甘林海, 劉進忙, 王剛, 李松

(空軍工程大學 防空反導學院, 西安 710051)

基于隨機有限集(Random Finite Set,RFS)的跟蹤算法提供了在目標數(shù)目未知時變條件下的多目標估計框架，受到廣泛關(guān)注[1]。主要包括：概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density,PHD)濾波器[2]、勢概率假設(shè)密度(Cardinality PHD,CPHD)濾波器[3]、多貝努利(Multi-Bernoulli,MB)濾波器[4]，以及在這幾種濾波器基礎(chǔ)上的部分改進算法[5-7]。

群目標通常指一系列具有相似運動方式的空間臨近目標，當群內(nèi)目標分布密集時，可采用與跟蹤擴展目標相同的模型和算法進行跟蹤[8]。假設(shè)群內(nèi)目標量測數(shù)目服從泊松分布，群質(zhì)心狀態(tài)服從高斯分布，擴展狀態(tài)服從逆威夏特分布，并且在量測數(shù)目分布的泊松率未知時將群目標狀態(tài)建模為伽馬高斯逆威夏特(Gamma Gaussian Inverse Wishart,GGIW)分布是一種常用的群狀態(tài)描述算法[9]。文獻[10-11]用GGIW分布描述群目標狀態(tài)，引入交互式多模型算法跟蹤多機動群目標，增強了算法對多機動群目標的跟蹤能力。但文獻[9-11]都是采用PHD或CPHD濾波算法實現(xiàn)的多群目標狀態(tài)估計，在目標消失的時候會出現(xiàn)對目標數(shù)目的“過估”問題，且不能直接形成目標航跡。廣義標簽多貝努利(Generalized Labeled Multi-Bernoulli,GLMB)算法[12-13]以更大的計算量為代價解決了PHD和CPHD面臨的以上問題。文獻[14]將GLMB濾波算法用于多擴展目標跟蹤，提出了一種GGIW-GLMB濾波算法，獲得了比GGIW-PHD和GGIW-CPHD更好的估計性能，但跟蹤目標機動的能力不足，且忽略了測量噪聲對目標擴展狀態(tài)的影響。本文提出一種多模型GGIW-GLMB(MM-GGIW-GLMB)算法，通過采用多模型進行運動建模和引入強跟蹤濾波器(Strong Tracking Filtering,STF)提高了算法對機動群目標的跟蹤能力。

1 背景知識

假設(shè)X和L分別為多目標的狀態(tài)空間和離散標簽空間，令ξ∈X，∈L，則χ={(ξ,)i},i=1,2,…,|χ|,為空間X×L上的隨機有限集。|χ|為集合中的元素個數(shù)。

令

(1)

GLMB隨機有限集的概率密度分布可表示為

(2)

(3)

(4)

式中：I為標簽集合。

對狀態(tài)為(ξ,)的一個群目標，作出如下假設(shè)[14]：

假設(shè)1目標檢測概率為pD(ξ,)，漏檢概率為qD(ξ,)=1-pD(ξ,)。

由此可將多群目標的量測似然函數(shù)的概率密度函數(shù)表示為

g(Z|χ) =

(5)

式中：Z為有限的量測集；i(Z)為將所有量測劃分為i個群的所有劃分；(Z)∈i(Z)為對量測集Z的一個劃分；θ：(χ)→{0,1,…,|(Z)|}為目標與量測的關(guān)聯(lián)映射，若θ()=θ(′)>0，則=′；Θ((Z))為關(guān)聯(lián)映射空間；θ()(Z)為(Z)中與標簽為的目標相關(guān)聯(lián)的量測子集(假設(shè)該量測子集由標簽為的目標產(chǎn)生)。

ψ(ξ,;θ)=

(6)

2 GGIW分量的預測與更新

2.1 群目標狀態(tài)的概率密度分布

p(ξk)=p(γk)p(xk|Xk)p(Xk)=

IW(Xk;vk,Vk)=GGIW(ξk;ζk)

