徐曉黎， 及春寧， 張 力， 陳威霖

（天津大學 建筑工程學院 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072）

1 引 言

圓柱結構常見于工程實例中，如海底管道等。流過圓柱的流體會引發(fā)結構振動，引起結構疲勞，降低結構壽命。

單圓柱在均勻來流中的渦激振動問題研究較多［1－3］。Williamson等［4］歸納了單圓柱渦激振動中出現(xiàn)的尾渦形態(tài)，將其分為2P，2S和P＋S三種形態(tài)。Ji等［5］應用虛擬區(qū)域法對單圓柱渦激振動進行了研究，雷諾數Re＝60～300，發(fā)現(xiàn)振動響應由初始和下端分支組成，尾流為2S形態(tài)。對并列雙圓柱尾流形態(tài)的研究也獲得了不少成果。Alam等［6］通過風洞實驗對間距比T／D＝1．0～5．0的并列方柱繞流進行了研究，發(fā)現(xiàn)了單體尾流、窄－寬尾流、過渡尾流和渦街耦合尾流共4個不同的尾流形態(tài)。Supradeepan等［7］研究了 Re＝100，T／D＝1．1～8．0時并列圓柱的尾流形態(tài)，發(fā)現(xiàn)了單體周期、非周期、調制、反相同步和同相同步形態(tài)共5種不同的尾流形態(tài)。

振動的圓柱會與周圍流體發(fā)生復雜的耦合作用，對應的流場會更復雜。Chen等［8］在Re＝100，T／D＝2．0～5．0條件下，并列雙圓柱渦激振動的數值模擬中確認了6種不同的尾流形態(tài)。Xu等［9］研究了并列雙圓柱的受迫振動，其中Re＝200，T／D＝1．2～3．2。發(fā)現(xiàn)只有振幅足夠大時，振動和脫渦才能實現(xiàn)同步。Bao等［10］研究了Re＝100，T／D＝1．2～4．0時并列雙圓柱的受迫振動，發(fā)現(xiàn)了5種不同的尾流形態(tài)。

單雙圓柱渦激振動的研究取得了很多成果［11－13］，但三圓柱的研究較少。Zhou［14］在并列三圓柱（T／D＝1．5）繞流的研究中發(fā)現(xiàn)了窄－寬－窄尾流。Harichandan等［15］發(fā)現(xiàn)雷諾數和間距比是影響并列圓柱尾流形態(tài)轉換的核心因素。Kang［16］在Re＝100條件下等間距并列三圓柱繞流中，發(fā)現(xiàn)了單渦街、偏斜、FF（Flip－Flopping）、同相同步和調制尾流共5種不同的尾流形態(tài)。Han等［17］在Re＝40～160條件下并列三圓柱繞流中發(fā)現(xiàn)了8種不同的尾流形態(tài)。

本文選取5個間距比（T／D＝2．0，2．5，3．0，4．0和5．0），對并列三圓柱的渦激振動進行數值模擬研究，深入分析振動響應的變化，根據泄渦和升力相位差等對尾流形態(tài)進行了歸納，并分析了原因。

2 數值模擬方法

2．1 流動控制方程

采用基于壓強－力迭代的浸入邊界法模擬流體運動，控制方程為

式中u為速度矢量，p為壓強標量，f為附加體積力矢量，物理上代表了流體和固體之間的相互作用力，ν為流體運動粘滯系數，t為時間， 為梯度算子。

應用時間精度為二階的Adams－Bashforth格式離散流動控制方程，得到守恒形式的控制方程為

式中h＝ ·［－uu＋ν（ u＋ uT）］，由粘性擴散項和對流項構成，T是矩陣轉置符號，附加體積力f為

式中Vn＋1為固體邊界的速度矢量，通過求解固體運動／變形方程得到，I和D分別為插值和分配函數，上標n＋1，n＋1／2，n和n－1為時間步。

由于浸入邊界法控制方程為隱式，顯式求解的精度不高。針對此情況，Ji等［18］將浸入邊界法中附加體積力的求解嵌入到壓強泊松方程的迭代求解中，提出了基于嵌入式壓強－力迭代的浸入邊界法。由于迭代過程中壓強逐漸收斂于物理解，迭代修正的附加體積力也趨于真實值，該方法具有較高精度，且不會顯著降低計算效率。該方法的具體介紹參考文獻［18］。

