張凱， 熊家軍， 付婷婷， 席秋實

(1. 空軍預警學院 研究生大隊， 武漢 430019； 2. 空軍預警學院 預警情報系， 武漢 430019)

作為新一代跨大氣層空天飛行器，高超聲速滑翔目標(Hypersonic Gliding Vehicle, HGV)結合了航天器與航空器的特征，具有高速高機動、高精度、大航程等特點，可實施遠距離機動快速打擊[1-2]。隨著美國分別于2011年和2017年成功試射陸基和潛射型高超聲速滑翔彈頭(AHW和IRCPS)，標志著HGV武器已初步具備作戰(zhàn)能力，這給中國空天安全帶來了巨大威脅。面對這類目標早期預警和攔截中的目標跟蹤問題，有必要結合HGV的動力學特性進一步研究相關理論。

不同于傳統(tǒng)高速目標，HGV沿非慣性彈道機動飛行，地基傳感器存在探測時間短、測量精度低等問題，使用傳統(tǒng)跟蹤算法難以對HGV實現(xiàn)準確跟蹤。從濾波器應用角度來看HGV跟蹤是典型的非線性濾波問題，其估計性能很大程度上取決于目標狀態(tài)模型的精細程度。一般來說，合理構建機動目標的高階狀態(tài)模型有助于提高估計精度。根據(jù)目標狀態(tài)建模思想的不同，方法大體可分為2類：①對目標未知加速度或加加速度建模[3-4]，構建CA、Singer和Jerk等運動學模型，這種方法通用性較強，具有較快的機動響應能力，但估計精度有限；②對目標未知氣動力建模[5]，通過狀態(tài)增廣[6-9]或輸入估計[10-12]等方法構建動力學模型，這種方法物理含義清晰，穩(wěn)定跟蹤時估計精度高，廣泛應用于機動再入目標跟蹤。缺點是當氣動力變化較快或模型不夠準確時，跟蹤精度會大幅下降。由于HGV運動形式復雜，單一運動模型難以準確刻畫其運動特征，交互多模型(Interacting Multiple Model, IMM)方法可以較好地表現(xiàn)HGV的復雜機動[8-9,12-13]。然而，在面對狀態(tài)維度大、傳感器采樣率高的HGV估計問題時，IMM往往會大幅增加了運算負擔。

據(jù)以上分析可知，對未知氣動力準確建模是提高HGV跟蹤精度的有效途徑。同時，IMM方法可以顯著改善模型匹配程度，但如何調和模型集覆蓋能力與計算量之間的矛盾是亟需解決的問題。為此，本文首先論證氣動加速度建模的必要性，將氣動加速度在轉彎和俯仰方向存在的耦合信息引入氣動參數(shù)模型，構建滾轉(Bank)和螺旋(Sprial)模型。然后，綜合考慮估計精度和實時性的需求，使用一種目標狀態(tài)與氣動參數(shù)分離估計的模型替代傳統(tǒng)的狀態(tài)增廣模型，并對大幅變化的參數(shù)對應的機動頻率進行IMM建模。最后，對不同條件下的多種模型跟蹤算法進行仿真驗證。

1 目標氣動加速度分析

(1)

式中：aA為氣動加速度，是造成目標機動的原因；aG為重力加速度。

從式(1)中可以看出，目標在重力加速度aG作用下，運動方式表現(xiàn)為慣性彈道再入運動；在aA各向分量的作用下，目標具有非慣性的跳躍再入和橫向機動能力。為從動力學角度理解aA的變化規(guī)律，將aA在位于目標質心的半速度(Velocity-Turn-Climb, VTC)坐標系中分解[5]：

aA=-Duv+L(-utsinφ+uccosφ)

(2)

式中：uv、ut和uc為VTC坐標系中各坐標軸的單位矢量;φ為滾轉角；D和L分別為阻力加速度和升力加速度，其表達式為

其中：m為質量；ρ為大氣密度；v和S分別為目標速度和等效截面積；α為迎角，φ和α為HGV的控制變量；CD(α)和CL(α)分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)，為α的函數(shù)。

