孫偉 汪博

摘 要 提出一種面向有限元課程的創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法體系，可將理論與應(yīng)用教學(xué)有效結(jié)合。該方法體系包含有限元理論、軟件應(yīng)用、項(xiàng)目式任務(wù)、多元考核等教學(xué)環(huán)節(jié)。實(shí)踐表明，通過(guò)實(shí)施本教學(xué)方法，可使學(xué)生在理解有限元基本理論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用有限元軟件解決工程實(shí)際問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 有限元；實(shí)踐教學(xué)；教學(xué)方法；機(jī)械工程；ANSYS

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2018）08-0129-03

Research on Method of Innovative Practical Teaching of Finite Element Course//SUN Wei， WANG Bo

Abstract To effectively combine the theoretical and application tea-

ching for finite element course， a method system of innovative prac-tical teaching was proposed in this paper， which involves FE theory， software application， project-based assignments， and diversified assessments and so on. Practice shows that using the new method system students can not only understand FE theory， but can also solve

the practical engineering problems by using finite element software.

Key words finite element； practical teaching； teaching method； me-chanical engineering； ANSYS

1 引言

有限單元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是由力學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合而逐步發(fā)展起來(lái)的一種進(jìn)行工程分析的強(qiáng)有力的數(shù)值計(jì)算方法[1]。由于存在大量的商業(yè)化有限元軟件，諸如ANSYS、NASTRAN、ABAQUS等，促使有限元技術(shù)獲得最為廣泛的應(yīng)用，如在機(jī)械、土木、電子、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域均能夠發(fā)現(xiàn)用有限元解決實(shí)際問(wèn)題的成功案例。在機(jī)械工程領(lǐng)域，利用有限元對(duì)機(jī)械產(chǎn)品進(jìn)行靜、動(dòng)力學(xué)考核與性能預(yù)測(cè)，現(xiàn)已成為在產(chǎn)品研發(fā)過(guò)程中必須經(jīng)歷的一個(gè)重要環(huán)節(jié)?？梢?jiàn)，機(jī)械工程的本科生或者研究生掌握并能應(yīng)用有限元技術(shù)，已成為適應(yīng)本職工作的一項(xiàng)基本技能。

在當(dāng)前面向工科學(xué)生的有限元教學(xué)中，在教學(xué)方法上往往趨向于兩個(gè)極端：一種方法是高度重視有限元理論（可命名為理論教學(xué)），教師用大量的課時(shí)來(lái)講授單元?jiǎng)偠鹊男纬?、單元組集、邊界條件的引入、載荷移置、求解的收斂性等知識(shí)點(diǎn)；而另一種方法則重點(diǎn)關(guān)注如何操作有限元軟件（可命名為純應(yīng)用教學(xué)），教師通常在課堂上重點(diǎn)講解工程有限元軟件如何操作，如實(shí)體建模、單元設(shè)置、有限元分網(wǎng)、加約束、求解、后處理等。

筆者認(rèn)為這兩種教學(xué)方法均存在弊端：純理論教學(xué)會(huì)使學(xué)生覺(jué)得有限元學(xué)習(xí)較為枯燥，且經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“學(xué)完有限元理論后，學(xué)生面向?qū)嶋H問(wèn)題卻不知從何下手”的尷尬；而純應(yīng)用教學(xué)弊端則更為明顯，學(xué)生會(huì)遇到求解流程錯(cuò)誤、無(wú)法判斷有限元結(jié)果的正確性等問(wèn)題。可見(jiàn)必須研發(fā)出一種恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式，其能同時(shí)兼顧有限元的基本理論以及軟件應(yīng)用，能使學(xué)生在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)快速掌握用有限元法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