2．2 問題描述

并列三圓柱等間距排列，且僅能橫向振動。相關參數為，雷諾數 Re＝100；折合流速Ur＝U∞／fnD＝2．0～10．0，其中，U∞為來流速度，fn為圓柱的自然頻率，D為圓柱直徑；質量比m＊＝4m／（ρfπD2）＝2．0；計算域大小為200D（流向）和300D（橫向）；對應的阻流比為B＝3D／H＝0．01。采用正交笛卡爾網格劃分計算區(qū)域，流向和橫向的網格數為1152×1280。圓柱周圍為均勻加密網格，無量綱尺寸為Δx／D＝Δy／D＝1／64，加密區(qū)大小為4．0D×10．0D，如圖1所示。（當T／D＞3．0時，加密區(qū)增大為4．0D×14．0D）。

數值模擬的邊界條件為，左側入口為狄利克雷型邊界（u＝U∞，v＝0），右側出口為紐曼型邊界（?u／?x＝0，?v／?x＝0），上下為可滑移邊界。

圖1 計算區(qū)域大小和邊界條件Fig．1 Illustration of the computational domain size and the boundary conditions

數值模擬的時間步長滿足庫朗條件CFL＝U∞Δt／Δx≤0．5。

3 驗證算例

開展了并列三圓柱繞流數值模擬，并與其他文獻結果進行比較，以驗證本文所采用數值方法的正確性。算例中，三圓柱固定不動，其余參數與2．2節(jié)相同，表1對比了不同間距下的瀉渦頻率。發(fā)現(xiàn)由于阻流較小（本文為0．01，Kang［16］為0．03），本文的瀉渦頻率稍小于Kang［16］的結果，但兩者的最大差別小于5%，從而驗證了本文數值模擬方法的正確性。本文采用的計算程序已通過單／多圓柱繞流和單／多圓柱渦激振動的算例驗證，可參考文獻［11－13］。

4 結果與討論

4．1 渦激振動響應

圖2給出了不同間距比下圓柱響應的均方根值Yrms／D（以下簡稱振幅）。在各間距比下，圓柱振幅隨折合流速的增加均呈現(xiàn)初始和下端分支。

表1 并列等間距三圓柱繞流的斯特勞哈數對比Tab．1 Comparison of the Strouhal number of flow past three equal－spaced sideby－side cylinders

對T／D＝2．0的工況，當Ur≤2．6時，三圓柱的振幅均很?。划擴r＞2．6時，圓柱振幅急劇上升；當Ur≥3．6時，圓柱2振幅小于圓柱1和3的振幅，僅在Ur＝4．6時，三圓柱振幅較接近。由于間距比較小，三圓柱間相互作用較強，當折合流速Ur≥5．0時，兩個外側圓柱（圓柱1和3）的振幅不相等，但差別較小，這與圓柱的不穩(wěn)定振動以及偏斜的間隙流有關。此外，當Ur≥5．0時，圓柱1和3的振幅明顯大于圓柱2。

對T／D＝2．5和T／D＝3．0的工況，圓柱間距稍大，相互作用減弱，三圓柱振幅變化較為平緩，比較規(guī)律。間距比T／D＝2．5的工況下，當Ur≤2．8時，三圓柱的振幅均很小；當Ur＞2．8時，圓柱振幅急劇上升，圓柱1和3的振幅基本相等，僅在個別折合流速范圍內不相等；當Ur＞7．8時，圓柱2的振幅明顯小于兩側圓柱。在T／D＝3．0的工況下，圓柱1和3在Ur＝4．2時取得最大振幅Yrms／D＝0．392，圓柱2在Ur＝4．6時取得最大振幅Yrms／D＝0．366。其他變化特征與T／D＝2．5的工況類似。