從式(2)可以看出，HGV通過調整φ和α，使aA各向分量發(fā)生變化從而實現(xiàn)各種復雜機動。為進一步分析aA對目標運動狀態(tài)的影響，對aA進行求導，則有[14]

(3)

2 耦合氣動參數(shù)建模

2.1 氣動參數(shù)定義

HGV機動是由目標的控制變量變化決定的。據(jù)式(2)可知，即使φ和α不發(fā)生變化，由于目標跳躍飛行的原因，大氣密度ρ劇烈變化，氣動加速度aA的各向分量會大幅波動。因此，直接對氣動加速度建模會造成aA的變化規(guī)律難以刻畫。利用已知的狀態(tài)依賴參量ρv2/2將氣動加速度aA中的未知參數(shù)(CD(α)、CL(α)、S、m和φ)轉化為氣動參數(shù)αP=[αv,αt,αc]T是一種流行的建模做法[5]。參照文獻[5]建立氣動加速度aA與氣動參數(shù)αP的關系式為

(4)

氣動參數(shù)αP與大氣密度ρ變化無關，可以直接表征目標的各向機動：αt>0和αt<0分別對應目標水平左轉和右轉機動；αc>0和αc<0分別對應目標爬升和俯沖機動。利用氣動參數(shù)α取代氣動加速度aA表示目標的未知機動輸入，可以直接從目標機動特點出發(fā)調整模型參數(shù)，有助于提高估計精度。然而，αP=[αv,αt,αc]T本質上是對氣動加速度aA的解耦處理，分析式(2)可知，aA在轉彎和俯仰方向存在明顯的耦合關系。為有效利用這一耦合關系以提高建模精度，2.2節(jié)和2.3節(jié)將其作為先驗信息引入氣動參數(shù)αP表達式中，分別建立Bank和Spiral模型。

2.2 Bank模型

聯(lián)立式(2)和式(4)，可得氣動參數(shù)αP與控制變量α、φ之間的關系式為

(5)

從式(5)中不難看出滾轉角φ通過改變CL(α)S/m在縱向平面的指向實現(xiàn)目標機動，表現(xiàn)為轉彎力參數(shù)αt和爬升力參數(shù)αc的非線性負相關：

(6)

(7)

氣動參數(shù)αB從動力學的角度表征了目標的控制規(guī)律，具有清晰的物理意義：αv和α1對應阻力和升力的大小，φ表示升力的方向。通過這種形式的參數(shù)建模，αB考慮了αt和αc之間的耦合關系，但本質上與αP同階，并未增加計算復雜度。聯(lián)立式(4)和式(7)，可利用αB表示氣動加速度aA為

(8)

采用一階馬爾可夫模型表示各參數(shù)的機動特性，氣動參數(shù)αB的系統(tǒng)模型可表達為

(9)

式中：wv、wl和wφ分別為對應參數(shù)的過程噪聲；λv、λl和λφ分別為對應參數(shù)的機動頻率。HGV飛行過程中，α主要起到維持目標穩(wěn)定飛行的作用，α頻繁調整容易造成目標氣動熱急劇增大甚至飛行失穩(wěn)，一般取為常值或小區(qū)間變化[15]。同時，研究表明短時間內CD(α)和CL(α)隨α呈現(xiàn)近似線性變化[16-17]。因此，λv和λl可取為較小的值。同時，作為目標機動的主要控制變量，滾轉角φ決定了升力在轉彎和爬升方向分量的大小，變化較為頻繁，λφ可取為較大的值。

2.3 Spiral模型

與Bank模型思想類似，Spiral模型也考慮了αt和αc之間的耦合關系。根據(jù)式(5)分別對αt和αc求導，則有

(10)

可知αt和αc可組成一個穩(wěn)定的諧波振蕩器[6]

(11)

式中:?為滾轉角φ的角加速度，反映了滾轉角φ變化的劇烈程度。將?增廣到氣動參數(shù)αP中，可得改進的氣動參數(shù)向量為αS=[αv,αt,αc,?]T。不難看出，αS利用αv、αt和αc表征了目標在VTC坐標系中各向的機動，利用?表征了αt和αc之間的耦合關系，?本質上是αP的一階導數(shù)信息。

