李 蒙

（渭南師范學(xué)院，陜西 渭南 714000）

一、Markowitz均值-方差模型

投資組合是研究如何配置各種不同的金融資產(chǎn)，實現(xiàn)資產(chǎn)組合的最佳投資配置。1952年Markowitz提出均值-方差模型，這一模型旨在尋找一個具有較高收益和較低風(fēng)險的最佳投資組合方法，之后人們根據(jù)市場信息和投資者的行為，對該模型進(jìn)行了各種改進(jìn)。

現(xiàn)在我們的目的不在于研究模型的有效性與精準(zhǔn)性，而在于將最優(yōu)化理論中所學(xué)的優(yōu)化方法運用于實際問題，通過實際編程計算來理解體會各種算法的優(yōu)缺點和算法的有效性。所以在此我們選擇最基本的均值-方差模型，即M-V模型。

M-V模型

在Markowitz的投資組合理論中，用資產(chǎn)收益率的平均值作為資產(chǎn)的期望收益率度量指標(biāo)，用資產(chǎn)收益率的方差作為投資組合的風(fēng)險度量指標(biāo)。Markowitz均值-方差模型是經(jīng)典的帶約束二次優(yōu)化問題，在給定期望收益時，方差最小解唯一（可行解域為凸）。

二、求解算法

（一）二次規(guī)劃問題（Quadratic Programming,QP）

帶不等式約束的二次規(guī)劃問題，即

其中H,A,Aeq是矩陣，且H為n階對稱矩陣，f,b,beq,lb,ub,x是列向量。當(dāng)H是半正定矩陣，（2）為凸二次規(guī)劃，否則為非凸規(guī)劃。對于凸二次規(guī)劃，目標(biāo)函數(shù)q(x)是一個凸函數(shù)。若有至少一個向量x滿足約束條件且q(x)在可行域有下界，二次規(guī)劃問題就有全局最小解。當(dāng)H是正定矩陣，（2）為嚴(yán)格凸二次規(guī)劃，此時全局最優(yōu)解若存在，則其必唯一。上述二次規(guī)劃問題通過matlab中的quadprog函數(shù)即可求解，即

（二）遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm,GA）是模擬生物界自然選擇和群體“適者生存”、“優(yōu)勝劣汰”的進(jìn)化機制形成的一種全局尋優(yōu)算法。將每個可能的問題解表示成“染色體”，從而得到一個由染色體組成的“群體”，這個群體被限制在問題特定的環(huán)境里，根據(jù)預(yù)定的目標(biāo)函數(shù)對每個個體進(jìn)行評價，得到個體適應(yīng)度值。對生存環(huán)境適應(yīng)度更高的個體往往具有較高的生存概率。開始時總是隨機的產(chǎn)生一些個體，即候選解，利用遺傳算法對這些個體按“適者生存”的原則進(jìn)行交叉組合產(chǎn)生后代，后代由于繼承了父代的一些優(yōu)良形狀，因而明顯優(yōu)于上一代，這樣“染色體”的群體將逐步朝著更優(yōu)解的方向進(jìn)化。再結(jié)合物種進(jìn)化過程中的基因突變等遺傳操作，就可能產(chǎn)生更適應(yīng)環(huán)境的后代。

遺傳算法主要由染色體編碼、初始種群設(shè)定、適應(yīng)度函數(shù)設(shè)定、遺傳操作（交叉、變異）設(shè)計等幾大部分所組成。編碼是指把實際問題的解結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槿旧w結(jié)構(gòu)。常用的編碼方法有：二進(jìn)制編碼、浮點數(shù)編碼、符號編碼等。選擇是指按照選擇概率和各個染色體的適應(yīng)度值，從當(dāng)前種群中選出若干個適應(yīng)度更高的個體。適應(yīng)度決定了個體的生存能力，通常采用輪盤賭選擇或錦標(biāo)賽選擇。交叉是指按照交叉概率和交叉策略把兩個染色體的部分基因進(jìn)行交配重組，產(chǎn)生新的個體。交叉策略一般有單點交叉和多點交叉。變異是指按照變異概率和變異策略對染色體中的某些基因進(jìn)行變異，這是遺傳算法產(chǎn)生新個體的另一種方法。例如，二進(jìn)制編碼方式下，傳統(tǒng)的變異操作只是簡單地將基因的二進(jìn)制取反，即將“0”變?yōu)椤?”、“1”變?yōu)椤?”。