(7)

式中：ξk(γk,xk,Xk)為k時刻群目標的待估狀態(tài)；為GGIW分量的參數(shù)；為單維狀態(tài)空間中的狀態(tài)協(xié)方差矩陣，?Xk為全維狀態(tài)空間中的狀態(tài)協(xié)方差矩陣，目標位置狀態(tài)維數(shù)j=1,2,…,d。將式(7)代入式(2)中即可得到群目標GLMB隨機有限集的概率密度分布表示。

2.2 多模型GGIW分量的預測與更新

2.2.1 基于STF-BFG的GGIW分量預測

1) 群目標GGIW分量的BFG近似預測

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：

2) STF修正

(17)

式中:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2.2.2 GGIW分量更新

GGIW分量的待估狀態(tài)ξk中，量測比率γk同質(zhì)心狀態(tài)xk和擴展狀態(tài)Xk獨立，其對量測子集W的似然函數(shù)的概率密度分布為

(23)

式中：PS( · ;γk)為均值為γk的泊松概率密度函數(shù)。

由Bayes準則可知，GGIW分量所表示的群目標狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)可表示為

(24)

GIW(·;mk|k-1,Pk|k-1，vk|k-1,Vk|k-1)=

N(xk;mk|k-1,Pk|k-1)IW(Xk;vk|k-1,Vk|k-1)

令

(25)

(26)

第j個GGIW分量的更新步驟為

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

(34)

(35)

(36)

另外

(37)

(38)

(39)

由逆威夏特分布的性質(zhì)可知

(40)

2.2.3 模型概率更新

假設(shè)跟蹤模型集中的模型個數(shù)為M。對于新生目標分量，其模型概率為

(41)

對于存在目標分量，更新的模型概率為

(42)

3 GLMB分量的預測與更新

單模型GGIW-GLMB算法同多模型GGIW-GLMB算法的區(qū)別主要在于對GGIW分量的預測和更新部分，多模型GGIW-GLMB算法中對GLMB分量的預測和更新具體步驟為：

步驟1預測。

(43)

式中：

(44)

(1-1L())pB(ξ,)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

步驟2更新。

[p(c,θ)(·|(Z))]χ

(51)

式中：

(52)

p(c,θ)(ξ,

(53)

(54)

當pD(ξ,)=pD()時

(55)

實際計算中，為應對多量測子集多群目標帶來的計算量劇增的問題，計算量測子集同目標之間的關(guān)聯(lián)代價矩陣，并采用相應排序算法選擇其中代價較小的關(guān)聯(lián)對進行GLMB分量更新，從而達到減小計算量的目的；同時，每一時刻的GLMB分量都會由于狀態(tài)與量測子集的關(guān)聯(lián)而迅速增加，為保證GLMB分量的數(shù)目控制在一個合理范圍，需要對更新的GLMB進行刪減，選取其中權(quán)值較大的一部分參與下一時刻運算。將刪減后的GLMB分量中的群目標狀態(tài)提取出來，即得到群目標狀態(tài)的最終估計，具體計算可參考文獻[12,14]。

4 仿真實驗

4.1 仿真場景

假設(shè)有3個群目標在雜波環(huán)境下運動。群1質(zhì)心的初始運動狀態(tài)為[900 m,-60 m/s,900 m,0 m/s]T，在1～4 s做勻速直線運動;4～36 s做勻速轉(zhuǎn)彎運動，其中4～12 s的轉(zhuǎn)彎角速度為0.4 rad/s，12～28 s轉(zhuǎn)彎角速度為-0.2 rad/s，28～36 s轉(zhuǎn)彎角速度為0.4 rad/s;36～40 s做勻速直線運動。群2質(zhì)心的初始運動狀態(tài)為[-280 m,56 m/s,278 m,0 m/s]T，在7～12 s做勻速直線運動，12～28 s轉(zhuǎn)彎角速度為-0.2 rad/s，28～33 s做勻速直線運動。群3質(zhì)心的初始運動狀態(tài)為[0 m,40 m/s,-780 m,0 m/s]T，在28～36 s轉(zhuǎn)彎角速度為0.4 rad/s，36～42 s做勻速直線運動。3個群的初始擴展狀態(tài)分別滿足(a1,b1)=(10,5) m，(a2,b2)=(15,6) m，(a3,b3)=(10,5) m，其中，ai,bi(i=1,2,3)分別為擴展橢圓的長半軸和短半軸。