Spiral模型的氣動加速度aA表達式與式(4)保持一致。采用一階馬爾可夫模型表示?的機動特性，氣動參數(shù)αS的系統(tǒng)模型可表達為

(12)

式中：wt、wc和w?分別為對應參數(shù)的過程噪聲；λ?為?對應的機動頻率。由于?變化是目標機動的主要影響，λ?可取為較大的值。

3 IMM分離估計算法

3.1 分離估計模型

基于氣動參數(shù)建模的跟蹤算法通常將氣動參數(shù)增廣到狀態(tài)模型進行濾波計算，但這種算法在多模型條件下會顯著增加計算復雜度。考慮到需要對氣動參數(shù)進行多模型假設，本文使用一種狀態(tài)量與氣動參數(shù)分離估計模型替代增廣模型，可有效降低計算復雜度[18]。

圖1 分離估計模型結構Fig.1 Structure of decomposed estimation model

3.2 濾波器描述

3.2.1 狀態(tài)濾波器

ENU坐標系下HGV狀態(tài)方程的離散化表達式為

x(k+1)=Fxx(k)+

G[aA(k)+aG(k)]+wx(k)

(13)

式中：

(14)

(15)

其中：Re為地球半徑。

在球坐標系中建立量測方程，目標的量測值為z(k)=[R(k),A(k),E(k)]T，R(k)、A(k)和E(k)分別為觀測的徑向距離、俯仰角和方位角。根據(jù)ENU坐標系和球坐標系的轉換關系，目標的量測方程可表達為

z(k+1)=h[x(k+1)]+vx(k+1)=

(16)

式中:vx為狀態(tài)濾波器的量測噪聲;nR(k+1)、nA(k+1)和nE(k+1)為各量測值對應的量測噪聲。狀態(tài)濾波器的過程噪聲Qx(k)與量測噪聲Rx(k)參考文獻[19]。

3.2.2 Bank參數(shù)濾波器

對式(9)離散化，可得Bank參數(shù)濾波器狀態(tài)模型的表達式為

(17)

(18)

(19)

(20)

利用狀態(tài)濾波器得到的狀態(tài)誤差協(xié)方差Px(k)求解量測誤差協(xié)方差RB(k+1)為

RB(k+1)=diag(rB1,rB2,rB3)

(21)

式中:

3.2.3 Spiral參數(shù)濾波器

對式(12)離散化，可得Spiral參數(shù)濾波器狀態(tài)模型表達式為

(22)

(23)

vS(k+1)

(24)

根據(jù)狀態(tài)濾波器得到的狀態(tài)誤差協(xié)方差Px(k)求解量測誤差協(xié)方差Rs(k+1)為

Rs(k+1)=diag(rS1,rS2,rS3,rS4)

(25)

式中:

式中：σ?為?對應的量測誤差協(xié)防差。

3.3 IMM設計

基于氣動參數(shù)建模的跟蹤算法的共性缺點是大多都基于某種單一的假設模型，一旦在跟蹤過程中目標軌跡和設定的模型不匹配，或者氣動參數(shù)變化導致加速度狀態(tài)突變時，狀態(tài)估計精度就會迅速惡化。當前普遍認為IMM是解決此類問題的有效途徑。

在氣動參數(shù)系統(tǒng)模型式(17)和式(22)中，氣動參數(shù)時間序列相關性的表現(xiàn)為機動頻率λ的大小，其取值決定了HGV機動時的狀態(tài)估計精度[8]。當目標穩(wěn)定飛行時，量級為10-4s-1的λ可表現(xiàn)參數(shù)的緩變特性；對于目標機動飛行的情況，氣動參數(shù)瞬時變化較大，量級為0.1～1 s-1的λ可表現(xiàn)參數(shù)的突變特性。同時，在飛行過程中HGV的機動模式可能介于緩變和突變之間任意模式。為此，可利用多個機動頻率λ組成的IMM模型提高模型匹配程度。為調和機動模式的覆蓋需求與計算復雜度的矛盾，本文結合上述取值范圍，對Bank模型的φ和Spiral模型的?對應的機動頻率λφ和λ?進行適當選取。如圖2所示，設計的IMM模型由設置r個不同機動頻率λi(i=1,2,…,r)的濾波器組成。

