趙子越，甘曉川，馬驪群

（中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095）

0 引言

在航空航天等大型裝配制造領(lǐng)域，數(shù)字化測(cè)量技術(shù)逐步融入到自動(dòng)化生產(chǎn)線中，并成為控制產(chǎn)品質(zhì)量的重要手段[1]。其中，制造業(yè)現(xiàn)場(chǎng)條件下測(cè)量任務(wù)的多樣性、測(cè)量精度的高需求及測(cè)量范圍的需求，使得傳統(tǒng)的大尺寸單一參數(shù)的測(cè)量或者是由單一站位組網(wǎng)的測(cè)量網(wǎng)絡(luò)難以滿足測(cè)量精度和范圍的要求，需要采用一種多站位或多移動(dòng)站位的組網(wǎng)方法[2,3]。在滿足測(cè)量范圍和測(cè)量效率的前提下，盡可能的提高測(cè)量精度，是滿足現(xiàn)場(chǎng)復(fù)雜測(cè)量任務(wù)需求的手段[4]。因此，高精度的組網(wǎng)方法成為近年來大尺寸測(cè)量的熱點(diǎn)問題，并在大型飛機(jī)制造、數(shù)字化造船、智能裝配等領(lǐng)域獲得廣泛關(guān)注[5,6]。目前，大尺寸距離測(cè)量可以達(dá)到較高精度，目前AT901-B激光跟蹤儀干涉測(cè)距精度可達(dá)到±0.5um/m[7]，采用多個(gè)距離觀測(cè)量進(jìn)行優(yōu)化解算是研究高精度組網(wǎng)問題的一個(gè)思路。在國(guó)外，德國(guó)的Etalom公司開發(fā)了LaserTracer-NG激光跟蹤干涉測(cè)量系統(tǒng)，采用4-5站位激光干涉儀組網(wǎng)測(cè)量，可以達(dá)到9m測(cè)量范圍內(nèi)0.2um+0.3um/m的精度，是目前文獻(xiàn)可參考的最高精度，目前該技術(shù)受國(guó)外壟斷[8]。在國(guó)內(nèi)，解放軍工程大學(xué)的范百興教授研究了多站位激光跟蹤儀的組網(wǎng)方法，在現(xiàn)場(chǎng)獲得了應(yīng)用[9]；天津大學(xué)的邾繼貴教授團(tuán)隊(duì)研究了空間測(cè)量定位系統(tǒng)的組網(wǎng)方法，達(dá)到了亞毫米的精度[10,11]。

測(cè)量精度是衡量組網(wǎng)性能的重要指標(biāo)，是能否順利應(yīng)用到制造業(yè)中的關(guān)鍵，高精度的組網(wǎng)方法是作為關(guān)鍵技術(shù)得以重點(diǎn)研究[12]。本文研究了一種基于多距離約束的高精度組網(wǎng)算法，采用多個(gè)距離測(cè)量站位對(duì)空間中多個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行距離測(cè)量，利用多個(gè)高精度距離值的約束進(jìn)行優(yōu)化求解完成高精度組網(wǎng)。首先，介紹了組網(wǎng)的基本原理和數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上利用多個(gè)距離約束構(gòu)建約束方程，并根據(jù)距離觀測(cè)量的不確定度對(duì)每個(gè)方程進(jìn)行加權(quán)處理，采用Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行最優(yōu)化求解，為保證迭代過程設(shè)計(jì)了合理的迭代初值求解方法。最終通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了組網(wǎng)方法的精度，并在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中得到廣泛應(yīng)用。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 算法基本原理

基于多距離約束的組網(wǎng)方法的實(shí)現(xiàn)途徑是，空間內(nèi)有m個(gè)可進(jìn)行距離單一參量測(cè)量的測(cè)量站，具備n個(gè)空間測(cè)量點(diǎn)，觀測(cè)量為每個(gè)測(cè)量點(diǎn)距離每個(gè)測(cè)站的距離。記第i（i=1，2，…，m）個(gè)測(cè)量站觀測(cè)到的第j（j=1，2，…，n）個(gè)測(cè)量點(diǎn)的距離觀測(cè)量為L(zhǎng)ij。原理示意圖如圖1所示。

圖1 基于多距離約束的組網(wǎng)方法原理示意圖

因此，可以列以下觀測(cè)方程：

其誤差方程可以表示為：

式中，(xj，yj，zj)表示第j個(gè)測(cè)量點(diǎn)的全局坐標(biāo)系下坐標(biāo)，(txi，tyi，tzj)表示第i的測(cè)量站位的位置，均屬于未知參數(shù)。若m個(gè)測(cè)量站均可對(duì)n個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量完成組網(wǎng)，考慮到未知參數(shù)不包括測(cè)量站位的旋轉(zhuǎn)參數(shù)何尺度因子，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的未知參數(shù)個(gè)數(shù)k可以表示為：

