué)生開展研究活動(dòng)提供必要的材料支持）

四、項(xiàng)目研究的展評(píng)

每個(gè)小組派兩名代表進(jìn)行展示，主要展示實(shí)踐過程及得到的數(shù)據(jù)和結(jié)論。其他小組進(jìn)行比較和提問，評(píng)選優(yōu)秀展示小組。

環(huán)節(jié)1：“籃球和籃球圈的直徑和面積大小關(guān)系”的研究成果匯報(bào)。

小組A匯報(bào)：

我們小組采用軟尺去測(cè)量周長(zhǎng)的方法，分別得到以下測(cè)量結(jié)果（注：籃球周長(zhǎng)是指它的最大截面圓的周長(zhǎng)；籃球面積是指它的最大截面圓的面積，下同）：

周長(zhǎng)面積籃球76厘米459.7平方厘米籃球圈138厘米1519.76平方厘米占比約55.1%約30.2%

通過計(jì)算，我們得到：籃球周長(zhǎng)約是籃球圈周長(zhǎng)的55.1%；籃球最大的橫切面面積約是籃球圈面積的30.2%。

小組B匯報(bào)：

我們小組采用直尺去測(cè)量周長(zhǎng)的方法（先用線繞一周，再拉直用直尺測(cè)量），分別得到以下測(cè)量結(jié)果：

周長(zhǎng)面積籃球81厘米530.66平方厘米籃球圈142厘米1603.8平方厘米占比約57%約33.1%

通過計(jì)算，我們得到：籃球周長(zhǎng)約是籃球圈周長(zhǎng)的57%；籃球最大的截面面積約是籃球圈面積的33.1%。

小組C匯報(bào)：

我們小組沒有采用其他組的用軟尺去測(cè)量周長(zhǎng)的方法，而是采用網(wǎng)絡(luò)資料檢索的辦法得到數(shù)據(jù)。因?yàn)?，我們覺得軟尺測(cè)量會(huì)有一定的誤差。通過網(wǎng)絡(luò)查詢得到幾組數(shù)據(jù)：

直徑面積籃球24.6厘米475.0506平方厘米籃球圈45厘米1589.625平方厘米占比約54.67%約30%

通過上面數(shù)據(jù)，我們得到：籃球直徑大概是籃球圈直徑的54.67%，也就是一半稍微多點(diǎn)?；@球最大的截面面積約是籃球圈面積的30%。

教師伺機(jī)進(jìn)行引導(dǎo)：剛才幾個(gè)小組展示了他們第一步的研究結(jié)果，看到這幾組同學(xué)的結(jié)論，你們想說什么？

生1：為什么他們的數(shù)據(jù)都不一樣，到底哪一組比較準(zhǔn)確？

生2：我發(fā)現(xiàn)雖然他們的數(shù)據(jù)不一樣，但結(jié)論其實(shí)差不多，都是籃球周長(zhǎng)約是籃球圈周長(zhǎng)的一半多一點(diǎn)；而籃球最大的橫切面面積是籃球圈面積的30%左右。

師：對(duì)于生2的發(fā)現(xiàn)你們同意嗎？

生：同意。

師：通過不同方式的測(cè)量雖然數(shù)據(jù)不太一樣，但結(jié)論比較接近，我們都發(fā)現(xiàn)了籃球圈的秘密：籃球最大的橫切面面積約是籃球圈面積的30%。為你們的發(fā)現(xiàn)點(diǎn)贊。

師：那么，剛才生1提到的，你們有什么想說嗎？

生：這個(gè)其實(shí)我們以前也經(jīng)歷過，雖然大家測(cè)同一條線段、同一個(gè)角，但往往全班同學(xué)測(cè)量的結(jié)果會(huì)有很多種。我覺得這可能是測(cè)量時(shí)的誤差導(dǎo)致了結(jié)果不一樣。

師：她說的你們同意嗎？（生表示同意）

師（追問）：那么這幾個(gè)小組，你們覺得哪個(gè)小組的結(jié)果更精確一點(diǎn)？為什么？

生：我覺得網(wǎng)絡(luò)查詢得到的數(shù)據(jù)應(yīng)該更精確點(diǎn)，因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)往往是專業(yè)人員測(cè)量出來的。