圖2 氣動參數(shù)IMM示意圖Fig.2 IMM schematic of aerodynamic parameter

4 仿真分析

為驗證本文方法可行性，設計如下仿真環(huán)境：①目標參數(shù)：HGV模型參考美國洛馬公司CAV-H的基本參數(shù)[20]，飛行器總長約為4 m，質量1.7 t，初始高度45 km，速度為4 000 m/s，采用三自由度動力學方程積分生成仿真彈道，采用標準制導法控制φ和α變化實現(xiàn)機動[15]；②傳感器參數(shù)：采用擴展卡爾曼濾波(EKF)濾波器，距離量測標準差為500 m，方位角、俯仰角量測標準差均為0.01 rad，Bank模型和Spiral模型中r取值均為3，對應的機動頻率取值分別為0.001、0.01和0.5 s-1。為檢驗算法性能，對仿真算例進行500次蒙特卡羅仿真，分別計算均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)。

4.1 不同模型條件下估計性能仿真

利用2類模型跟蹤算法進行仿真對比：①運動學模型：CA、Singer和Jerk模型；②動力學模型：基于氣動參數(shù)αP=[αv,αt,αc]T增廣的機動載入飛行器(MaRV)模型、本文Bank模型和Spiral模型。需要注意的是，為保證仿真合理性，仿真中的6個模型均為單模型，即不考慮IMM情況。

圖3 不同模型位置和速度估計RMSEFig.3 RMSE in position and velocity estimate of different models

圖3給出6種模型位置與速度RMSE仿真結果。不難看出：①當目標發(fā)生機動時(氣動參數(shù)變化)，各模型的位置和速度跟蹤誤差發(fā)生顯著增大，然后逐漸減??；②動力學模型跟蹤誤差收斂較快，顯著小于運動學模型，表現(xiàn)出較好的跟蹤精度；③在動力學模型中，Bank模型性能優(yōu)于其他2種模型，Spiral模型略微優(yōu)于MaRV模型，但差別不大。

4.2 不同動力學模型條件下IMM估計性能仿真

為分析氣動參數(shù)估計性能，對不同動力學模型條件下IMM算法進行仿真，MaRV模型的機動頻率參考第4節(jié)仿真環(huán)境數(shù)據(jù)。圖4和圖5分別給出3種動力學模型氣動參數(shù)估計值以及相應的RMSE仿真結果。其中，Bank模型的αt和αc的估計值是利用式(7)間接計算得到。從圖4和圖5中可以看出：①在當氣動參數(shù)劇烈變化時，不同動力學模型對氣動參數(shù)的估計均發(fā)生時延，估計誤差逐漸增大，且難以快速收斂，說明動力學模型難以精確估計氣動參數(shù)；②MaRV模型與Spiral模型對氣動參數(shù)的估計誤差量級相當，而Bank模型的估計精度則優(yōu)于上述2種動力學模型。

圖4 不同動力學模型氣動參數(shù)估計值Fig.4 Aerodynamic parameter estimation values of different dynamic models

圖5 不同動力學模型氣動參數(shù)估計RMSEFig.5 RMSE in aerodynamic parameter estimate of different dynamic models

對動力學模型仿真結果的原因進行分析：①MaRV模型未考慮各向氣動參數(shù)耦合的先驗信息，是一種相對“寬松”的解耦模型，導致估計性能下降；②Spiral模型中?本質上是加速度的一階導數(shù)信息，狀態(tài)濾波器無法提供關于?的先驗信息，其僅能通過Spiral參數(shù)濾波器間接辨識，導致?估計精度有限；③Bank模型中αB本質上加速度同階，因此利用狀態(tài)濾波器計算得到αB的偽量測值，由于考慮了氣動參數(shù)耦合信息，Bank模型能夠有效提高估計精度。

