江蘇省如皋市第一中學(xué) 鄒小鋒

隨著新課程改革的深入推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不再是單一的“知識(shí)點(diǎn)”教育，而是轉(zhuǎn)向了“過程教育”，即強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程中學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生、完善過程的參與與感悟，重視對(duì)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)涵的體驗(yàn)式理解，關(guān)注的是數(shù)學(xué)學(xué)科基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)生與發(fā)展。在這樣的背景下，學(xué)業(yè)測(cè)評(píng)作為日常教學(xué)的“風(fēng)向標(biāo)”，是否真正發(fā)揮了試題的導(dǎo)向作用，引領(lǐng)并促進(jìn)學(xué)生“四基”的發(fā)展呢？本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)為例，探討“f（x）=|[ ]-[ ]|函數(shù)最值問題”的專題教學(xué)中關(guān)于“過程性”教學(xué)的應(yīng)用與實(shí)踐。

一、復(fù)習(xí)回顧，強(qiáng)化概念

在高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容體系中，函數(shù)是一個(gè)重要內(nèi)容，連接了許多其他的知識(shí)板塊，也提供了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。在高考中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值與函數(shù)相結(jié)合的考題。在專題教學(xué)開始前，教師需要與學(xué)生一起回顧絕對(duì)值的概念，即非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值為該數(shù)本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值為其相反數(shù)，因此任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都為非負(fù)數(shù)。從幾何表達(dá)層面來說，將數(shù)字放置于數(shù)軸上，那么絕對(duì)值表示的是一個(gè)數(shù)距原點(diǎn)的距離。因此，對(duì)于該專題的教學(xué)可以從“距離”這一視角展開，通過“絕對(duì)值是什么”“有什么幾何特征”等課前提問，學(xué)生能夠?qū)^對(duì)值的概念與性質(zhì)進(jìn)行回顧。

二、自主探究，把握本質(zhì)

【案例展示】已知函數(shù)f（x）=|x-1|，定義域?yàn)閇-1,1]，試求解該函數(shù)的最大值。

這是本次教學(xué)的基礎(chǔ)式，通過簡(jiǎn)單的練習(xí)激發(fā)學(xué)生對(duì)絕對(duì)值幾何意義的認(rèn)識(shí)與理解，為本次專題教學(xué)做好鋪墊。

【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f（x）=|x-b|，x的取值范圍為[-1,1]，b為實(shí)數(shù)。假設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g(b)，試求解b變化時(shí)，g(b)的最小值。

教師：同學(xué)們，題目中的“|x-b|”代表什么含義？

學(xué)生：在數(shù)軸上x與b兩點(diǎn)之間的距離。

教師：如果b發(fā)生變化，f（x）的最大值就會(huì)發(fā)生變化，也就是函數(shù)g(b)的值會(huì)變化。同學(xué)們觀察一下，當(dāng)b取值為多少時(shí)，g(b)的值最??？最小值又是多少？

學(xué)生：當(dāng)b=0時(shí)，g(b)取得最小值，最小值為1。

教師：如何在圖像上反映呢？

學(xué)生甲：建立平面直角坐標(biāo)系，繪制直線y=x，x的取值范圍為[-1,1]，同時(shí)繪制直線y=b。在直線y=x上任取一點(diǎn)A，作x軸的垂線并延長(zhǎng)，與直線y=b形成一個(gè)交點(diǎn)B，線段AB的長(zhǎng)就是這個(gè)距離。

教師：很好，我們可以假設(shè)有這樣一條豎直直線，沿x軸水平移動(dòng)，會(huì)和兩條已知直線分別產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，我們看兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離就可以?，F(xiàn)在哪位同學(xué)來回答一下，當(dāng)b的值發(fā)生變化時(shí)，直線y=b是沿著y軸上下移動(dòng)的，那么當(dāng)b的取值為多少時(shí)，g(b)的值最?。?/p>

學(xué)生乙：從圖像上可以看出，b=0，g(b)的取值最小，為1。

教師：看到絕對(duì)值，很多同學(xué)的第一反應(yīng)就是去絕對(duì)值符號(hào)，這樣避免不了要分類討論，解題過程就會(huì)復(fù)雜很多。而像這樣，結(jié)合絕對(duì)值所表示的內(nèi)涵，將其化為距離，通過繪制示意圖，我們一下子就能發(fā)現(xiàn)答案，而不用將函數(shù)的表達(dá)式求解出來，是一種快速的解題方法。

三、實(shí)踐運(yùn)用，感悟思想

通過以上講解，學(xué)生對(duì)于帶絕對(duì)值的函數(shù)最值問題有了一定的認(rèn)識(shí)，除了分類討論，大家又掌握了一種整體解決這類問題的方法。教師可以布置一道課后訓(xùn)練題，讓學(xué)生動(dòng)手求解，加深記憶：

四、隨堂小結(jié)，把握本質(zhì)

這一專題討論的問題是帶有絕對(duì)值的函數(shù)最值問題，目的是為了提升學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)測(cè)試背景下的“過程性”思維方式，引導(dǎo)學(xué)生用整體的方法來解決這類問題，緊緊抓住“距離”這一概念。

數(shù)學(xué)問題的形式多樣，但是，萬變不離其宗，題目再怎么變，都不會(huì)脫離考綱規(guī)定的思維方式與解決方法。在課程教學(xué)環(huán)節(jié)，教師要回歸知識(shí)點(diǎn)最本質(zhì)的內(nèi)容，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)點(diǎn)的引出、發(fā)展以及得出結(jié)論的完整過程，最終形成完整的邏輯思維，做到以不變應(yīng)萬變。在每個(gè)問題提出后，教師要保證學(xué)生擁有充足的思考時(shí)間，不盲目地趕教學(xué)進(jìn)度。在課程學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師要及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)，對(duì)整節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行回顧，提煉重點(diǎn)。

五、教學(xué)反思

這堂課選取的案例的解題方法有很多，可以利用絕對(duì)值的定義進(jìn)行求解，還可以進(jìn)行分類討論，或者是利用絕對(duì)值的幾何意義，采取數(shù)形結(jié)合的解題方法，也就是本專題學(xué)習(xí)的“距離”法。筆者認(rèn)為，課堂教學(xué)實(shí)踐只有四十五分鐘，如果把所有數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想一下子灌輸給學(xué)生，學(xué)生肯定是無法接受的，既浪費(fèi)了教學(xué)時(shí)間，又取得不了應(yīng)有的教學(xué)效果。正因如此，課程教學(xué)的目標(biāo)要緊緊圍繞學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，提前預(yù)估教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況。這其中，課程內(nèi)容量是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的有效抓手，服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，因此，關(guān)于方法的教學(xué)必須與教學(xué)目標(biāo)相結(jié)合，切忌不分主次，盲目灌輸。

就本專題的教學(xué)而言，教學(xué)目標(biāo)就是構(gòu)建關(guān)于絕對(duì)值的“距離”模型，進(jìn)而有效解決“絕對(duì)值函數(shù)最值”這一數(shù)學(xué)問題。教學(xué)目標(biāo)看似簡(jiǎn)單，但是對(duì)學(xué)生而言卻是一種新的解決問題的視角，整合了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法。