甘林海, 劉進(jìn)忙, 王剛, 李松

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051)

基于隨機(jī)有限集(Random Finite Set,RFS)的跟蹤算法提供了在目標(biāo)數(shù)目未知時(shí)變條件下的多目標(biāo)估計(jì)框架，受到廣泛關(guān)注[1]。主要包括：概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density,PHD)濾波器[2]、勢(shì)概率假設(shè)密度(Cardinality PHD,CPHD)濾波器[3]、多貝努利(Multi-Bernoulli,MB)濾波器[4]，以及在這幾種濾波器基礎(chǔ)上的部分改進(jìn)算法[5-7]。

群目標(biāo)通常指一系列具有相似運(yùn)動(dòng)方式的空間臨近目標(biāo)，當(dāng)群內(nèi)目標(biāo)分布密集時(shí)，可采用與跟蹤擴(kuò)展目標(biāo)相同的模型和算法進(jìn)行跟蹤[8]。假設(shè)群內(nèi)目標(biāo)量測(cè)數(shù)目服從泊松分布，群質(zhì)心狀態(tài)服從高斯分布，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)服從逆威夏特分布，并且在量測(cè)數(shù)目分布的泊松率未知時(shí)將群目標(biāo)狀態(tài)建模為伽馬高斯逆威夏特(Gamma Gaussian Inverse Wishart,GGIW)分布是一種常用的群狀態(tài)描述算法[9]。文獻(xiàn)[10-11]用GGIW分布描述群目標(biāo)狀態(tài)，引入交互式多模型算法跟蹤多機(jī)動(dòng)群目標(biāo)，增強(qiáng)了算法對(duì)多機(jī)動(dòng)群目標(biāo)的跟蹤能力。但文獻(xiàn)[9-11]都是采用PHD或CPHD濾波算法實(shí)現(xiàn)的多群目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)，在目標(biāo)消失的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)對(duì)目標(biāo)數(shù)目的“過(guò)估”問(wèn)題，且不能直接形成目標(biāo)航跡。廣義標(biāo)簽多貝努利(Generalized Labeled Multi-Bernoulli,GLMB)算法[12-13]以更大的計(jì)算量為代價(jià)解決了PHD和CPHD面臨的以上問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]將GLMB濾波算法用于多擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤，提出了一種GGIW-GLMB濾波算法，獲得了比GGIW-PHD和GGIW-CPHD更好的估計(jì)性能，但跟蹤目標(biāo)機(jī)動(dòng)的能力不足，且忽略了測(cè)量噪聲對(duì)目標(biāo)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的影響。本文提出一種多模型GGIW-GLMB(MM-GGIW-GLMB)算法，通過(guò)采用多模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)建模和引入強(qiáng)跟蹤濾波器(Strong Tracking Filtering,STF)提高了算法對(duì)機(jī)動(dòng)群目標(biāo)的跟蹤能力。

1 背景知識(shí)

假設(shè)X和L分別為多目標(biāo)的狀態(tài)空間和離散標(biāo)簽空間，令ξ∈X，∈L，則χ={(ξ,)i},i=1,2,…,|χ|,為空間X×L上的隨機(jī)有限集。|χ|為集合中的元素個(gè)數(shù)。

令

(1)

GLMB隨機(jī)有限集的概率密度分布可表示為

(2)

(3)

(4)

式中：I為標(biāo)簽集合。

對(duì)狀態(tài)為(ξ,)的一個(gè)群目標(biāo)，作出如下假設(shè)[14]：

假設(shè)1目標(biāo)檢測(cè)概率為pD(ξ,)，漏檢概率為qD(ξ,)=1-pD(ξ,)。

由此可將多群目標(biāo)的量測(cè)似然函數(shù)的概率密度函數(shù)表示為

g(Z|χ) =

(5)

式中：Z為有限的量測(cè)集；i(Z)為將所有量測(cè)劃分為i個(gè)群的所有劃分；(Z)∈i(Z)為對(duì)量測(cè)集Z的一個(gè)劃分；θ：(χ)→{0,1,…,|(Z)|}為目標(biāo)與量測(cè)的關(guān)聯(lián)映射，若θ()=θ(′)>0，則=′；Θ((Z))為關(guān)聯(lián)映射空間；θ()(Z)為(Z)中與標(biāo)簽為的目標(biāo)相關(guān)聯(lián)的量測(cè)子集(假設(shè)該量測(cè)子集由標(biāo)簽為的目標(biāo)產(chǎn)生)。

ψ(ξ,;θ)=

(6)

2 GGIW分量的預(yù)測(cè)與更新

2.1 群目標(biāo)狀態(tài)的概率密度分布

p(ξk)=p(γk)p(xk|Xk)p(Xk)=

IW(Xk;vk,Vk)=GGIW(ξk;ζk)