4.3 不同濾波器參數(shù)條件下IMM估計性能仿真

為檢驗不同濾波器參數(shù)對本文所提動力學跟蹤算法的影響，利用表1中6個算例從濾波算法、噪聲方差和采樣周期對模型性能進行分析。

利用算例1和2對不同濾波算法下動力學模型進行性能仿真，如圖6所示為位置與速度RMSE仿真結果。不難看出，無跡卡爾曼濾波(UKF)的估計精度雖然高于EKF，但相對于動力學模型對估計精度的提升，濾波算法的優(yōu)勢并不明顯?？梢?，模型的精細程度對跟蹤算法影響更大。

利用算例1和算例3～6對不同量測參數(shù)條件下的動力學模型進行性能仿真，如表2所示為位置、速度和氣動參數(shù)的RMSE均值對比情況?？梢钥闯觯孩匐S著量測噪聲方差增大或減小，各狀態(tài)量RMSE均值均隨之增大，但氣動參數(shù)估計誤差變化更為劇烈，可見量測噪聲對氣動參數(shù)估計影響較大；②隨著采樣周期增大或減小，各狀態(tài)量RMSE均值隨之增大或減小，但位置與速度估計誤差變化更為劇烈，可見采樣周期對位置與速度估計影響較大。

分析以上仿真結果可以得出以下結論：①濾波算法對不同動力學模型跟蹤算法性能影響有限，采用EKF可有效提高計算效率；②傳感器的噪聲方差大小直接影響了算法對目標狀態(tài)的估計精度；③調和氣動參數(shù)辨識精度與計算復雜度的矛盾，應當合理選擇采樣周期；④雖然濾波算法和和量測參數(shù)的變化使模型性能發(fā)生了改變，但總體上Bank性能優(yōu)于Spiral模型，Spiral模型略微優(yōu)于MaRV模型，進一步證實了4.1節(jié)和4.2節(jié)的結論。

表1 性能對比算例參數(shù)設置

算 例位置RMSE均值/m速度RMSE均值/ (m·s-1)αvRMSE均值/10-6αtRMSE均值/10-6αcRMSE均值/10-6MaRVSpiralBankMaRVSpiralBankMaRVSpiralBankMaRVSpiralBankMaRVSpiralBank1107.8105.797.0023.9423.0019.347.0696.7701.86180.8577.9571.2219.8620.0617.503173.2165.6158.532.8729.5425.8910.667.7892.50084.2281.2874.3020.5821.6418.114192.0187.4171.337.1232.6526.809.1328.5852.04786.5183.7876.3721.8222.1818.35585.6680.6176.6020.0119.4717.964.2274.1061.34374.2173.2668.3018.5819.6417.206167.6160.3142.633.5932.8926.4818.0417.4912.56100.797.7089.9723.2523.3219.41

5 結 論

1) 對HGV的加速度導數(shù)項進行了推導和分析，得出機動的實質是氣動加速度改變引起目標質心運動和繞質心運動變化的結論。為改善算法估計精度，應對目標的高階狀態(tài)進行建模。

2) 在非耦合氣動參數(shù)建模的基礎上，將氣動參數(shù)在轉彎和俯仰方向存在的耦合關系作為先驗信息，構建了Bank和Spiral模型。

3) 針對多模型條件下增廣模型導致計算復雜度增加的問題，使用一種由狀態(tài)濾波器和氣動參數(shù)濾波器組成的分離估計模型替代增廣模型。同時，對模型中變化較大的參數(shù)進行機動頻率IMM建模，提高了模型匹配程度。

4) 仿真結果表明，動力學模型性能顯著優(yōu)于運動學模型。同時，在不同條件下對比3種動力學模型可知，本文所提的2種模型對位置、速度和氣動參數(shù)的估計精度好于MaRV模型，Bank模型顯著優(yōu)于Spiral模型，且計算復雜度更小。下一步將繼續(xù)深入研究HGV動力學特性，以期構建更加精細的動力學模型，進一步改善估計精度。