假設(shè)在任何觀測時刻，新生GGIW分量的數(shù)目均為3，且位置為真實群目標的初始位置，新生概率為0.03。群目標的檢測概率為0.99，存活概率為0.95。所有新生分量運動狀態(tài)的初始協(xié)方差均為P0=diag{1002,452}，IW(X0;v0,V0)分布的初始參數(shù)為v0=10,V0=diag{1,1}。GAM(γ0;α0,β0)分布的初始參數(shù)為α0=10,β0=1。雜波服從均值λk=10的泊松分布。測量噪聲標準差為0.1，采樣間隔為1 s。

圖1描述了3個群目標的運動軌跡、仿真背景以及質(zhì)心位置的一次仿真結(jié)果。黑色“·”為群目標和雜波產(chǎn)生的量測；橢圓表示置信水平為0.9條件下群目標擴展狀態(tài)范圍；“□”為群1質(zhì)心的估計位置；“△”為群2質(zhì)心的估計位置；藍色“〇”為群3質(zhì)心的估計位置；“→”指向群目標運動方向。從圖中可以看出，算法能夠較好地對群目標質(zhì)心狀態(tài)進行估計和正確分辨出航跡。

圖1 運動軌跡仿真背景及質(zhì)心位置一次仿真估計結(jié)果Fig.1 Motion trajectory,background and estimated centroid position in one simulation

4.2 算法性能對比

記文獻[14]的算法為GGIW-GLMB，本文算法記為MM-GGIW-GLMB。2種算法跟蹤所給場景的100次蒙特卡羅仿真結(jié)果對比如圖2和圖3所示。

圖2和圖3為MM-GGIW-GLMB算法和GGIW-GLMB算法對目標狀態(tài)估計的最優(yōu)次模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment，OSPA)距離和目標數(shù)目的估計，并標出了估計的一倍標準差范圍。圖中，淺綠色區(qū)域表示MM-GGIW-GLMB估計的一倍標準差范圍，淺藍色區(qū)域表示GGIW-GLMB算法估計的一倍標準差范圍，暗綠色區(qū)域表示2種算法一倍標準差范圍的重疊區(qū)域。對目標狀態(tài)估計的OSPA距離和目標數(shù)目估計值反映算法對目標狀態(tài)及目標數(shù)目估計的準確性，一倍標準差范圍反映算法的穩(wěn)定性。從圖2和圖3可以看出，MM-GGIW-GLMB算法與GGIW-GLMB算法對目標數(shù)目估計的準確性相當，但前者對目標狀態(tài)(包含質(zhì)心狀態(tài)、擴展狀態(tài)和量測比率)估計的OSPA距離更小，準確性更高，且對目標狀態(tài)和數(shù)目估計的穩(wěn)定性更好。

圖2 質(zhì)心狀態(tài)、擴展狀態(tài)及量測比率OSPA距離及其一倍標準差Fig.2 OSPA distance of centroid state，extension state and measurement rate and their one standard deviation

圖3 目標數(shù)目估計及其一倍標準差Fig.3 Target number estimation and its one standard deviation

圖4 MM-GGIW-GLMB及GGIW-GLMB算法各時刻真實航跡頻次Fig.4 Frequency of real track at each moment in MM-GGIW-GLMB and GGIW-GLMB algorithms

