薛振鴻

摘 要：根據(jù)異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線（skew lines）。它的特點(diǎn)是既不平行，也不相交。其常用判定方法有：①定義法：由定義判定兩條直線永遠(yuǎn)不可能在同一平面內(nèi)。②判定定理：經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

關(guān)鍵詞：異面直線；異面直線對；列舉法；計(jì)數(shù)原理；分類討論

一、列舉法

當(dāng)空間直線數(shù)比較少，構(gòu)成的異面直線對數(shù)也較少，這時(shí)我們根據(jù)異面直線的定義或異面直線判定定理，一一列計(jì)數(shù)。

例1：求證：任何一個(gè)空間四面體的六條棱所在直線中有且只有3對異面直線。

證明：如圖1：設(shè)空間四面體為P-ABC，先考慮與直線PA共面的直線，因?yàn)橹本€PA與直線PB、PC、AB、AC相互之間都有交點(diǎn)，而兩條相交直線確定一個(gè)平面，所以它們是共面的。直線PA與直線BC沒有交點(diǎn)（若直線PA與直線BC有交點(diǎn)，直線PA與直線BC共面，這與空間四面體P-ABC矛盾），顯然點(diǎn)P 平面ABC，點(diǎn)A∈平面ABC，直線BC 平面ABC，點(diǎn)A 直線BC，根據(jù)異面直線的判定定理，直線PA與直線BC是異面的。

二、計(jì)數(shù)原理

由于直線對數(shù)相對較多，不便于一一列舉計(jì)數(shù)，我們可以用排列組合中計(jì)數(shù)原理，從而減少列舉的過程。

例2：已知直線a，b為異面直線，直線a上有4個(gè)不同的點(diǎn)，直線b上有5個(gè)不同的點(diǎn)，求這9個(gè)點(diǎn)所連成的線段所在的直線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)？

解：設(shè)直線a上的4點(diǎn)，不妨設(shè)為A、B、C、D，直線b上的5點(diǎn)，不妨設(shè)為E、F、G、H、I，在直線a上的4點(diǎn)中任取2點(diǎn)有C42=6共6種選擇，假設(shè)選擇A、B；在直線b上的5點(diǎn)中任取2點(diǎn)有C52=10種選擇假設(shè)選擇E、F；這時(shí)空間4個(gè)點(diǎn)A、B、E、F，形成空間四面體A-BEF， 由例1知AE、BF為一對異面直線；AF、BE為一對異面直線；AB、EF即為直線a、直線b單獨(dú)考慮；所以不考慮直線a、直線b，一共有2×C42×C52=120（對）異面直線，直線a，b也是一對，一共有120+1=121（對）異面直線。

三、分類討論

當(dāng)直線數(shù)比較多，直線對也相對較多，同時(shí)直線位置存在明顯個(gè)性特征時(shí)，我們將這類問題依據(jù)個(gè)性特征分成幾類解決。

例3：正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，以這8個(gè)頂點(diǎn)為線段的端點(diǎn)，求這些線段所在的直線構(gòu)成異面直線的對數(shù)？

1.敘述性分類

解：如圖2，第一類：考慮體對角線所在直線。

分析：正方體共有4條體對角線分別為直線AC1、A1C、BD1、B1D，因?yàn)槿我鈨蓷l體對角線是相交；所以它們兩兩是共面的。只要考慮體對角線與面對角線，體對角線與棱。

假設(shè)選擇直線AC1，①直線AC1與面對角線所在的直線BD、B1D1、B1C、A1D、A1B、D1C是異面的有6對。體對角線有4條，所以這樣的異面直線有4×6=24（對）。②直線A1C與棱所在的直線BC、A1D1、CD、A1B1、BB1、DD1是異面有6對，同樣體對角線有4條，所以這樣的異面直線有4×6=24（對）。所以與體對角線異面的共有24+24=48（對）。

2.列表分類

根據(jù)相關(guān)的條件，用表格的形式列出，一目了然。

參考文獻(xiàn)：

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