師（小結(jié)）：在思考籃球和籃球圈的大小有什么關(guān)系這個(gè)問題時(shí)，有的小組采用了實(shí)際測(cè)量，有的小組通過網(wǎng)絡(luò)查詢資料的方式，都得到了籃球和籃球圈的相關(guān)數(shù)據(jù)，并通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)了籃球和籃球圈大小的關(guān)系，給了我們數(shù)據(jù)上的更直觀感受。剛才討論時(shí)說用工具實(shí)際測(cè)量會(huì)產(chǎn)生比較大的誤差，確實(shí)我們剛才也看到幾個(gè)小組的結(jié)果不一致，有的相差還比較大。那么實(shí)際測(cè)量是不是就一定不好呢？其實(shí)實(shí)際測(cè)量只要操作得好，不僅能夠得到精確的數(shù)據(jù)，還能夠培養(yǎng)我們認(rèn)真、細(xì)致、規(guī)范的品質(zhì)。當(dāng)然，我們有時(shí)也可以向剛才這個(gè)小組的同學(xué)一樣，充分利用資料檢索的方式，通過檢索得到我們需要的數(shù)據(jù)，但也需要考證數(shù)據(jù)的真實(shí)性與準(zhǔn)確性。

環(huán)節(jié)2：“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式投籃命中率研究成果匯報(bào)。

在這一環(huán)節(jié)的研究中，教師為學(xué)生提供了以下材料：在“同圈異球”的實(shí)踐中，采用了同一規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)籃球圈，并分別選取標(biāo)準(zhǔn)籃球、5號(hào)足球、皮球，它們與籃球圈的面積占比分別為30%、23%、10%。在“同球異圈”的實(shí)踐中，我們采用標(biāo)準(zhǔn)籃球投籃，而籃球與三種籃球圈的面積占比分別為50%、30%、10%。通過學(xué)生的分組實(shí)踐，具體結(jié)果如下。

小組A匯報(bào)：

我們小組對(duì)“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進(jìn)行投籃命中率的數(shù)據(jù)收集，8位同學(xué)每人都分別投了5次，具體命中率結(jié)果如下表：

圈3 80%60%60%60%20%60%40%60%55%同圈異球命中率匯總表同球異圈命中率匯總表學(xué)生生1生2生3生4生5生6生7生8平均籃球40%20%80%60%40%40%0%20%37.5%足球40%40%60%60%20%40%20%40%40%皮球80%40%80%80%60%40%20%60%57.5%學(xué)生生1生2生3生4生5生6生7生8平均圈1 40%20%20%0%0%40%0%20%17.5%圈2 80%20%60%60%40%40%20%20%42.5%

根據(jù)命中率計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)：無論是“同圈異球”還是“同球異圈”，命中率隨著球與籃球圈的面積占比大小而改變，占比越大命中率越低，占比越小命中率越高。

小組B匯報(bào)：

我們小組對(duì)“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進(jìn)行投籃命中率的數(shù)據(jù)收集，5位同學(xué)每人都分別投了5次，具體命中率結(jié)果如下表：

圈3 40%20%20%40%40%32%同圈異球命中率匯總表學(xué)生生1生2生3生4生5平均籃球40%20%0%20%20%20%足球40%20%20%0%20%20%皮球60%40%60%40%20%44%同球異圈命中率匯總表學(xué)生生1生2生3生4生5平均圈1 20%0%0%0%0%4%圈2 20%40%20%0%20%20%

我們的發(fā)現(xiàn)跟前面這組差不多，無論是“同圈異球”還是“同球異圈”，命中率隨著球與籃球圈的面積占比越大命中率越低，占比越小命中率越高。同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，這個(gè)規(guī)律大部分同學(xué)是這樣，但有些同學(xué)不是這樣。

小組C匯報(bào)：

關(guān)于方案第二步用“同圈異球”和“同球異圈”兩種方式進(jìn)行投籃命中率的數(shù)據(jù)收集，我們小組經(jīng)過商議，選取組內(nèi)日常投籃命中率特別高、中等、較低的3個(gè)同學(xué)作為代表來投籃，分別是表格中的生1、生2、生3。因?yàn)槔蠋熞郧罢f過，在選取樣本的時(shí)候，要具有代表性。投籃命中率在日常就差異很大，如何得到具有代表性的數(shù)據(jù)，投籃的人也要有代表性。我們小組3位同學(xué)每人都分別投了10次，具體命中率結(jié)果如下表：

圈3 90%70%70%77%同圈異球命中率匯總表學(xué)生生1生2生3平均籃球70%50%20%47%足球80%50%30%53%皮球80%70%60%70%同球異圈命中率匯總表學(xué)生生1生2生3平均圈1 20%10%0%10%圈2 70%50%20%47%