(7)

式中：ξk(γk,xk,Xk)為k時(shí)刻群目標(biāo)的待估狀態(tài)；為GGIW分量的參數(shù)；為單維狀態(tài)空間中的狀態(tài)協(xié)方差矩陣，?Xk為全維狀態(tài)空間中的狀態(tài)協(xié)方差矩陣，目標(biāo)位置狀態(tài)維數(shù)j=1,2,…,d。將式(7)代入式(2)中即可得到群目標(biāo)GLMB隨機(jī)有限集的概率密度分布表示。

2.2 多模型GGIW分量的預(yù)測(cè)與更新

2.2.1 基于STF-BFG的GGIW分量預(yù)測(cè)

1) 群目標(biāo)GGIW分量的BFG近似預(yù)測(cè)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：

2) STF修正

(17)

式中:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2.2.2 GGIW分量更新

GGIW分量的待估狀態(tài)ξk中，量測(cè)比率γk同質(zhì)心狀態(tài)xk和擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)Xk獨(dú)立，其對(duì)量測(cè)子集W的似然函數(shù)的概率密度分布為

(23)

式中：PS( · ;γk)為均值為γk的泊松概率密度函數(shù)。

由Bayes準(zhǔn)則可知，GGIW分量所表示的群目標(biāo)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為

(24)

GIW(·;mk|k-1,Pk|k-1，vk|k-1,Vk|k-1)=

N(xk;mk|k-1,Pk|k-1)IW(Xk;vk|k-1,Vk|k-1)

令

(25)

(26)

第j個(gè)GGIW分量的更新步驟為

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

(34)

(35)

(36)

另外

(37)

(38)

(39)

由逆威夏特分布的性質(zhì)可知

(40)

2.2.3 模型概率更新

假設(shè)跟蹤模型集中的模型個(gè)數(shù)為M。對(duì)于新生目標(biāo)分量，其模型概率為

(41)

對(duì)于存在目標(biāo)分量，更新的模型概率為

(42)

3 GLMB分量的預(yù)測(cè)與更新

單模型GGIW-GLMB算法同多模型GGIW-GLMB算法的區(qū)別主要在于對(duì)GGIW分量的預(yù)測(cè)和更新部分，多模型GGIW-GLMB算法中對(duì)GLMB分量的預(yù)測(cè)和更新具體步驟為：

步驟1預(yù)測(cè)。

(43)

式中：

(44)

(1-1L())pB(ξ,)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

步驟2更新。

[p(c,θ)(·|(Z))]χ

(51)

式中：

(52)

p(c,θ)(ξ,

(53)

(54)

當(dāng)pD(ξ,)=pD()時(shí)

(55)

實(shí)際計(jì)算中，為應(yīng)對(duì)多量測(cè)子集多群目標(biāo)帶來(lái)的計(jì)算量劇增的問(wèn)題，計(jì)算量測(cè)子集同目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)代價(jià)矩陣，并采用相應(yīng)排序算法選擇其中代價(jià)較小的關(guān)聯(lián)對(duì)進(jìn)行GLMB分量更新，從而達(dá)到減小計(jì)算量的目的；同時(shí)，每一時(shí)刻的GLMB分量都會(huì)由于狀態(tài)與量測(cè)子集的關(guān)聯(lián)而迅速增加，為保證GLMB分量的數(shù)目控制在一個(gè)合理范圍，需要對(duì)更新的GLMB進(jìn)行刪減，選取其中權(quán)值較大的一部分參與下一時(shí)刻運(yùn)算。將刪減后的GLMB分量中的群目標(biāo)狀態(tài)提取出來(lái)，即得到群目標(biāo)狀態(tài)的最終估計(jì)，具體計(jì)算可參考文獻(xiàn)[12,14]。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真場(chǎng)景

假設(shè)有3個(gè)群目標(biāo)在雜波環(huán)境下運(yùn)動(dòng)。群1質(zhì)心的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為[900 m,-60 m/s,900 m,0 m/s]T，在1～4 s做勻速直線運(yùn)動(dòng);4～36 s做勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，其中4～12 s的轉(zhuǎn)彎角速度為0.4 rad/s，12～28 s轉(zhuǎn)彎角速度為-0.2 rad/s，28～36 s轉(zhuǎn)彎角速度為0.4 rad/s;36～40 s做勻速直線運(yùn)動(dòng)。群2質(zhì)心的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為[-280 m,56 m/s,278 m,0 m/s]T，在7～12 s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，12～28 s轉(zhuǎn)彎角速度為-0.2 rad/s，28～33 s做勻速直線運(yùn)動(dòng)。群3質(zhì)心的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為[0 m,40 m/s,-780 m,0 m/s]T，在28～36 s轉(zhuǎn)彎角速度為0.4 rad/s，36～42 s做勻速直線運(yùn)動(dòng)。3個(gè)群的初始擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)分別滿足(a1,b1)=(10,5) m，(a2,b2)=(15,6) m，(a3,b3)=(10,5) m，其中，ai,bi(i=1,2,3)分別為擴(kuò)展橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。

