伏開放，陳志祥

(1.廣東金融學(xué)院工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510521；2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

1 引言

生產(chǎn)系統(tǒng)在質(zhì)檢過程中存在風(fēng)險，一類風(fēng)險是將完美產(chǎn)品檢測為不完美產(chǎn)品，另一類風(fēng)險是將不完美品檢測為完美產(chǎn)品。在這種條件下，傳統(tǒng)的生產(chǎn)-庫存決策優(yōu)化模型應(yīng)用價值就存在一定的局限性，因此，研究風(fēng)險質(zhì)檢行為下的生產(chǎn)-庫存具有重要的理論與現(xiàn)實意義。

目前也有一定的學(xué)者對產(chǎn)品質(zhì)量具有缺陷及質(zhì)檢過程中存在風(fēng)險的生產(chǎn)-庫存問題進(jìn)行了研究。Sana[1]在可變生產(chǎn)率的基礎(chǔ)上探討了質(zhì)量缺陷對最優(yōu)生產(chǎn)量的影響。Wee等[2]在假設(shè)質(zhì)量缺陷產(chǎn)品在允許缺貨的基礎(chǔ)上，運用報酬更新定理建立了生產(chǎn)庫存模型的期望平均成本。Mahata 和 Goswami[3]針對質(zhì)量缺陷產(chǎn)品分別建立非模糊成本模型與模糊成本模型，并對得出的最優(yōu)生產(chǎn)策略進(jìn)行了比較。Huang[4]研究了生產(chǎn)過程不穩(wěn)定的生產(chǎn)-庫存模型。Hsu和Hsu[5]在假設(shè)缺貨量完全延期供給的基礎(chǔ)上，將Huang[4]的模型拓展到允許缺貨情形。Wee等[6]建立了質(zhì)量缺陷產(chǎn)品在允許缺貨情形下的生產(chǎn)-庫存模型。Konstantaras等[7]在假設(shè)庫存允許缺貨及質(zhì)檢過程存在學(xué)習(xí)效應(yīng)的基礎(chǔ)上建立了質(zhì)量缺陷產(chǎn)品EOQ模型。Lin[8]針對以往研究中忽視質(zhì)檢過程中存在的質(zhì)檢風(fēng)險，將質(zhì)檢過程中存在的兩類風(fēng)險拓展到Huang[4]的模型中，重點分析了風(fēng)險誤差對最優(yōu)策略造成的影響。潘偉[9]考慮供應(yīng)中斷風(fēng)險，構(gòu)建了包含模糊目標(biāo)、隨機約束和情景分析的多產(chǎn)品線性/非線性訂單分配模型。伏開放和陳志祥[10]考慮生產(chǎn)過程中存在的學(xué)習(xí)效應(yīng)及質(zhì)檢過程中的風(fēng)險，構(gòu)建了JIT生產(chǎn)-庫存優(yōu)化模型。Hsu和Hsu[11]考慮質(zhì)檢風(fēng)險，對文獻(xiàn)[5]進(jìn)行了拓展。Sarkar和Saren[12]在存在質(zhì)量保證成本的條件下，研究了質(zhì)檢風(fēng)險對生產(chǎn)策略的影響。李稚和譚德慶[13]針對不同客戶的需求，假設(shè)生產(chǎn)時間服從愛爾朗分布，給出了生產(chǎn)-庫存最優(yōu)控制策略。

在生產(chǎn)-庫存優(yōu)化研究中處理需求的不確定性做法有兩種，一種是采用概率論與隨機過程方法，另一個是引入模糊概念。一般情況下，學(xué)術(shù)界比較多采用概率論與隨機過程方法處理需求不確定性，但是當(dāng)需求的隨機分布特征不明確時，因模糊集理論無需假定假定數(shù)據(jù)服從何種概率分布，可以避免歷史數(shù)據(jù)收集不足的問題，采用模糊數(shù)學(xué)的處理方法則可以更有效解決需求不確定性問題。諸多學(xué)者從不同角度對模糊需求與模糊生產(chǎn)率的生產(chǎn)-庫存模型進(jìn)行了研究。