長(zhǎng)期以來(lái)，針對(duì)諸如有限元這類(lèi)基本技能課程，教學(xué)工作者不斷研發(fā)出新的教學(xué)方法以滿(mǎn)足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。例如：Tang， et al[2]在CAD/CAE應(yīng)用課程教學(xué)中，提出一種通過(guò)在課堂上組建小組來(lái)開(kāi)展研討的教學(xué)模式；Zhuge和Mills[3]提出將基于項(xiàng)目的教學(xué)應(yīng)用在有限元教學(xué)中；Jiang和Wang[4]為了使學(xué)生更好地理解利用有限元法分析結(jié)構(gòu)的塑性變形，提出用Mathematica來(lái)輔助教學(xué)；Connell， et al[5]強(qiáng)調(diào)學(xué)生利用軟件，包括Maple和商業(yè)化的有限元程序來(lái)學(xué)習(xí)有限元技術(shù)。這些研究都可作為實(shí)際有限元教學(xué)的參考。

不同于前面的敘述，面向有限元教學(xué)，本文提出一種創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法。在該方法框架內(nèi)，學(xué)生可在了解有限元分析原理的基礎(chǔ)上，分層次學(xué)習(xí)并掌握利用工程有限元軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面將對(duì)該教學(xué)方法進(jìn)行詳細(xì)介紹。

2 創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法的實(shí)施框架

所提出的創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法體系包含四部分內(nèi)容，即有限元理論、軟件應(yīng)用、項(xiàng)目式的任務(wù)、多元考核等。這四部分內(nèi)容將貫穿于整個(gè)有限元教學(xué)過(guò)程中，每部分所占的份額為有限元理論15%、軟件應(yīng)用20%、項(xiàng)目式的任務(wù)60%、多元考核5%。

此外，在整個(gè)有限元教學(xué)中學(xué)生的實(shí)踐將貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，因而這樣的教學(xué)是以小班授課為主（30人以?xún)?nèi)），要求為每名學(xué)生配備一個(gè)裝有Matlab和工程有限元分析軟件（這里是ANSYS）的計(jì)算機(jī)，因而需要準(zhǔn)備一個(gè)專(zhuān)用教室。每部分內(nèi)容具體如下。

理論教學(xué) 理論教學(xué)是指向?qū)W生講授用有限元法對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析的基本原理，會(huì)涉及大量的理論推導(dǎo)。理論教學(xué)有兩個(gè)目標(biāo)：

1）讓學(xué)生理解用常見(jiàn)工程軟件實(shí)施有限元分析的基本理論基礎(chǔ)，使工程軟件不再“黑箱化”；

2）使高水平學(xué)生能夠掌握有限元編程技巧，具有獨(dú)立開(kāi)發(fā)有限元程序的能力（這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)橛写罅康墓こ虇?wèn)題目前的工程有限元軟件還無(wú)法解決）。

建議理論教學(xué)內(nèi)容包括：?jiǎn)卧治觯▎卧獎(jiǎng)偠燃百|(zhì)量矩陣的生成）；載荷移置（利用形函數(shù)、靜力等效將載荷移到節(jié)點(diǎn)上）、單元組集（直接組集、轉(zhuǎn)換矩陣法等）；邊界條件的引入（力及位移邊界的引入方法）；求解方法（靜力學(xué)、模態(tài)分析、諧響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)等）。同時(shí)，在理論教學(xué)中也要注重教學(xué)方法，力爭(zhēng)使學(xué)生滿(mǎn)懷興致地完成相關(guān)有限元理論的學(xué)習(xí)，可考慮的教學(xué)方法包括：

1）案例式教學(xué)，即在整個(gè)教學(xué)中配以豐富的案例，學(xué)生可借助于MATLAB軟件自編有限元程序來(lái)理解有限元求解的基本原理，最終可實(shí)現(xiàn)自學(xué)；

2）基于問(wèn)題的教學(xué)，即預(yù)設(shè)一些具有啟發(fā)性的問(wèn)題，使學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)，最終掌握相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。