（三）引理

在選擇算子前或選擇算子后保留最優(yōu)解的遺傳算法，能以概率1收斂到全局最優(yōu)解。

圖1 遺傳算法流程圖

遺傳算法的執(zhí)行步驟：

1.選擇編碼策略（二進(jìn)制編碼），將問題搜索空間中每個可能的點用相應(yīng)的編碼策略表示出來，即形成染色體；

2.定義遺傳策略，包括種群規(guī)模N，交叉、變異方法，以及選擇概率Pr、交叉概率Pc、變異概率Pm等遺傳參數(shù)；

3.令迭代次數(shù)t=0，隨機選擇染色體初始化種群P(O)，定義適應(yīng)度函數(shù) f(f＞ 0)；

4.計算每個染色體的適應(yīng)度值；

5.通過選擇運算實現(xiàn)“適者生存”過程，選出較優(yōu)個體群；

6.對所選出的較優(yōu)染色體按概率pc進(jìn)行交叉運算（單點交叉）；

7.對染色體中的基因，以概率Pm參與變異運算（依變異概率Pm指定變異點，對變異點進(jìn)行取反運算），得到新一代種群P(t+1)；

8.判斷群體性能是否滿足預(yù)設(shè)定的終止標(biāo)準(zhǔn)，若不滿足，則返回（4）。

（三）數(shù)值實驗

我們選取的是滬深300指數(shù)中的十個成分股（蘇寧電器、上港集團、寶鋼股份、中國石化、中信證券、招商銀行、中國聯(lián)通、上海汽車、貴州茅臺、中國平安）從2009年1月5日至2009年6月4日100個交易日的收盤價（單位：元），數(shù)據(jù)來源于新浪財經(jīng)數(shù)據(jù)中心（附錄中表4）。

因為我們所有的數(shù)據(jù)是各股票的歷史收盤價，而實際中我們需要用到各股票的收益率（算術(shù)收益率），協(xié)方差等，所以先進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，得到以下結(jié)果。

表1 股票的收益率均值

表2 股票的方差-協(xié)方差矩陣

對Markowitz均值-方差模型進(jìn)行參數(shù)設(shè)定：r為表2中的收益率均值組成的向量，V為表3中的方差-協(xié)方差矩陣。N=10，即投資組合中共考慮十個金融資產(chǎn)。μ=0.0075，即考慮期望收益為0.0075。L=ones(1,10)，即一行十列的全一矩陣。U=zeros(1,10)，即一行十列的全零矩陣。

通過二次規(guī)劃算法、遺傳算法matlab編程求解、遺傳算法工具箱三種方法分別對上述Markowitz均值-方差模型進(jìn)行求解，并對比分析求解結(jié)果。

表3 投資組合優(yōu)化模型3種方法計算結(jié)果

圖2 遺傳算法工具箱求解界面

圖3 遺傳算法迭代過程函數(shù)

四、三種算法結(jié)果的比較

二次規(guī)劃算法（QP）收斂速度較快，且其收斂速度與初值選取有關(guān)，投資分散性不是很好。遺傳算法在全局搜索方面性能優(yōu)異，但局部搜索能力不足，使得后期收斂速度較慢，其投資分散性較QP好一些。因此，遺傳算法對于金融投資組合問題的求解更加快捷、簡便、有效，但是鑒于實際中，我們模型中的值并不大，所以該問題的復(fù)雜度也大大降低，遺傳算法和二次規(guī)劃算法對于該問題的有效性并沒有太大區(qū)別。所以，當(dāng)考慮投資的股票范圍不大時，二次規(guī)劃算法和遺傳算法均能提供有效的投資組合建議。