滕兆春， 朱亞文， 蒲 育

（1．蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州730050；2．蘭州工業(yè)學(xué)院 土木工程學(xué)院，蘭州730050）

1 引 言

板是土木、海洋、機(jī)械、核工業(yè)和航空航天等工程中重要的承載構(gòu)件之一，環(huán)扇形板也經(jīng)常用于某些特殊結(jié)構(gòu)中，因此對(duì)于環(huán)扇形板的力學(xué)行為，特別是環(huán)扇形板動(dòng)態(tài)特性的分析研究具有十分重要的意義。環(huán)扇形板自由振動(dòng)的核心問(wèn)題是求解其固有頻率和相應(yīng)振型。雖然有大量關(guān)于環(huán)扇形板橫向自由振動(dòng)的研究文獻(xiàn)［1－3］，但是關(guān)于其面內(nèi)自由振動(dòng)分析研究的文獻(xiàn)相對(duì)較少［4］。已有研究結(jié)果表明，面內(nèi)振動(dòng)不僅對(duì)于高頻振動(dòng)和能量傳輸起著重要作用，而且還與環(huán)境的輻射噪聲具有直接關(guān)系［5］。

近年來(lái)隨著新型材料的興起，功能梯度材料FGM（Functionally Graded Material）作為一種新型復(fù)合材料，具有減緩熱應(yīng)力、殘余應(yīng)力和應(yīng)力集中等優(yōu)異力學(xué)性能［6］，故FGM 環(huán)扇形板在核工業(yè)、船舶和航空航天等高科技領(lǐng)域具有很大的應(yīng)用價(jià)值。在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)GM環(huán)扇形板的材料屬性一般均沿板厚度方向梯度變化，但也會(huì)遇到材料屬性沿徑向變化的情況，以滿足結(jié)構(gòu)不同部位對(duì)材料性能使用的不同要求。目前，關(guān)于FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)問(wèn)題的研究在國(guó)內(nèi)外還鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。因此，本文考慮材料物性參數(shù)沿環(huán)扇形板的徑向按照冪級(jí)數(shù)形式梯度變化，用二維微分求積法DQM（Differential Quadrature Method）來(lái)研究FGM環(huán)扇形板的面內(nèi)自由振動(dòng)問(wèn)題。

2 控制微分方程的推導(dǎo)

如圖1所示，考慮單位厚度FGM環(huán)扇形板，其材料物性參數(shù)僅沿徑向變化，彈性模量為E，密度為ρ，泊松比為μ，外半徑為Ro，內(nèi)半徑為Ri，環(huán)扇形板的扇形角為φ，徑向位移分量為u，環(huán)向位移分量為v，環(huán)扇形板內(nèi)部（r＝Ri處）為完全金屬材料，外部（r＝Ro處）為完全陶瓷材料。FGM環(huán)扇形板的物性參數(shù)P（彈性模量E，密度ρ和泊松比μ）與徑向坐標(biāo)r和梯度指標(biāo)p滿足混合率公式（1）［7］，

式中Pm和Pc分別為金屬和陶瓷的物性參數(shù)。忽略

FGM環(huán)扇形板的體積力，由平面線彈性理論，在極坐標(biāo)系下考慮其幾何方程：

物理方程：

運(yùn)動(dòng)方程：

將式（2，3）代入式（4，5）得

式中 （）（1）＝d（）／dr，t為時(shí)間。對(duì)于隨時(shí)間變化的諧波振動(dòng)，F(xiàn)GM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的位移可假設(shè)為［8］

式中n為環(huán)向波數(shù)，I＝槡－1為虛數(shù)單位，ω為固有頻率。將式（8，9）假設(shè)的響應(yīng)代入式（6，7）中，通過(guò)三角函數(shù)系的正交性可得FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的控制微分方程：

3 控制微分方程的無(wú)量綱化及其DQM離散

對(duì)方程（10，11）進(jìn)行無(wú)量綱化處理，

式中 S2L＝Ec／［ρc（1－μ2c）］，β為環(huán)扇形板內(nèi)外半徑比，Ω為無(wú)量綱固有頻率。另外，F(xiàn)GM環(huán)扇形板在環(huán)向上采用M個(gè)均勻分布的節(jié)點(diǎn)，而在徑向上采用以插值基函數(shù)Lagrange多項(xiàng)式得到的節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為N。節(jié)點(diǎn)的選取形式為

式中 N×M為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。為計(jì)算方便，取N＝M。參考文獻(xiàn)［9，10］，由式（13）可求得一階權(quán)系數(shù)矩陣以及二階權(quán)系數(shù)矩陣，并將式（12）代入式（10，11）

