■河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 田 景

數(shù)列求和是歷年高考的熱點(diǎn),也是數(shù)列章節(jié)的重點(diǎn),具有靈活多變、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)。下面結(jié)合一些高考真題和常見題目,對(duì)數(shù)列求和的常用方法進(jìn)行匯總整理,供同學(xué)們參考。

1.公式法

若題目中已明確知道數(shù)列的類型,或經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)是等差數(shù)列或等比數(shù)列,我們可以直接用公式法求其前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的求和公式中需要討論公比是否為1。

例1 （2017·北京）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）求和:b1+b3+b5+…+b2n-1。

解析：（1）易得an=2n-1,過程略。

（2）設(shè)公差為d,由（1）知a5=a1+4d=9,等比數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2b4=9,可得b3=3（-3舍去）,則{b2n-1}是以b1=1為首為公比的等比數(shù)列,所以b1+b3+

2.錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)用到的一種方法,主要用來(lái)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列。求和時(shí),將已知和式乘以等比數(shù)列{bn}的公比,然后再將所得和式與原和式錯(cuò)位相減,轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列進(jìn)行求和。使用時(shí)要注意:（1）要考慮公比為1的特殊情況;（2）錯(cuò)位相減時(shí)勿遺漏末項(xiàng);（3）相減后,Sn前的系數(shù)不要忘記除掉;（4）算出結(jié)果后最好代入n=1,2進(jìn)行檢驗(yàn)。

例2 （2017·山東）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）{bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn。

解析：（1）記正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1+a2=6,a1a2=a3,所以（1+q）a1=6,q=a1q2。解得q=0（舍去）,或a1=q=2,所以an=2n。

3.并項(xiàng)求和法

若一個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是定值或者有一定的規(guī)律,我們可以把這兩項(xiàng)或者幾項(xiàng)合并成一項(xiàng),然后形成一個(gè)新的數(shù)列,再對(duì)新的數(shù)列進(jìn)行求和,這種方法叫并項(xiàng)求和法。并項(xiàng)是利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則的和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則的和”,化繁為簡(jiǎn)。

例3 （2016·天津）已知數(shù)列{an}滿足an=2n-1,若對(duì)任意的n∈N+,bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng),求數(shù)列}的前2n項(xiàng)和。

解析：因?yàn)閎n是log2an和log2an+1的

4.裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或者幾項(xiàng)的差,在求和過程中相互抵消,最后只留下有限項(xiàng)的和,此種方法的難點(diǎn)在于通項(xiàng)的拆分。常見的拆項(xiàng)公式有:

5.倒序相加法

這個(gè)方法是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)常用的方法,適用于與首末兩項(xiàng)等“距離”兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)或者有一定的規(guī)律的數(shù)列。具體操作:將這個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列,然后再和原來(lái)的數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加,即第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)相加,第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)相加…,可以得到n項(xiàng)的和,這n項(xiàng)之間有規(guī)律可循,即可求和。

數(shù)列的求和方法千變?nèi)f化,同學(xué)們要想能很好地解決此類問題,掌握本文總結(jié)的幾種基本方法是關(guān)鍵。當(dāng)然這里只是簡(jiǎn)單地講述了一些高中階段常見的基本類型,同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)可以根據(jù)題目的具體特征選擇合適的方法轉(zhuǎn)化為這幾種簡(jiǎn)單的形式求解。希望本文對(duì)同學(xué)們掌握數(shù)列求和有所幫助。