張玉元， 張?jiān)＃?張 慧， 馬 瑛

（蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州730070）

收稿日期：2017－06－09；修改稿收到日期：2017－09－18．基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51468032；51268029；51508255）資助項(xiàng)目．

作者簡介：張?jiān)＃?965－），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師（E－mail：zyh17012＠163．com）．

1 引 言

薄壁箱梁發(fā)生豎向撓曲變形時(shí)，由腹板傳遞給翼緣板的剪力流使翼緣板在遠(yuǎn)離腹板處的縱向位移滯后于靠近腹板處的縱向位移，從而使箱梁翼緣板不滿足平截面假設(shè)而發(fā)生翹曲，這就是剪力滯效應(yīng)［1，2］。在薄壁箱梁的設(shè)計(jì)和計(jì)算中，必須考慮剪力滯效應(yīng)［3－5］。對(duì)于是否考慮腹板剪切變形對(duì)混凝土箱梁豎向撓度的影響，一般是以高跨比的1／5作為分界［6］。由于實(shí)際箱梁的腹板越來越薄，隨著剪應(yīng)力的增大，腹板剪切變形產(chǎn)生的撓度也逐漸增大，其值并非傳統(tǒng)理論認(rèn)為可以忽略不計(jì)。因此有必要進(jìn)一步研究腹板剪切變形對(duì)豎向撓曲的影響。

文獻(xiàn)［7－10］應(yīng)用能量變分原理建立了箱梁剪力滯和剪切效應(yīng)分析理論，各翼板選取同一最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移；文獻(xiàn)［11，12］對(duì)各翼板選取不同的最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移，建立箱梁剪力滯和剪切效應(yīng)分析理論。從計(jì)算精度上講，各翼板選取不同最大剪切轉(zhuǎn)角差比取相同最大剪切轉(zhuǎn)角差更精確，但最大剪切轉(zhuǎn)角差物理意義不明確，不便于工程人員理解和應(yīng)用。文獻(xiàn)［1，3，5，13］采用附加撓度為廣義位移，能夠解決研究剪力滯效應(yīng)中變量物理意義不明確和不便于工程人員使用等問題。文獻(xiàn)［14］從等效剛度原則入手，分析變截面箱梁的剪力滯和剪切效應(yīng)，這種近似等效的計(jì)算方法較為粗略，不能準(zhǔn)確反映雙重效應(yīng)下箱梁的豎向撓曲變形。此外，現(xiàn)有諸多文獻(xiàn)在求解雙重效應(yīng)時(shí)將初等梁理論、剪力滯翹曲理論和剪切變形理論進(jìn)行綜合分析，既不能明確反映剪力滯效應(yīng)和剪切變形分別對(duì)箱形梁撓度的影響程度，也不便于設(shè)計(jì)人員應(yīng)用。

本文在全截面上引入剪力滯翹曲修正系數(shù)的基礎(chǔ)上，重新定義了剪力滯翹曲位移模式。應(yīng)用能量變分法建立箱梁剪力滯和剪切效應(yīng)的控制微分方程，導(dǎo)出均布荷載作用時(shí)簡支箱梁和兩跨連續(xù)箱梁的剪力滯和剪切附加撓度的解析解。結(jié)合簡支箱梁和兩跨連續(xù)箱梁算例，研究剪切變形撓度和剪力滯撓度在初等梁撓度中所占的比例及其分布規(guī)律，為實(shí)際設(shè)計(jì)提供參考。

2 分析模型

考慮箱形梁腹板的鐵摩辛柯剪切變形時(shí)［15］，箱梁在豎向?qū)ΨQ荷載作用下的縱向位移可分解為滿足平截面假定的縱向位移及剪力滯翹曲縱向位移，如圖1所示。圖1給出了箱梁彎曲變形時(shí)的剪力滯翹曲位移模式，假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于截面形心處，腹板變形服從平截面假定，上下翼板在各自的平面內(nèi)縱向翹曲，腹板與頂?shù)装褰粎R處滿足位移協(xié)調(diào)關(guān)系。η為全截面上引入的翹曲修正系數(shù)。