假設(shè)在任何觀測(cè)時(shí)刻，新生GGIW分量的數(shù)目均為3，且位置為真實(shí)群目標(biāo)的初始位置，新生概率為0.03。群目標(biāo)的檢測(cè)概率為0.99，存活概率為0.95。所有新生分量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的初始協(xié)方差均為P0=diag{1002,452}，IW(X0;v0,V0)分布的初始參數(shù)為v0=10,V0=diag{1,1}。GAM(γ0;α0,β0)分布的初始參數(shù)為α0=10,β0=1。雜波服從均值λk=10的泊松分布。測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.1，采樣間隔為1 s。

圖1描述了3個(gè)群目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡、仿真背景以及質(zhì)心位置的一次仿真結(jié)果。黑色“·”為群目標(biāo)和雜波產(chǎn)生的量測(cè)；橢圓表示置信水平為0.9條件下群目標(biāo)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)范圍；“□”為群1質(zhì)心的估計(jì)位置；“△”為群2質(zhì)心的估計(jì)位置；藍(lán)色“〇”為群3質(zhì)心的估計(jì)位置；“→”指向群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向。從圖中可以看出，算法能夠較好地對(duì)群目標(biāo)質(zhì)心狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)和正確分辨出航跡。

圖1 運(yùn)動(dòng)軌跡仿真背景及質(zhì)心位置一次仿真估計(jì)結(jié)果Fig.1 Motion trajectory,background and estimated centroid position in one simulation

4.2 算法性能對(duì)比

記文獻(xiàn)[14]的算法為GGIW-GLMB，本文算法記為MM-GGIW-GLMB。2種算法跟蹤所給場(chǎng)景的100次蒙特卡羅仿真結(jié)果對(duì)比如圖2和圖3所示。

圖2和圖3為MM-GGIW-GLMB算法和GGIW-GLMB算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的最優(yōu)次模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment，OSPA)距離和目標(biāo)數(shù)目的估計(jì)，并標(biāo)出了估計(jì)的一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍。圖中，淺綠色區(qū)域表示MM-GGIW-GLMB估計(jì)的一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，淺藍(lán)色區(qū)域表示GGIW-GLMB算法估計(jì)的一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，暗綠色區(qū)域表示2種算法一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍的重疊區(qū)域。對(duì)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的OSPA距離和目標(biāo)數(shù)目估計(jì)值反映算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)及目標(biāo)數(shù)目估計(jì)的準(zhǔn)確性，一倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍反映算法的穩(wěn)定性。從圖2和圖3可以看出，MM-GGIW-GLMB算法與GGIW-GLMB算法對(duì)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)的準(zhǔn)確性相當(dāng)，但前者對(duì)目標(biāo)狀態(tài)(包含質(zhì)心狀態(tài)、擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)和量測(cè)比率)估計(jì)的OSPA距離更小，準(zhǔn)確性更高，且對(duì)目標(biāo)狀態(tài)和數(shù)目估計(jì)的穩(wěn)定性更好。

圖2 質(zhì)心狀態(tài)、擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)及量測(cè)比率OSPA距離及其一倍標(biāo)準(zhǔn)差Fig.2 OSPA distance of centroid state，extension state and measurement rate and their one standard deviation

圖3 目標(biāo)數(shù)目估計(jì)及其一倍標(biāo)準(zhǔn)差Fig.3 Target number estimation and its one standard deviation

圖4 MM-GGIW-GLMB及GGIW-GLMB算法各時(shí)刻真實(shí)航跡頻次Fig.4 Frequency of real track at each moment in MM-GGIW-GLMB and GGIW-GLMB algorithms