得式中i＝2，3，…，N－1，Aij和Bij分別為徑向一階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)。

對(duì)FGM環(huán)扇形板考慮如下三種常見(jiàn)的邊界條件：

（1）四周固定（C－C－C－C）

在i＝1，N時(shí)，

在j＝1，M 時(shí)，

（2）內(nèi)外固定直邊自由（C－F－C－F）

在i＝1，N時(shí)，

在j＝1，M 時(shí)，

（3）四周自由（F－F－F－F）

在i＝1，N時(shí)，

4 面內(nèi)自由振動(dòng)的特征值問(wèn)題

方程（14，15）分別與式（16～21）邊界條件對(duì)應(yīng)聯(lián)立，可以得到不同邊界條件下FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的邊值問(wèn)題。該邊值問(wèn)題可以用分塊矩陣的形式表示［11，12］

式中

對(duì)式（22）進(jìn)行矩陣變換，消去 ｛wd｝后得FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的特征值問(wèn)題：

式中 ［S］＝ ［Sbb］－ ［Sbd］［Sdd］－1［Sdb］，［I］為（2 N－4）階 單 位 矩 陣，特 征 向 量 ｛wb｝描 述 了FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的振型。

5 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

計(jì)算中FGM 選取由金屬材料Ti－4Al－4V和陶瓷材料ZrO2復(fù)合而成，其物性參數(shù)分別為［13］，Em＝122．7GPa，μm＝0．2888，ρm＝4420kg／m3，Ec＝132．2GPa，μc＝0．3，ρc＝3657kg／m3，通過(guò)MATLAB編寫關(guān)于特征值問(wèn)題的無(wú)量綱頻率求解程序。表1～表3分別給出了節(jié)點(diǎn)數(shù)M＝N＝12，F(xiàn)GM 環(huán)扇形板在扇形角φ＝π／4，π，2π，內(nèi)外半徑比β＝0．2，0．4，環(huán)向波數(shù)n分別為1，2，3，4，梯度指標(biāo)p分別為0，1，5，∞時(shí)，C－C－C－C、C－F－C－F和F－F－F－F三種邊界條件下的前3階無(wú)量綱固有頻率?？梢钥闯?，在相同邊界條件下，當(dāng)β，p和φ一定時(shí)，無(wú)量綱固有頻率Ω隨n的增大而增大；當(dāng)β，n和φ一定時(shí)，無(wú)量綱頻率Ω隨p的增大而減小，這反映了環(huán)扇形板材料由陶瓷向金屬過(guò)渡的特點(diǎn)；當(dāng)β，n和p一定時(shí)，無(wú)量綱頻率Ω隨φ的增大而減少。表1～表3都給出了FGM環(huán)扇形板在扇形角φ＝π／4和β＝0．2時(shí)用有限元商用軟件ANSYS采用24×24個(gè)平面四邊形單元計(jì)算的固有頻率數(shù)值結(jié)果，與本文方法計(jì)算結(jié)果吻合良好，且取較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)就能滿足精度所需，工作量較小，說(shuō)明了DQM對(duì)于研究本問(wèn)題的適用性與優(yōu)越性。

圖2分別為FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)在C－C－C－C，C－F－C－F和 F－F－F－F三種不同邊界條件下，前3階無(wú)量綱固有頻率Ω隨梯度指標(biāo)p的變化關(guān)系曲線，其中參數(shù)p＝［0，100］，M＝N＝12，n＝1，β＝0．2，φ＝π／2?？梢钥闯?，當(dāng)p小于10時(shí)，Ω隨p的增大而減小；當(dāng)p大于10時(shí)，Ω隨p的增大而緩慢減小且趨于不變。這同樣反映了環(huán)扇形板材料由陶瓷向金屬過(guò)渡的特點(diǎn)。

圖3分別為 C－C－C－C，C－F－C－F和 F－F－F－F三種邊界條件下，F(xiàn)GM環(huán)扇形板在不同環(huán)向波數(shù)時(shí)第1階無(wú)量綱固有頻率Ω隨梯度指標(biāo)p變化的關(guān)系曲線，其中參數(shù)M＝N＝12，β＝0．2，φ＝π／2。可以看出，當(dāng)n，φ和β一定時(shí)，第1階無(wú)量綱固有頻率Ω均隨著梯度指標(biāo)p的增大而減小，且逐漸趨于常數(shù)。當(dāng)p，φ和β一定時(shí)，第1階無(wú)量綱固有頻率Ω隨著環(huán)向波數(shù)n的增大而增大。