Hsieh[14]運用梯形模糊數(shù)對EPQ模型中包括需求等的各類參數(shù)進(jìn)行了模糊化處理，運用擴展拉格朗日法對模型進(jìn)行了求解。Kumar和Goswami[15]研究了模糊隨機需求連續(xù)補貨對最優(yōu)策略的影響。Pan和Yang[16]分別建立了需求為模糊數(shù)與需求和生產(chǎn)率均為三角模糊數(shù)的生產(chǎn)-庫存模型，并采用符號距離法對所建立的總成本模型進(jìn)行了逆模糊化處理。Bag等[17]建立了生產(chǎn)過程具有柔性與可靠性的模糊隨機需求下的生產(chǎn)-庫存模型。Shekarian等[18]及Sarkar和Mahapatra[19]對模糊生產(chǎn)庫存進(jìn)行了綜述。李群霞和張群[20]利用梯形模糊數(shù)對需求等參數(shù)進(jìn)行了模糊化處理，建立了模糊化的生產(chǎn)庫存總成本函數(shù)。胡玉梅和胡勁松[21]研究了LR型模糊需求下缺貨需補的連續(xù)盤點庫存優(yōu)化問題。張川等[22]運用三角模糊數(shù)研究了不確定條件下模糊需求、允許缺貨、有拖后補的庫存管理問題。陳德慧和陳東彥[23]在考慮客戶需求具有模糊隨機性的基礎(chǔ)上，將設(shè)施選址、車輛路徑和庫存控制等3個層次的決策進(jìn)行集成優(yōu)化。郭子雪和齊美然[24]構(gòu)建了三角模糊信息環(huán)境下應(yīng)急物資動態(tài)控制模型。劉長石[25]等考慮應(yīng)急物流網(wǎng)絡(luò)中的多周期應(yīng)急物資的模糊需求，研究了應(yīng)急物資多方式供應(yīng)的模糊動態(tài)LRP問題。李陽等[26]給出了求解模糊需求車輛路徑問題的兩階段變鄰域禁忌搜索算法。

本文是對Hsu和Hsu[5]模型的拓展。Hsu和Hsu[5]的模型雖然也考慮了生產(chǎn)過程中的不完備性導(dǎo)致的質(zhì)量缺陷，但沒有考慮零售商質(zhì)檢過程中存在的風(fēng)險質(zhì)檢行為。本文在考慮質(zhì)檢風(fēng)險行為的基礎(chǔ)上，首先將模型拓展到模糊需求情形，其次又將模型拓展到模糊需求與模糊生產(chǎn)率情形，基于三角模糊數(shù)建立模糊總成本，采用符號距離法對模糊總成本逆模糊化，進(jìn)一步得到最優(yōu)訂購量、最有供貨次數(shù)的解析解。

2 模型描述及符號說明與模型假設(shè)

由單一制造商與單一零售商構(gòu)成生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)，零售商每次訂購量為Qp，每個周期內(nèi)生產(chǎn)Qp數(shù)量的產(chǎn)品，制造商分n次供貨，每次供貨量為Q。由于生產(chǎn)過程中存在的諸多不確定性因素，制造商生產(chǎn)的產(chǎn)品存在缺陷品。零售商對每次收到的產(chǎn)品進(jìn)行100%質(zhì)檢，用完美產(chǎn)品滿足顧客需求，不完美品由制造商下次供貨返回時運回。當(dāng)零售商發(fā)生缺貨時，顧客愿意等待，且缺貨期間的需求與不缺貨時相同，但零售商需承擔(dān)延期供給費。