圖4為100次蒙特卡羅仿真中，真實(shí)航跡在每個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的次數(shù)。圖中，track:[a,b]表示在a時(shí)刻新生的第b個(gè)目標(biāo)，3條曲線對(duì)應(yīng)仿真中的3條正確航跡。從圖4可以看出，2種算法對(duì)航跡1和航跡2的正確關(guān)聯(lián)概率(對(duì)航跡正確加標(biāo)簽的次數(shù)除以蒙特卡羅仿真總次數(shù))高，且航跡延遲的次數(shù)較少，MM-GGIW-GLMB算法對(duì)航跡3的正確關(guān)聯(lián)概率要高于GGIW-GLMB算法，但2種算法對(duì)航跡3的正確關(guān)聯(lián)概率相對(duì)都偏低，只有不到70%，其主要是航跡起始的延遲造成的，在錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)的情況中，大部分都是跟蹤了第23 s所新生的第3個(gè)目標(biāo)，導(dǎo)致航跡標(biāo)簽出錯(cuò)，延遲了1 s起始，另有少數(shù)幾次延遲2～3 s，還有數(shù)次出現(xiàn)了航跡丟失。這是由于本文為了減小算法計(jì)算量，在采用截?cái)嗉夹g(shù)減少小權(quán)值的GLMB分量時(shí)，對(duì)存在GLMB分量和新生GLMB分量的權(quán)值進(jìn)行了統(tǒng)一排序處理，而在目標(biāo)3新生的時(shí)刻，表示群1和群2的GLMB權(quán)值較大，且分量數(shù)目較多，導(dǎo)致群3的新生分量在進(jìn)行截?cái)嘟七^(guò)程中被刪除，這就導(dǎo)致了群3航跡起始的延遲和航跡的丟失；群2新生時(shí)刻，因?yàn)榇藭r(shí)只存在表示群1狀態(tài)的大權(quán)值GLMB分量，數(shù)目相對(duì)較少，所以群2新生分量在截?cái)噙^(guò)程中被刪除的次數(shù)較少，航跡延遲和丟失現(xiàn)象不明顯。在此也可以看出，將存活和新生分量共同排序的方法適用于目標(biāo)數(shù)目少的場(chǎng)景，當(dāng)目標(biāo)數(shù)目增多時(shí)，將會(huì)導(dǎo)致對(duì)晚出現(xiàn)目標(biāo)的跟蹤延遲和漏跟，此時(shí)，需要對(duì)新生分量和存活分量分別進(jìn)行截?cái)嗯判?，但?huì)造成算法計(jì)算量的增加。圖4中，在22～23 s航跡標(biāo)簽正確率出現(xiàn)較大起伏，主要是由于相比于大權(quán)值的已存在分量，群3的新生分量在第22 s雖得以保留，但存在確認(rèn)延遲(如：第22 s新生的目標(biāo)在23 s時(shí)確認(rèn)，但此種情況下的航跡標(biāo)簽是正確的，注意與前文情況區(qū)分)。航跡確認(rèn)的延遲導(dǎo)致在目標(biāo)真實(shí)新生的后續(xù)時(shí)刻，航跡標(biāo)簽的正確概率高于目標(biāo)真實(shí)新生的時(shí)刻(第23 s，群3的正確航跡標(biāo)簽次數(shù)為：第22 s，群3的正確航跡標(biāo)簽次數(shù)加上第23 s，群3確認(rèn)的正確航跡標(biāo)簽次數(shù)，減去第22 s確認(rèn)的正確航跡在第23 s發(fā)生丟失的次數(shù))。在圖2和圖3中只能得到跟蹤的整體信息，而不能判斷各條航跡的標(biāo)簽是否正確。通過(guò)對(duì)航跡標(biāo)簽的分析(見(jiàn)圖4)，可以了解算法對(duì)每一個(gè)目標(biāo)航跡跟蹤的起始和終止情況，彌補(bǔ)了只采用OSPA距離評(píng)估方法對(duì)算法進(jìn)行評(píng)估的不足。

5 結(jié) 論

1) 針對(duì)多機(jī)動(dòng)群目標(biāo)跟蹤的問(wèn)題，提出了MM-GGIW-GLMB算法，利用隨機(jī)矩陣將群目標(biāo)擴(kuò)展外形建模為橢圓，用GGIW分量描述群目標(biāo)狀態(tài)。GLMB分量通過(guò)加標(biāo)簽方法產(chǎn)生加標(biāo)簽的航跡估計(jì)，引入BFG和STF算法增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的跟蹤能力。

2) BFG算法通過(guò)多模型融合，增強(qiáng)了算法對(duì)群目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式的適應(yīng)性，STF算法通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)協(xié)方差的修正，增強(qiáng)了算法對(duì)群目標(biāo)機(jī)動(dòng)跟蹤的魯棒性。將加標(biāo)簽正確率作為補(bǔ)充的算法性能度量標(biāo)準(zhǔn)，彌補(bǔ)了僅利用OSPA距離評(píng)估GLMB算法性能的不足。

3) 仿真結(jié)果表明，MM-GGIW-GLMB算法跟蹤多機(jī)動(dòng)群目標(biāo)的精度、穩(wěn)定性和航跡標(biāo)簽正確率皆優(yōu)于文獻(xiàn)[14]算法。