每測(cè)量一個(gè)距離值均可列寫一個(gè)觀測(cè)返程，因此組網(wǎng)方程組中方程的個(gè)數(shù)k0可表示為：

若方程組可解，要求方程個(gè)數(shù)大于未知參數(shù)個(gè)數(shù)，可得：

進(jìn)一步可得，測(cè)量站位數(shù)m和測(cè)量點(diǎn)位數(shù)n滿足以下條件：

式中，m，n均未正整數(shù)，因此測(cè)量站位數(shù)和測(cè)量點(diǎn)位數(shù)均最小為4個(gè)，m和n最小的取值對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 測(cè)量站位數(shù)m和測(cè)量點(diǎn)位數(shù)n的對(duì)應(yīng)關(guān)系

從表1中可以看出，若使方程可解，測(cè)量站位數(shù)最少為4個(gè)，同時(shí)定向點(diǎn)數(shù)最少為12個(gè)，隨著測(cè)量戰(zhàn)術(shù)增加，所需的測(cè)量點(diǎn)數(shù)可以減少，但是無論測(cè)量站位數(shù)如何增加，測(cè)量點(diǎn)數(shù)最少不能少于4個(gè)。為保證組網(wǎng)精度，應(yīng)盡可能多的布置測(cè)量點(diǎn)位。

考慮到距離觀測(cè)量的不確定度隨著距離增加而增加，例如激光跟蹤儀AT901-B的干涉測(cè)距精度可達(dá)±0.5um/m，因此可以根據(jù)距離的觀測(cè)量值給每個(gè)方程進(jìn)行加權(quán)處理，從而提高約束效率。方程(2)乘上權(quán)值可以表達(dá)為：

權(quán)值wij的大小與觀測(cè)量Lij的不確定度uij有關(guān)，可以表示為：

因此，觀測(cè)量Lij的不確定度uij越小，約束方程fij的約束就越強(qiáng)，權(quán)值wij就越大；反之，觀測(cè)量Lij的不確定度uij越大，約束方程fij的約束就越弱，權(quán)值wij就越小。

1.2 最優(yōu)化求解方法

方程(7)為二次方程，一般來講求解這樣的方程組往往比較困難。所以在解的存在性尚未確定的情況下來求解，常常將其轉(zhuǎn)化為二次泛函形式。記由方程(7)組成的方程組f=0，取函數(shù)：

函數(shù)φ的極小點(diǎn)即為方程組的最小二乘解，可采用多種非線性優(yōu)化方法求解[13]。其中Levenberg-Marquardt法是介于牛頓法與梯度下降法之間的一種非線性優(yōu)化方法，它是利用梯度求最大（最小）值的算法，屬于“爬山”法的一種，該算法魯棒性好，對(duì)于過參數(shù)化問題不敏感，能有效處理冗余參數(shù)問題，使代價(jià)函數(shù)陷入局部極小值的機(jī)會(huì)大大減小[14,15]。因此，本文采用Levenberg-Marquardt法求解多距離約束組網(wǎng)問題。

1.3 迭代初值求解

Levenberg-Marquardt算法是一種迭代優(yōu)化算法，在優(yōu)化前需要給出合理的迭代初值，且為避免優(yōu)化陷入局部最優(yōu)值，要求迭代初值盡量準(zhǔn)確，應(yīng)充分接近全局極值點(diǎn)[16]。因而，迭代初值求解問題是多距離約束組網(wǎng)算法求解的關(guān)鍵問題。

基于多距離約束的測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系的建立類似于GPS的定位過程，可以將4臺(tái)或多于4臺(tái)距離測(cè)量站位看作是相應(yīng)數(shù)目的衛(wèi)星，只是測(cè)距的方式是激光干涉測(cè)距。因此，基于多距離約束的測(cè)量系統(tǒng)系統(tǒng)的坐標(biāo)解算可以借鑒GPS定位的方法[17,18]。本文為闡述方法，以4站為例進(jìn)行說明。

基于多距離約束的組網(wǎng)問題中距離觀測(cè)方程可寫為：

其中：ρi為待求取的點(diǎn)到第i站位的距離，為已知量，i=1，2，3，4；

xi，yi，zi分別為第i站位的位置坐標(biāo)，為已知量，i=1，2，3，4；

xu，yu，zu為待求取的坐標(biāo)，為未知量。

式(10)是個(gè)非線性方程，其經(jīng)典解法是利用微分將非線性的偽距方程線性化。求解過程涉及大量的偏導(dǎo)和迭代計(jì)算。而Bancroft算法的核心思想是用巧妙的變量替換，將多維非線性方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程。這樣就不需要再做迭代和求偏導(dǎo)的運(yùn)算了。下面給出詳細(xì)說明利用Bancroft算法來求解距離方程(11)。