箱梁截面如圖2所示，箱梁在豎向任意荷載q（z）作用下發(fā)生撓曲變形，選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，則箱梁截面任一點(diǎn)處的縱向位移u（x，y，z）可表達(dá)為

圖2中，2b1，2b2和b3分別為頂板、底板和懸臂板的寬度，tu和tb分別為上下翼板的厚度，tw和θ分別為腹板的厚度和俯角，hu為形心至頂板中面的距離，hb為形心至底板中面的距離，h為頂?shù)装逯忻嬷g的距離。計(jì)算懸臂板翹曲位移時(shí)采用局部坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系原點(diǎn)移至懸臂板右側(cè)端部。根據(jù)圖1所示的各板剪力滯翹曲位移模式，定義各板的翹曲位移函數(shù)，則頂板、底板和懸臂板的剪力滯翹曲位移函數(shù)ωζ（x，y）可表達(dá)為

圖1 剪力滯翹曲位移模式Fig．1 Shear lag warping displacement mode

圖2 箱形截面Fig．2 Cross section of box girder

式中 β＝（b2·hb）／（b1·hu），α＝b3／b1。

將式（2）代入剪力滯翹曲位移表達(dá)式，即可得到頂板、底板和懸臂板的剪力滯翹曲位移：

計(jì)算腹板的剪力滯翹曲位移時(shí)，頂?shù)装迮c腹板交匯處滿足位移協(xié)調(diào)條件，則腹板的剪力滯翹曲位移可表達(dá)為

由虎克定律及幾何方程可得剪力滯翹曲應(yīng)力表達(dá)式為

將式（3，4）代入式（5）可得箱梁各個(gè)板的剪力滯翹曲應(yīng)力σ#（x，y，z）：

式（1）中，前一項(xiàng)為考慮剪切變形的初等梁縱向位移，由于此項(xiàng)位移滿足平截面假定，因而相應(yīng)的縱向應(yīng)力在面內(nèi)無法合成軸力和彎矩；后一項(xiàng)為剪力滯翹曲產(chǎn)生的縱向位移，與之對(duì)應(yīng)的翹曲應(yīng)力在面內(nèi)合成的軸力和彎矩不為0，因此引入全截面翹曲修正系數(shù)η予以修正。η通過翹曲應(yīng)力合成彎矩為0求得，即∫AyσωdA＝0，從而求得

式中 I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3＋I(xiàn)w，I1＝2tub1h，I2＝2tb·，I3＝2tub3h2u，Iw＝2tw（＋）／（3cosθ）。下標(biāo)1～3和w分別代表頂板、底板、懸臂板和腹板（下同）。

3 微分方程及撓度求解

3．1 微分方程的建立

根據(jù)彈性力學(xué)可知各個(gè)翼板的應(yīng)變能表達(dá)式為

由各板的縱向位移表達(dá)式可求得相應(yīng)的線應(yīng)變和剪切應(yīng)變，將其分別代入式（8）即可得到各板的應(yīng)變能表達(dá)式，則頂板應(yīng)變能U1為

底板應(yīng)變能U2為

懸臂板應(yīng)變能U3為

考慮剪切變形時(shí)的腹板應(yīng)變能Uw為

計(jì)算箱梁外力勢能時(shí)考慮剪力滯效應(yīng)附加撓度的影響，即

式中

對(duì)式（14）求一階變分，并令δΠ＝0，得

根據(jù)變分引理可得截面微分方程：

f＝C1＋C2z＋C3sinhkz＋C4coshkz＋f＊（2

式中 待定系數(shù)由邊界條件求解，f＊為僅與q（z）分布有關(guān)的特解。當(dāng)箱梁受均布荷載q作用時(shí)，特解可表達(dá)為

確定4個(gè)常數(shù)的邊界條件為

固定端：f＝0，f′＝0；

簡支端：f＝0，f″＝0；

自由端：f″＝0，f－k2f′＝0。

3．2 撓度的求解

如圖3所示，簡支箱梁受均布荷載q作用時(shí)，箱梁的剪力滯附加撓度可表達(dá)為

根據(jù)剪力滯附加撓度簡支邊界條件f（0）＝f″（0）＝f（l）＝f″（l）＝0，確定式（21）的4個(gè)參數(shù)，代入并整理可得剪力滯附加撓度的表達(dá)式為