本文模型中用到的參數(shù)和變量定義如下：

n：一個生產(chǎn)周期內(nèi)制造商向零售商的供貨次數(shù)(決策變量)；Q：制造商每次向零售商的供貨量(決策變量)；Qp：制造商每個周期內(nèi)的最大生產(chǎn)量，Qp=nQ；D：零售商面臨的需求(單位/年)；Sv：制造商生產(chǎn)準(zhǔn)備成本(元/次)；SB：零售商每次訂購的訂貨費(元/次)；F：零售商每次運輸?shù)墓潭ǔ杀?元/次)；?：零售商單位質(zhì)檢成本(元/年)；v：制造商向零售商單位缺陷品質(zhì)量保證成本；b：零售商單位產(chǎn)品延期供給費；T：連續(xù)兩次供貨的時間間隔(年)；t1：零售商的庫存水平從最大降至零的時間(年)；t2：零售商的庫存水平由零達(dá)到最大短缺水平的時間(年)；hv：制造商單位產(chǎn)品存儲成本(元/單位/年)；hB：零售商完美產(chǎn)品單位存儲成本(元/單位/年)；TC：一個循環(huán)周期TC=nT；ζ：制造商每次供貨的缺陷品率；f(ζ)：制造商每次供貨的缺陷品的概率密度函數(shù)；τ：一類質(zhì)檢風(fēng)險，即將合格品質(zhì)檢為不良品的風(fēng)險，這類風(fēng)險也叫棄真風(fēng)險。這類風(fēng)險將導(dǎo)致生產(chǎn)者產(chǎn)生損失，也叫生產(chǎn)者風(fēng)險；ψ：二類質(zhì)檢風(fēng)險，即將不良品檢測為合格品的風(fēng)險，這類風(fēng)險將導(dǎo)致消費者產(chǎn)生損失，因此也叫消費者風(fēng)險；γ：在兩類質(zhì)檢風(fēng)險下，產(chǎn)品的綜合缺陷品率，有γ=(1-ζ)τ+ζ(1-ψ)。

本文模型的建立基于如下假設(shè)：

(1)單一制造商單一零售商構(gòu)成一個生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)，該系統(tǒng)僅生產(chǎn)一類產(chǎn)品，制造商在生產(chǎn)過程中由于諸多不確定因素，生產(chǎn)的產(chǎn)品存在質(zhì)量缺陷。缺陷率為ζ。

D，0<Δ2，D-Δ1為模糊需求的下限，D為平均需求，D+Δ2為模糊需求的上限。

(3)零售商對制造商供貨的產(chǎn)品進(jìn)行100%質(zhì)檢，風(fēng)險質(zhì)檢過程瞬時完成，風(fēng)險質(zhì)檢過程中存在兩類質(zhì)檢風(fēng)險，一類質(zhì)檢風(fēng)險(Type-Ⅰrisk)與二類質(zhì)檢風(fēng)險(Type-Ⅱrisk)。缺陷品保存至制造商下一次供貨，由制造商運回處理。

(4)生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)允許缺貨，且缺貨量B完全延期供給。

3 模糊生產(chǎn)-庫存模型

3.1 模糊需求下的生產(chǎn)-庫存模型

3.1.1 零售商模糊成本模型

零售商成本包括訂購成本、運輸成本、質(zhì)檢成本、存儲成本、缺貨成本，在連續(xù)兩次供貨時間間隔T時間內(nèi)，零售商的總成成本為：

TCB(n,Q,B)=SB+nF+?nQ

(1)

3.1.2 制造商模糊成本模型

圖1顯示了制造商的庫存水平變化和累積供應(yīng)情況。制造商的成本包括生產(chǎn)準(zhǔn)備成本、對于缺陷品的質(zhì)量保證成本及存儲成本，即：

TCv(n,Q)=Sv+vnQγ

(2)

由零售商與制造商構(gòu)成的集成生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的總成本為：

(3)

圖1 制造商的庫存水平變化和累積供應(yīng)圖

因γ是質(zhì)檢后產(chǎn)品的綜合缺陷品率，是一隨機變量，需要對其求數(shù)學(xué)期望，令h=E[γ]、λ=1/(1-E[γ])，化簡可得集成生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的期望平均成本：

(4)

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)，令

(7)

命題1W(n,Q,B)是(Q,B)的聯(lián)合凸函數(shù)，存在唯一的(Q*(n),B*(n))使得生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的平均總成本最低。

證明W(n,Q,B)關(guān)于Q和B的Hessian矩陣如下：

>0

由此可得W(n,Q,B)關(guān)于Q和B的Hessian矩陣是正定矩陣，可判定W(n,Q,B)是(Q,B)的聯(lián)合凸函數(shù)。令?W(n,Q,B)/?Q=0、?W(n,Q,B)/?B=0，也即