T／D＝4．0和T／D＝5．0工況下，兩側圓柱振幅相同，略大于中間圓柱。當T／D＝4．0時，圓柱1和3在Ur＝4．2時取得最大振幅Yrms／D＝0．392，圓柱2在Ur＝4．6時得到最大振幅Yrms／D＝0．371。當T／D＝5．0時，圓柱1與圓柱3在Ur＝4．4時取得最大振幅Yrms／D＝0．390，圓柱2此時也取得最大振幅Yrms／D＝0．376。

可以看出，隨著間距比的增加，圓柱最大振幅不斷減小，兩側圓柱的振動響應也趨于相同，且與中間圓柱的振幅相差更小。大間距比工況下（T／D＝5．0），圓柱的響應更趨于單圓柱渦激振動的情況。在間距比T／D＝2．0～4．0的工況下，圓柱2在初始和下端分支交界處出現(xiàn)振幅不連續(xù)現(xiàn)象。圓柱1和3僅在間距比T／D＝2．5的工況下出現(xiàn)振幅不連續(xù)現(xiàn)象。隨著間距比的增加，振幅不連續(xù)現(xiàn)象所對應的折合流速逐漸增大，依次為Ur＝3．4，3．6～3．8和4．0。此現(xiàn)象的出現(xiàn)可能與臨近圓柱的存在改變了圓柱的附加質量有關。

4．2 振動頻率

圖3給出了圓柱1、2和3在不同Ur和T／D下振動頻率的變化。為使不同間距比的結果錯落有致，間距比為2．0，2．5，3．0，4．0和5．0的振動頻率分別以f＝0．0，0．2，0．4，0．6和0．8為零點?？梢钥闯?，圓柱1和3的振動頻率基本一致；隨著間距比的增加，圓柱2的振動頻率逐漸接近于圓柱1和3；特別地，當Ur＞7．0時，圓柱2的頻率稍大于圓柱1和3。

圖2 不同間距比下振幅（Yrms／D）隨折合流速的變化Fig．2 Root mean square value of vibration amplitude（Yrms／D）varying with Urat different spacing ratios

4．3 尾流形態(tài)

根據并列三圓柱后的尾渦，參考圓柱升力相位差等因素，將尾流分為圖4所示的6種形態(tài)。

4．3．1 窄寬窄尾流形態(tài)

圓柱間的兩個間隙流均偏向外側，在圓柱后側形成窄寬窄尾流形態(tài)。如圖4（a）所示，圓柱2后側形成寬尾流，圓柱1和3后側形成窄尾流，三圓柱后的尾渦長度相當。旋渦之間相互配對融合，在下游形成雜亂無章的尾渦。

4．3．2 不規(guī)律尾流形態(tài)

此模式下旋渦脫落比較混亂，如圖4（b）所示。在T／D＝2．0，Ur＝7．2的工況下，三個圓柱的瀉渦頻率均不相同，圓柱間升力相位差無規(guī)律變化，如圖5（a）所示。

4．3．3 反相同步尾流形態(tài)