聯(lián)立式（16，22）和w′（z）＝∮（z）＋β（z），根據(jù)∮的邊界條件∮′（0）＝∮′（l）＝0和撓度邊界條件w（0）＝w（l）＝0，可確定相應(yīng)表達(dá)式的待定參數(shù)，整理可得撓度w的表達(dá)式為

式中 前5項(xiàng)為初等梁撓度w0，最后一項(xiàng)為剪切變形附加撓度wd。顯然簡支箱梁均布荷載作用下的剪切變形附加撓度由跨中向兩側(cè)支點(diǎn)呈二次拋物線遞減。

如圖4（a）所示，兩跨連續(xù)梁受豎向均布荷載q作用，由于結(jié)構(gòu)和荷載具有對(duì)稱性，可取其中一跨按照單跨箱梁進(jìn)行分析，如取右跨分析時(shí)，邊跨約束如圖4（b）所示。

對(duì)于圖4（b）單跨箱梁，其剪力滯附加撓度的初參數(shù)解為式（21），式中系數(shù)C1～C4由兩端邊界條件f（0）＝f′（0）＝f（l）＝f″（l）＝0確定。代入并整理可得附加撓度表達(dá)式為

圖3 簡支箱梁受均布荷載作用Fig．3 Simply supported box girder under uniform load

圖4 兩跨連續(xù)梁按單跨梁計(jì)算簡圖Fig．4 Continuous box girder simulated as a single span

聯(lián)立式（16，24）和w′（z）＝∮（z）＋β（z），根據(jù)∮的邊界條件∮（0）＝∮′（l）＝0和撓度邊界條件w（0）＝w（l）＝0，可確定相應(yīng)式子的待定參數(shù)，整理可得撓度w的表達(dá)式為

式中

式（25）的前6項(xiàng)為初等梁撓度w0，最后一項(xiàng)為剪切變形附加撓度wd。顯然單跨梁均布荷載作用下的剪切變形附加撓度由跨中向兩側(cè)支點(diǎn)呈三次拋物線遞減。

4 算例分析

4．1 簡支梁算例

以文獻(xiàn)［11］中跨度為50m的簡支混凝土斜腹板箱梁為例，截面尺寸如圖5所示，材料彈性模量E＝3．1×104MPa，泊松比μ＝1／6。均布荷載2q＝2×1kN／m。

按照?qǐng)D3建立的坐標(biāo)系，沿z向每隔1m取一個(gè)計(jì)算截面，應(yīng)用本文導(dǎo)出的簡支箱梁剪力滯附加撓度、剪切變形附加撓度和初等梁撓度計(jì)算公式，得到計(jì)算截面的三個(gè)撓度值。利用ANSYSShell63單元建立有限元分析模型，共劃分14874個(gè)節(jié)點(diǎn)和14800個(gè)單元，計(jì)算得到計(jì)算截面的撓度值；將本文計(jì)算值與有限元數(shù)值解列入表1并進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)繪制剪切變形附加撓度和剪力滯附加撓度隨跨度的變化圖，如圖6所示。

圖5 簡支箱梁截面尺寸（單位：m）Fig．5 Cross section size of simply supported box girder（unit：m）

由表1可知，本文計(jì)算的總撓度值與ANSYS數(shù)值解吻合良好，二者誤差比在0．23%～1．84%之間。初等梁撓度、剪切變形附加撓度和剪力滯附加撓度均由跨中向兩側(cè)支點(diǎn)遞減。