軟件應(yīng)用 軟件應(yīng)用是指向?qū)W生講授如何利用工程有限元分析軟件（這里主要指ANSYS）分析典型機(jī)械結(jié)構(gòu)在靜載荷及動(dòng)載荷作用下的應(yīng)力及變形情況。在軟件應(yīng)用環(huán)節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生熟練操作工程有限元軟件，能針對(duì)一個(gè)具體的機(jī)械結(jié)構(gòu)建立起有限元分析的基本思路，能對(duì)獲得結(jié)果的合理性進(jìn)行較為準(zhǔn)確的評(píng)判。建議在軟件應(yīng)用環(huán)節(jié)講授的內(nèi)容包括ANSYS軟件介紹、利用ANSYS的分析流程、單元選擇及設(shè)置方法、機(jī)械結(jié)構(gòu)幾何建模方法、機(jī)械結(jié)構(gòu)分網(wǎng)方法、外載荷及邊界條件的施加方法、求解的類(lèi)型及相關(guān)參數(shù)設(shè)置、后處理的技巧等。在軟件應(yīng)用教學(xué)環(huán)節(jié)最主要的是讓學(xué)生有實(shí)踐的機(jī)會(huì)，為此必須創(chuàng)建適用于軟件教學(xué)的專(zhuān)用教室，包括增設(shè)多媒體設(shè)備、創(chuàng)建局域網(wǎng)，授課時(shí)必須保證學(xué)生面前有一臺(tái)隨時(shí)可以實(shí)踐的裝有ANSYS的電腦。

另外，相對(duì)于理論教學(xué)，軟件應(yīng)用教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)更加注重引導(dǎo)及案例教學(xué)，需要用實(shí)例來(lái)講解軟件的應(yīng)用方法，提供的實(shí)例可包括單件分析、組合件分析、部件分析、整機(jī)分析。分析的內(nèi)容含靜力學(xué)、模態(tài)分析、諧響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)等。學(xué)生通過(guò)實(shí)際的實(shí)踐會(huì)掌握應(yīng)用ANSYS軟件求解機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)特性分析的方法。結(jié)合前面的理論教學(xué)成果，此時(shí)學(xué)生是在理解有限元求解原理的基礎(chǔ)上掌握有限元的基本技能，而不是簡(jiǎn)單地模仿。

項(xiàng)目式的任務(wù) 項(xiàng)目式的任務(wù)是所提的創(chuàng)新實(shí)踐教方法的核心教學(xué)環(huán)節(jié)，主要是指向由學(xué)生組成的若干項(xiàng)目組派發(fā)不同的有限元分析任務(wù)，在給予學(xué)生必要指導(dǎo)的前提下，要求學(xué)生完成這個(gè)分析任務(wù)，并寫(xiě)出詳細(xì)的分析報(bào)告。對(duì)于項(xiàng)目式的任務(wù)，這一教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)：

1）讓學(xué)生了解工程上完成有限元分析任務(wù)的基本流程；

2）讓學(xué)生學(xué)會(huì)撰寫(xiě)有限元分析研究報(bào)告的基本方法；

3）培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)及協(xié)作精神和提高學(xué)生學(xué)習(xí)有限元的興趣及成就感。

建議在項(xiàng)目式的任務(wù)教學(xué)環(huán)節(jié)涵蓋的教學(xué)內(nèi)容包括工程結(jié)構(gòu)有限元分析任務(wù)單的組成、分析方案（流程）的制定與審核、分析結(jié)果的考核與評(píng)價(jià)、有限元分析報(bào)告的撰寫(xiě)方法等。針對(duì)項(xiàng)目式的任務(wù)教學(xué)環(huán)節(jié)可參照如下流程執(zhí)行：

將學(xué)生分成若干組（每組5～6人）→每組給定一個(gè)分析任務(wù)（即研究項(xiàng)目）→教師指導(dǎo)學(xué)生制訂分析方案并著重指出影響有限元分析精度的主要因素→學(xué)生具體利用ANSYS軟件進(jìn)行有限元分析→撰寫(xiě)并提交分析報(bào)告供教師審閱

需要說(shuō)明的是，這一教學(xué)環(huán)節(jié)不可能完全在課堂上進(jìn)行，學(xué)生需要在課后利用部分時(shí)間完成這一項(xiàng)目式的任務(wù)。為了使教師有效指導(dǎo)學(xué)生完成規(guī)定的項(xiàng)目任務(wù)，可建立相應(yīng)的微信群或QQ群，對(duì)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)態(tài)管理與實(shí)時(shí)指導(dǎo)。