圖3 不同折合流速Ur和間距比T／D下的振動頻率f Fig．3 Vibration frequency（f）varying with Urand T／D

三圓柱的尾渦同步脫落，圓柱1和3與圓柱2的振動反相，稱為反相同步尾流形態(tài)。以T／D＝3．0，Ur＝4．4為例，圓柱2后側尾流寬于圓柱1和3。由于瀉渦反相，且圓柱間距較大，尾流之間相互獨立，不發(fā)生融合，在圓柱后側形成3條2S渦街，如圖4（c）所示。此時，圓柱1和3升力相位差集中在0°附近，而圓柱1和2以及圓柱2和3的相位差維持在180°附近，如圖5（b）所示。該模式下的升力相位差波動很小，在T／D＝3．0時，圓柱間的相互作用減小，同步尾流形態(tài)可以穩(wěn)定存在。此時間隙流向外側兩圓柱偏斜。圓柱2與圓柱1和3升力之間的相位差并不完全反相，而是維持在165°和195°左右。當圓柱3返回到平衡位置時，圓柱2尚未達到平衡位置，圓柱3旋渦脫落早于圓柱2。由于圓柱3旋渦附近的壓強較低，吸引圓柱2旋渦向下偏移，形成向下偏斜的間隙流；圓柱1和2間的向上偏斜的間隙流成因相同。這與Chen等［8］對并列雙圓柱渦激振動中的偏斜流形態(tài)的解釋一致。

4．3．4 調制尾流形態(tài)

圓柱1和3的瀉渦頻率相同，與圓柱2的不同，圓柱2的尾流交替與圓柱1和3的尾流發(fā)生配對融合，這種尾流形態(tài)稱為調制尾流形態(tài)。該尾流形態(tài)的重要參數為調制周期Tmodulation＝1／｜f1－f2｜（其中f1和f2分別為兩圓柱的瀉渦頻率）。調制周期越大，調制作用越弱。

以T／D ＝4．0，Ur＝2．6的工況為例，如圖4（d）所示，圓柱瀉渦在近尾流形成三條平行2S渦街，但圓柱2的瀉渦與圓柱3在遠尾流配對融合。如圖5（c）所示，圓柱間的升力相位差呈現(xiàn)出明顯的調制周期，其值為Tmodulation≈166，約30個瀉渦周期。圓柱1和3升力相位差為150°～210°，圓柱1和2的相位差在一個調制周期內不斷減少，而圓柱2和3的相位差則不斷增加。當折合流速增加到Ur＝4．0時，調制周期明顯較小，Tmodulation≈84，如圖5（d）所示。

圖4 6種尾流形態(tài)Fig．4 Six wake patterns

4．3．5 同相同步尾流形態(tài)

此時三圓柱的尾渦同頻同相脫落，中間圓柱的尾渦分別與兩側圓柱的尾渦配對融合，形成對稱的尾流。如圖4（e）所示，當T／D＝2．5，Ur＝5．6時，由于受圓柱1和3瀉渦的影響，從圓柱2表面脫落的旋渦拉伸，分裂為兩個大小不等的子渦，并分別與外側圓柱的同向旋渦融合，在圓柱2后側形成一列穩(wěn)定且對稱的渦街。如圖5（e）所示，三圓柱間的升力相位差均在0°附近，說明三圓柱瀉渦是同相同步的。

4．3．6 偏斜尾流形態(tài)

此時三圓柱的尾渦同頻瀉放，但呈現(xiàn)出明顯的不對稱性，尾流穩(wěn)定地偏向一側，形成穩(wěn)定的偏斜流。以T／D ＝3．0，Ur＝5．8為例，如圖4（f）所示，此時尾流呈現(xiàn)出明顯的不對稱性。由于受圓柱1和3瀉渦的影響，從圓柱2表面脫落的旋渦拉伸，分裂為兩個大小不等的子渦，并分別與圓柱1和3的同向旋渦融合。圓柱2的尾渦明顯向上側發(fā)生偏斜，并且偏斜的方向始終保持不變。三圓柱間的升力相位差維持在－10°～－30°范圍內，如圖5（f）所示。

4．3．7 尾流形態(tài)在T／D－Ur參數空間內的分布

根據瀉渦頻率和升力相位差，給出研究范圍內的尾流形態(tài)在［T／D，Ur］內的分布，如圖6所示。

窄寬窄尾流形態(tài)僅出現(xiàn)在間距比相對較小且折合流速較小的情況，即2＜T／D≤2．25，2．0≤Ur≤2．6。對應形態(tài)下，圓柱的振幅很小，圓柱1和3的瀉渦頻率相同，但與圓柱2不同。