從圖6可以看出，剪切變形附加撓度明顯大于剪力滯附加撓度，尤其在跨中截面，二者絕對(duì)差值最大，分別占初等梁撓度的2．50%和1．97%。

4．2 連續(xù)梁算例

圖6 簡支箱梁附加撓度隨跨度的變化Fig．6 Variation of additional deflection with span of simply supported box girder

文獻(xiàn)［16］給出了一個(gè)受均布荷載作用的兩跨連續(xù)箱梁模型，荷載簡圖如圖4（a）所示，單跨跨長l＝800mm，荷載集度q＝0．2kN／m，橫截面尺寸如圖7所示，材料彈性模量為2．8GPa，泊松比為0．37。

圖4（a）所示的兩跨連續(xù)梁，按照?qǐng)D4（b）所示建立的坐標(biāo)系，沿z向每隔0．1m取一個(gè)計(jì)算截面，應(yīng)用本文導(dǎo)出的連續(xù)箱梁剪力滯附加撓度、剪切變形附加撓度和初等梁撓度計(jì)算公式，計(jì)算得到計(jì)算截面的三個(gè)撓度值。利用ANSYS－Shell63單元建立有限元分析模型，共劃分5010個(gè)節(jié)點(diǎn)和4992個(gè)單元，計(jì)算得到計(jì)算截面的撓度值；將本文計(jì)算值與有限元數(shù)值解列入表2進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)繪制剪切變形附加撓度和剪力滯附加撓度隨跨度的變化圖，如圖8所示。

圖7 兩跨連續(xù)箱梁截面尺寸（單位：mm）Fig．7 Cross section size of two－span continuous box girder（unit：mm）

表1 簡支箱梁撓度（單位：mm）Tab．1 Deflection of simply supported box girder（unit：mm）

表2 連續(xù)箱梁撓度（單位：mm）Tab．2 Deflection of continuous box girder（unit：mm）

圖8 單跨梁附加撓度隨跨度的變化Fig．8 Variation of additional deflection with span of single span box girder

由表2可知，本文計(jì)算值與有限元數(shù)值解吻合良好，二者誤差比基本在±4%以內(nèi)。對(duì)于兩跨連續(xù)梁跨中截面，剪力滯和剪切變形附加撓度均達(dá)到最大值；距中支點(diǎn)9l／16截面的總撓度最大，原因在于此處初等梁撓度最大，且初等梁撓度在總撓度中的比例最大。

從圖8可以看出，剪切變形和剪力滯附加撓度由跨中截面向兩側(cè)支點(diǎn)遞減；距中支點(diǎn)9l／16截面處的剪切變形和剪力滯附加撓度絕對(duì)差值最大，分別占初等梁撓度的27．45%和16．87%。

5 結(jié) 論

本文在重新定義剪力滯翹曲位移模式的基礎(chǔ)上，將腹板的剪切變形納入初等梁變形，選取附加撓度為廣義位移，應(yīng)用能量變分原理建立了剪力滯和剪切效應(yīng)分析理論。通過簡支箱梁和連續(xù)箱梁算例計(jì)算表明，本文方法計(jì)算的總撓度值與有限元數(shù)值解吻合良好，從而驗(yàn)證了本文理論的正確性和合理性。本文方法具有一般性，當(dāng)剪切系數(shù)為0時(shí)，可退化為傳統(tǒng)的剪力滯效應(yīng)分析理論。

結(jié)果表明，剪切變形附加撓度明顯大于剪力滯附加撓度；對(duì)于簡支箱梁跨中截面，二者絕對(duì)差值最大，且分別占初等梁撓度的2．50%和1．97%；兩跨連續(xù)箱梁距中支點(diǎn)9l／16截面處，剪切變形和剪力滯附加撓度的絕對(duì)差值最大，兩者分別占初等梁撓度的27．45%和16．87%。