圖4分別給出了FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)在C－C－C－C，C－F－C－F和 F－F－F－F三種不同邊界條件下，第1階無(wú)量綱固有頻率Ω隨參數(shù)β的變化關(guān)系曲線，其中參數(shù)β＝［0．1，0．6］，M＝N ＝12，n＝1和φ＝π／2?？梢钥闯?，當(dāng)p一定時(shí)，第1階無(wú)量綱固有頻率Ω隨內(nèi)外半徑比β的增大而單調(diào)增加；當(dāng)β一定時(shí)，第1階無(wú)量綱固有頻率Ω隨p的增大而減小，減小程度由明顯趨于緩慢，當(dāng)p足夠大，Ω趨于常數(shù)。β＝0時(shí)，F(xiàn)GM環(huán)扇形板的面內(nèi)自由振動(dòng)退化為FGM扇形板的面內(nèi)自由振動(dòng)?？梢?jiàn)本文的分析方法也可以用于求解FGM或均勻材料環(huán)扇形板以及扇形板等薄板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)問(wèn)題。

表1 FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的無(wú)量綱頻率Ω（C－C－C－C，M＝N＝12）Tab．1 Dimensionless natural frequenciesΩof in－plane vibration for FGM annular sector plates（C－C－C－C，M＝N＝12）

表2 FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的無(wú)量綱頻率Ω（C－F－C－F，M＝N＝12）Tab．2 Dimensionless natural frequenciesΩof in－plane vibration for FGM annular sector plates（C－F－C－F，M＝N＝12）

表3 FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的無(wú)量綱頻率Ω（F－F－F－F，M＝N＝12）Tab．3 Dimensionless natural frequenciesΩof in－plane vibration for FGM annular sector plates（F－F－F－F，M＝N＝12）

圖2 FGM環(huán)扇形板的梯度指標(biāo)與前3階無(wú)量綱固有頻率之間的關(guān)系曲線（n＝1，β＝0．2，φ＝π／2）Fig．2 Grade index vs dimensionless natural frequencies of FGM annular sector plates（n＝1，β＝0．2，φ＝π／2）

圖3 不同環(huán)向波數(shù)下FGM環(huán)扇形板梯度指標(biāo)與第1階無(wú)量綱頻率之間的關(guān)系曲線（β＝0．2，φ＝π／2）Fig．3 Grade index vs dimensionless natural frequencies of FGM annular sector plates with different circumferential wave number（β＝0．2，φ＝π／2）

圖4 不同梯度指標(biāo)下FGM環(huán)扇形板內(nèi)外半徑比與第1階無(wú)量綱頻率之間的關(guān)系曲線（n＝1，φ＝π／2）Fig．4 Internal and external radius ratio vs dimensionless natural frequencies of FGM annular sector plates with different grade index（n＝1，φ＝π／2）

6 結(jié) 論

基于平面線彈性理論，推導(dǎo)得到FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)控制微分方程，并進(jìn)行無(wú)量綱化，用二維DQM將運(yùn)動(dòng)控制微分方程及其邊界條件在FGM環(huán)扇形板的環(huán)向和徑向離散，數(shù)值求解得到FGM環(huán)扇形板面內(nèi)自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率。扇形角為!／4時(shí)的部分計(jì)算結(jié)果同有限元商用軟件ANSYS的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果一致，說(shuō)明分析方法有效。最后考察了不同邊界條件下FGM環(huán)扇形板的材料梯度指標(biāo)、內(nèi)外半徑比以及扇形角對(duì)于無(wú)量綱固有頻率的影響。得到以下主要結(jié)論。

（1）隨著DQM的節(jié)點(diǎn)數(shù)的增大，計(jì)算結(jié)果很快收斂，而且數(shù)值穩(wěn)定性較好。

（2）在改變材料梯度指標(biāo)p時(shí)，F(xiàn)GM環(huán)扇形板的無(wú)量綱固有頻率Ω隨著梯度指標(biāo)p的無(wú)限增大而趨于常數(shù)。

（3）在改變FGM環(huán)扇形板的內(nèi)外半徑比β時(shí)，環(huán)扇形板的無(wú)量綱固有頻率Ω隨著內(nèi)外半徑比β的增大而增大。

（4）在改變FGM環(huán)扇形板的圓心角度φ時(shí)，環(huán)扇形板的各階無(wú)量綱固有頻率Ω隨著扇形角φ的增大而減小。

（5）本文方法可以對(duì)任意扇形角的FGM環(huán)扇形板進(jìn)行面內(nèi)振動(dòng)的無(wú)量綱頻率進(jìn)行求解，也可以用來(lái)求解FGM或均勻材料扇形板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)問(wèn)題。