研究結(jié)論：通過表格中的數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)，在“同圈異球”中，當(dāng)占比為23%時(shí)，命中率隨之有變化，但不是很大。但當(dāng)占比為10%時(shí)，命中率明顯提升。這個(gè)現(xiàn)象在“同球異圈”的實(shí)踐中依然如此，當(dāng)占比為50%時(shí)，看似提高不多，但命中率急劇下降，但當(dāng)占比為10%時(shí)，命中率明顯提升。這個(gè)現(xiàn)象在平時(shí)水平特別高的生1身上也許不明顯，但在平時(shí)水平較低的生3身上差異顯著。以上是在我們六年級(jí)學(xué)生身上，如果放到大人身上，占比的細(xì)微變化也許命中率就會(huì)有大的變化。因此我們認(rèn)為，國(guó)際通用的籃球與籃球圈面積占比為30%具有一定的道理。

教師小結(jié)引導(dǎo)：剛才幾組匯報(bào)結(jié)論都差不多，但具體實(shí)施時(shí)還是有差異的，有的小組8個(gè)人都投了，有的5個(gè)人，有的才3個(gè)人，有的投了5個(gè)，有的投了10個(gè)。你們覺得都可以，還是哪一組比較好？

生1：我覺得都可以，因?yàn)閺倪@幾組結(jié)論看，都差不多。

生2：我覺得第3組比較好，他們雖然只選了3個(gè)人，但這3個(gè)人具有很強(qiáng)的代表性。

生3：我同意剛才同學(xué)的意見，第3組的比較好，第1組雖然樣本大，但不一定科學(xué)。第3組雖然樣本小，但比較科學(xué)。剛才我看到第2組匯報(bào)時(shí)，有時(shí)候單個(gè)同學(xué)的命中率變化并沒有符合我們的結(jié)論，甚至相反。有可能是這個(gè)同學(xué)本身投籃命中率非常不穩(wěn)定。

師：剛才幾個(gè)同學(xué)講得都很有道理。確實(shí)，在研究的時(shí)候，我們不僅要注意樣本的數(shù)量，還要注意樣本的代表性。在這次的研究中，日常投籃命中率會(huì)對(duì)我們的測(cè)量結(jié)果乃至結(jié)論產(chǎn)生很大的影響。假如某個(gè)小組，平時(shí)都不是很喜歡籃球，投籃命中率都極差，那有可能導(dǎo)致命中率全部為0，那么對(duì)結(jié)論的推導(dǎo)就失去意義了。

師（追問）：剛才我們都同意合理的樣本數(shù)和樣本代表的典型性，會(huì)使得到的數(shù)據(jù)在差異上和說服力上更強(qiáng)，同時(shí)，得到的結(jié)論也增強(qiáng)了可信度。剛才第3小組只選了3名代表，分別投了10次，是否夠了？如果不夠，我們可以怎么做？

同學(xué)們被老師這么一問，都紛紛陷入沉思，并且爭(zhēng)論開了。

生1：投10次還不夠，可以投50次。

生2：我覺得不行，1個(gè)人投太多后面命中率會(huì)越來越差。

生3：我覺得我們幾個(gè)小組都可以模仿第3小組的方式，都選3個(gè)有代表性的，都投10次，然后把各個(gè)小組的數(shù)據(jù)匯總在一起，這樣，樣本數(shù)和樣本代表性都兼顧到了。

【感悟與思考】

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)有助于知識(shí)在數(shù)學(xué)中應(yīng)用、在生活實(shí)踐中得以驗(yàn)證、得以完善，有助于學(xué)生實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力等的培養(yǎng)。但對(duì)于小學(xué)生而言，其自身儲(chǔ)備的數(shù)學(xué)知識(shí)還比較少，數(shù)學(xué)思維能力還比較弱，對(duì)像這樣比較復(fù)雜的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)本身具有畏懼情緒。因此，在日常的數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)實(shí)施后的評(píng)價(jià)中，我們不能過于關(guān)注結(jié)果正確與否，而要關(guān)注學(xué)生在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過程中的參與度、思維度。特別要關(guān)注學(xué)生在開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)時(shí)采用的方法，因?yàn)檠芯糠椒ǖ暮侠磉x擇及運(yùn)用是今后開展研究性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)能力。本項(xiàng)目學(xué)習(xí)過程中，教師非常注重研究方法的評(píng)價(jià)。比如前面方案設(shè)計(jì)時(shí)是采用工具實(shí)物測(cè)量周長(zhǎng)的方法，但有的小組采用了網(wǎng)絡(luò)檢索數(shù)據(jù)的方法，教師在討論中一方面給予肯定，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生思考實(shí)際測(cè)量和網(wǎng)絡(luò)檢索兩種方法的各自功能。在實(shí)施方案第二項(xiàng)研究中，教師在肯定前面幾組的匯報(bào)時(shí)，對(duì)考慮投籃學(xué)生樣本代表性選擇的小組進(jìn)行了重點(diǎn)點(diǎn)評(píng)和肯定。這樣更側(cè)重研究方法的評(píng)價(jià)應(yīng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的重要方向。