首先做如下代換：

代入式(11)，得：

再令：

代入式(13)，得：

后式減去前式，得：

用矩陣形式表示為：

記：

將a，b，c用d來表示，則有：

令：

可以得到：

將上式代入方程a2+b2+c2=d2，得到：

令：

式(22)的解為：

于是，可得到：

共得到兩組解，也就是未知點(diǎn)的坐標(biāo)，其中一組是不符合要求的，需要舍去。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證組網(wǎng)算法的正確性和精度，在實(shí)驗(yàn)室條件下設(shè)計(jì)了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中距離傳感單元采用激光跟蹤儀來代替，型號(hào)為AT901-B，為節(jié)約成本，采用激光跟蹤儀多次移動(dòng)站位完成測(cè)量，精度驗(yàn)證結(jié)果采用一維標(biāo)準(zhǔn)器和正四面體標(biāo)準(zhǔn)器的比對(duì)結(jié)果給出。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖

2.1 一維標(biāo)準(zhǔn)器比對(duì)實(shí)驗(yàn)

一維標(biāo)準(zhǔn)器是一種現(xiàn)場(chǎng)常用的驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)器，采用線膨脹系數(shù)較小的殷鋼材料制成，兩端具備可測(cè)量點(diǎn)位，且兩點(diǎn)間的距離精確已知；并附帶調(diào)姿裝置，能有效保證現(xiàn)場(chǎng)條件下姿態(tài)和位置可調(diào)。在10m×10m×2m的被測(cè)空間內(nèi)，布置12組一維標(biāo)準(zhǔn)器，且一維標(biāo)準(zhǔn)器的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度已知。為達(dá)到綜合驗(yàn)證的目的，一維標(biāo)準(zhǔn)器的方向多樣化（水平、豎直方向均布置）。采用5個(gè)站位移動(dòng)激光跟蹤儀，測(cè)量每個(gè)站位到一維標(biāo)準(zhǔn)器兩端測(cè)量點(diǎn)的距離，以此為觀測(cè)量通過上文的組網(wǎng)方法完成組網(wǎng)求解，可得到24個(gè)點(diǎn)位坐標(biāo)。將對(duì)應(yīng)點(diǎn)位求距離，并與一維標(biāo)準(zhǔn)器的標(biāo)準(zhǔn)值做差值，以此誤差作為組網(wǎng)評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 一維標(biāo)準(zhǔn)器的比對(duì)誤差

由圖可知，橫軸代表一維標(biāo)準(zhǔn)器的個(gè)數(shù)，縱軸代表比對(duì)誤差，單位為um。經(jīng)過對(duì)比可知，最大誤差為2.9um，最小誤差為-2.8um，全部誤差均在±3um以內(nèi)?？傻茫诙嗑嚯x約束的組網(wǎng)方法距離誤差優(yōu)于±3um。

2.2 正四面體標(biāo)準(zhǔn)器比對(duì)實(shí)驗(yàn)

表2 正四面體標(biāo)準(zhǔn)器的坐標(biāo)比對(duì)結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證基于多距離約束的組網(wǎng)方法的坐標(biāo)測(cè)量精度，采用正四面體標(biāo)準(zhǔn)器進(jìn)行比對(duì)。正四面體標(biāo)準(zhǔn)器由4個(gè)坐標(biāo)已知的目標(biāo)點(diǎn)組成，所有目標(biāo)點(diǎn)由殷鋼桿連接，因此4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)具備極高的穩(wěn)定性，可采用坐標(biāo)差值的對(duì)比來評(píng)價(jià)組網(wǎng)精度的優(yōu)劣。同樣采用激光跟蹤儀移動(dòng)5次站位，按照上文中闡述的方法完成組網(wǎng)，組網(wǎng)完成后可得到正四面體標(biāo)準(zhǔn)器的4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)換到正四面體坐標(biāo)系下進(jìn)行求差比對(duì)，得到結(jié)果如表2所示。

在表2中，dX、dY、dZ分別代表X軸、Y軸、Z軸的偏差值，dMag代表坐標(biāo)偏離值，可由下式計(jì)算：

由結(jié)果可得，單一坐標(biāo)軸的偏差X和Y軸均在±2um以內(nèi)，Z軸在±1um以內(nèi)，dMag值在6um以內(nèi)。

另外，以上兩組驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的結(jié)果多次在實(shí)驗(yàn)室條件下完成驗(yàn)證，具備一定的穩(wěn)定性。

3 結(jié)論

本文介紹了一種基于多距離約束的高精度組網(wǎng)方法，詳細(xì)闡述了組網(wǎng)方法的數(shù)學(xué)模型，在合理構(gòu)建約束方程的前提下，采用了Levenberg-Marquardt最優(yōu)化方法完成求解，同時(shí)給出了精確的迭代初值獲取方法，最后在實(shí)驗(yàn)室條件上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與一維標(biāo)準(zhǔn)器比對(duì)的距離測(cè)量精度優(yōu)于±3um，與正四面體標(biāo)準(zhǔn)器比對(duì)的坐標(biāo)測(cè)量精度優(yōu)于6um，滿足制造業(yè)中數(shù)字化測(cè)量的要求。另外，測(cè)量站位的布局也是影響測(cè)量精度的重要因素，未來可以開展相關(guān)技術(shù)研究，以適應(yīng)制造業(yè)的快速發(fā)展。