多元考核 多元考核是指采用多種考核方式綜合評(píng)價(jià)學(xué)生成績(jī)的一種考核方式，其優(yōu)點(diǎn)是可以較為全面地評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)所學(xué)課程關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。在有限元教學(xué)中采用多元考核是源于有限元法，尤其利用工程有限元軟件分析結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，是一種基本技能，只有用多元考核才能真正評(píng)判學(xué)生的水平。多元考核的另一目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生從追求高分轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)有限元技能這一本質(zhì)問(wèn)題上。多元考核可貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)課堂測(cè)驗(yàn)、項(xiàng)目分析報(bào)告、期中考試、期末考試等，全面評(píng)價(jià)學(xué)生掌握有限元基本理論及應(yīng)用工程有限元軟件解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力。

3 實(shí)施結(jié)果

這里針對(duì)東北大學(xué)一個(gè)本科班進(jìn)行試驗(yàn)教學(xué)，取得較好的教學(xué)效果，具體表現(xiàn)為：

1）以學(xué)生的“實(shí)踐”貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)研究；

2）課堂氛圍活躍，由于增加了很多討論環(huán)節(jié)，使學(xué)生能夠更加理解有限元分析的基本過(guò)程；

3）下派項(xiàng)目式的教學(xué)模式，使學(xué)生明確了處理工程問(wèn)題的基本方法，還使學(xué)生有了團(tuán)隊(duì)精神；

4）項(xiàng)目式的任務(wù)教學(xué)環(huán)節(jié)模擬了學(xué)生在將來(lái)工作中可能遇到的分析任務(wù)，對(duì)于提升學(xué)生在就業(yè)方面的競(jìng)爭(zhēng)力具有重要意義。

圖1為由學(xué)生研發(fā)的四節(jié)點(diǎn)板殼單元用于分析復(fù)合圓柱殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，圖2為學(xué)生利用ANSYS軟件創(chuàng)建的模擬葉盤(pán)、機(jī)床工作臺(tái)和機(jī)床立柱的有限元模型，借助這些模型可以分析上述結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。

總之，在有限元教學(xué)中通過(guò)這種創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)模式，可使學(xué)生在有限元基本理論和工程有限元軟件之間融會(huì)貫通，使學(xué)生成為可以用有限元解決工程實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新型人才。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于機(jī)械工程專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)并掌握有限元已成為適應(yīng)當(dāng)前高競(jìng)爭(zhēng)就業(yè)環(huán)境的一種迫切需求，而真正掌握有限元的具體表現(xiàn)，是能用有限元理論和工程有限元軟件解決具體的實(shí)際問(wèn)題。本文針對(duì)有限元課程，從滿(mǎn)足創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的需要提出一種創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法體系，該方法體系包含有限元理論、軟件應(yīng)用、項(xiàng)目式的任務(wù)、多元考核等四項(xiàng)關(guān)鍵內(nèi)容。這四項(xiàng)內(nèi)容是一個(gè)有機(jī)整體，可兼顧有限元的理論教學(xué)與應(yīng)用教學(xué)，可激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生極大的學(xué)習(xí)熱情，最終實(shí)現(xiàn)掌握并能應(yīng)用有限元技術(shù)這一目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1]韓清凱，孫偉，王伯平，等.機(jī)械結(jié)構(gòu)有限單元法基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2013：3.

[2]Tang C P， Xue Z， Wang Y. On Teaching CAD/CAE App-lications Course[J].Journal of Online Engineering Education，2011，2（1）：1-9.

[3]Zhuge Y， Mills J E. Teaching finite element mode-

lling at the undergraduate level： a PBL approach[M]

//Proceedings of the 20th Annual Conference for the Australasian Association for Engineering Education （AaeE 2009）. University of Adelaide，2009：105-110.

[4]Jiang Y， Wang C. On teaching finite element method

in plasticity with Mathematica[J].Computer Applica-tions in Engineering Education，2008，16（3）：233-242.

[5]Connell H， Blyth B， May R， et al. Teaching the finite element method using software[M]//Proceedings of the Delta99 Symposium on Undergraduate Mathema-tics.1999：65-68.