圖4為100次蒙特卡羅仿真中，真實航跡在每個時刻出現(xiàn)的次數(shù)。圖中，track:[a,b]表示在a時刻新生的第b個目標，3條曲線對應仿真中的3條正確航跡。從圖4可以看出，2種算法對航跡1和航跡2的正確關(guān)聯(lián)概率(對航跡正確加標簽的次數(shù)除以蒙特卡羅仿真總次數(shù))高，且航跡延遲的次數(shù)較少，MM-GGIW-GLMB算法對航跡3的正確關(guān)聯(lián)概率要高于GGIW-GLMB算法，但2種算法對航跡3的正確關(guān)聯(lián)概率相對都偏低，只有不到70%，其主要是航跡起始的延遲造成的，在錯誤關(guān)聯(lián)的情況中，大部分都是跟蹤了第23 s所新生的第3個目標，導致航跡標簽出錯，延遲了1 s起始，另有少數(shù)幾次延遲2～3 s，還有數(shù)次出現(xiàn)了航跡丟失。這是由于本文為了減小算法計算量，在采用截斷技術(shù)減少小權(quán)值的GLMB分量時，對存在GLMB分量和新生GLMB分量的權(quán)值進行了統(tǒng)一排序處理，而在目標3新生的時刻，表示群1和群2的GLMB權(quán)值較大，且分量數(shù)目較多，導致群3的新生分量在進行截斷近似過程中被刪除，這就導致了群3航跡起始的延遲和航跡的丟失；群2新生時刻，因為此時只存在表示群1狀態(tài)的大權(quán)值GLMB分量，數(shù)目相對較少，所以群2新生分量在截斷過程中被刪除的次數(shù)較少，航跡延遲和丟失現(xiàn)象不明顯。在此也可以看出，將存活和新生分量共同排序的方法適用于目標數(shù)目少的場景，當目標數(shù)目增多時，將會導致對晚出現(xiàn)目標的跟蹤延遲和漏跟，此時，需要對新生分量和存活分量分別進行截斷排序，但會造成算法計算量的增加。圖4中，在22～23 s航跡標簽正確率出現(xiàn)較大起伏，主要是由于相比于大權(quán)值的已存在分量，群3的新生分量在第22 s雖得以保留，但存在確認延遲(如：第22 s新生的目標在23 s時確認，但此種情況下的航跡標簽是正確的，注意與前文情況區(qū)分)。航跡確認的延遲導致在目標真實新生的后續(xù)時刻，航跡標簽的正確概率高于目標真實新生的時刻(第23 s，群3的正確航跡標簽次數(shù)為：第22 s，群3的正確航跡標簽次數(shù)加上第23 s，群3確認的正確航跡標簽次數(shù)，減去第22 s確認的正確航跡在第23 s發(fā)生丟失的次數(shù))。在圖2和圖3中只能得到跟蹤的整體信息，而不能判斷各條航跡的標簽是否正確。通過對航跡標簽的分析(見圖4)，可以了解算法對每一個目標航跡跟蹤的起始和終止情況，彌補了只采用OSPA距離評估方法對算法進行評估的不足。

5 結(jié) 論

1) 針對多機動群目標跟蹤的問題，提出了MM-GGIW-GLMB算法，利用隨機矩陣將群目標擴展外形建模為橢圓，用GGIW分量描述群目標狀態(tài)。GLMB分量通過加標簽方法產(chǎn)生加標簽的航跡估計，引入BFG和STF算法增強對目標機動的跟蹤能力。

2) BFG算法通過多模型融合，增強了算法對群目標機動模式的適應性，STF算法通過對預測協(xié)方差的修正，增強了算法對群目標機動跟蹤的魯棒性。將加標簽正確率作為補充的算法性能度量標準，彌補了僅利用OSPA距離評估GLMB算法性能的不足。

3) 仿真結(jié)果表明，MM-GGIW-GLMB算法跟蹤多機動群目標的精度、穩(wěn)定性和航跡標簽正確率皆優(yōu)于文獻[14]算法。