不規(guī)律尾流形態(tài)下，三圓柱的瀉渦頻率均不相同。該尾流形態(tài)存在于四個區(qū)域。當間距較小時，該尾流形態(tài)出現(xiàn)在較大的參數范圍；隨著間距比的增加，出現(xiàn)的參數范圍減小，集中在初始和下端分支的結合處；而在大間距比、大折合流速情況下，未出現(xiàn)該尾流形態(tài)，說明該尾流形態(tài)出現(xiàn)在圓柱間相互作用較強的工況中。

反相同步尾流形態(tài)出現(xiàn)的范圍較廣，小間距比時，對應較低折合流速2．6＜Ur≤3．2；大間距比時，對應較高折合流速4．2≤Ur≤6．2。在該模式下，三圓柱的瀉渦頻率相同，圓柱2和圓柱1或3的升力相位差維持在180°左右。

調制尾流形態(tài)所占的參數空間范圍最廣，多出現(xiàn)在大間距比和大折合流速的情況下。此時，圓柱1和3的瀉渦頻率相同，但與圓柱2不同。根據調制周期的大小，可判斷調制作用的強弱。調制周期越小，調制作用越強，出現(xiàn)渦街融合；調制周期越大，調制作用越弱，渦街不融合。

圖5 不同間距比下，圓柱升力相位差時程曲線Fig．5 Time histories of the lift phase difference at different T／D

圖6 尾流形態(tài)分布Fig．6 Distribution of the near－wake patterns

同相同步尾流形態(tài)多出現(xiàn)在中等間距比的情況下，即2．25＜T／D≤3．50，對應的折合流速范圍分為2≤Ur≤2．8和4．8≤Ur≤7．4兩個區(qū)域。此時三圓柱的瀉渦頻率相同，三圓柱間的升力相位差在0°左右。

偏斜尾流形態(tài)出現(xiàn)范圍很小，僅在2．75＜T／D≤3．50和5．4≤Ur≤6．2范圍內出現(xiàn)。此時，圓柱的振幅較大，三圓柱的瀉渦頻率相同，升力相位差在－10°～－30°范圍內。

5 結 論

本文對層流條件下等間距并列三圓柱的渦激振動進行了數值模擬，主要結論如下。隨折合流速增加，圓柱的振動響應表現(xiàn)為兩個分支，即初始分支和下端分支。隨著間距比的增加，最大均方根振幅逐漸減小。圓柱2在T／D＝2．0～4．0情況下出現(xiàn)振幅不連續(xù)現(xiàn)象，圓柱1和3僅在T／D＝2．5的情況下出現(xiàn)振幅不連續(xù)現(xiàn)象。隨著間距比的增加，振幅不連續(xù)現(xiàn)象出現(xiàn)時所對應折合流速增大。

在研究的參數范圍內共出現(xiàn)了6種尾流形態(tài)，分別為窄寬窄尾流，僅在小間距和小振幅時出現(xiàn)；不規(guī)律尾流，三圓柱的瀉渦頻率不相同；反相同步尾流，圓柱2與圓柱1和3的瀉渦反相，圓柱1和3同相，此時圓柱2的尾渦寬于圓柱1和3，近尾流形成三條2S渦街；調制尾流，圓柱1和3的瀉渦頻率相同，但與圓柱2不同，使得圓柱瀉渦發(fā)生周期調制；同相同步尾流，三圓柱尾渦同相同步瀉放，圓柱2尾渦拉伸，并分別與外側圓柱的同向旋渦融合，形成穩(wěn)定且對稱的渦街；偏斜尾流，與同相同步尾流類似，但尾流不對稱，圓柱2的尾流明顯偏向一側且偏斜的方向保持不變。