(8)

求解上述方程組(8)可得：

(9)

(10)

其中：l=hB{E[(1-γ)2]+2h-2E[γ2]}-δ

由此可證W(n,Q,B)是(Q,B)的聯(lián)合凸函數(shù)，

存在唯一的(Q*(n),B*(n))使得生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的平均總成本最低。證畢。

命題2 給定Q和B，W(n,Q,B)是關(guān)于n的凸函數(shù)。

證明 對式(7)求關(guān)于n的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)

因?2W(n,Q,B)/?n2>0，故給定Q和B，W(n,Q,B)是關(guān)于n的凸函數(shù)。證畢。

采用如下步驟確定n*使得W(n,Q,B)最小。

步驟1：令n=1；

步驟2：集成生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的決策者選擇Δ1和Δ2，將Δ1和Δ2代入式(9)，得Q*(n)、將Q*(n)代入式(10)得B*(n)；

步驟3：將步驟2所得Q*(n)、B*(n)代入W(n,Q,B)，得W(n,Q*(n),B*(n))，跳轉(zhuǎn)到步驟4；

步驟4：令n=n+1，重復(fù)步驟3；

步驟5：若W(n,Q*(n),B*(n))≤W(n,Q*(n-1),B*(n-1))且W(n,Q*(n),B*(n))≤W(n,Q*(n+1),B*(n+1))，則n=n*；

步驟6：將n*代入由步驟2得到的Q*(n)、B*(n)，有Q*(n*)、B*(n*)；

步驟7：將Δ1、Δ2、n*、Q*(n*)、B*(n*)代入式(5)，得最小成本W(wǎng)(n*,Q*,B*)。

Q*(n)

其中：l=hB{E[(1-γ)2]+2h-2E[γ2]}-δ

3.2 模糊需求與模糊生產(chǎn)率下的生產(chǎn)-庫存模型

在模糊需求與模糊生產(chǎn)率下生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的期望平均本為：

(11)

(12)

(13)

命題3Z(n,Q,B)是(Q,B)的聯(lián)合凸函數(shù)，存在唯一的(Q*(n),B*(n))使得生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的平均總成本最低。

命題3的證明過程與命題1類似。此處略去命題3的證明過程。

命題4給定Q和B，Z(n,Q,B)是關(guān)于n的凸函數(shù)。

命題4的證明過程與命題2類似。此處略去命題4的證明過程。

對Z(n,Q,B)分別求關(guān)于Q和B的一階導(dǎo)數(shù)，令?Z(n,Q,B)/?Q=0、?Z(n,Q,B)/?B=0，即

求解上述方程組可得：

(14)

(15)

其中：χ=hB{E[(1-γ)2]+2h-2E[γ2]}-δ

采用如下步驟確定n*使得Z(n*,Q*,B*)最小。

步驟1：令n=1；

步驟3：將步驟2所得Q*(n)、B*(n)代入Z(n,Q,B)，得Z(n,Q*(n),B*(n))，跳轉(zhuǎn)到步驟4；

步驟4：令n=n+1，重復(fù)步驟3；

步驟5：若Z(n,Q*(n),B*(n))≤Z(n,Q*(n-1),B*(n-1))且Z(n,Q*(n),B*(n))≤Z(n,Q*(n+1),B*(n+1))，則n=n*；

步驟6：將n*代入由步驟2得到的Q*(n)、B*(n)，有Q*(n*)、B*(n*)；

步驟7：將Δ1、Δ2、Δ3、Δ4、n*、Q*(n*)、B*(n*)代入式(13)，得最小成本Z(n*,Q*,B*)。

此時

其中：l=hB{E[(1-γ)2]+2E[γ]-2E[γ2]}-δ

4 算例仿真與敏感性分析

參考Hsu和Hsu[5]結(jié)合本文模型，擬定參數(shù)如下：生產(chǎn)率P=160000(單位/年)；需求，D=50000(單位/年)；生產(chǎn)準(zhǔn)備成本，Sv=300(元/次)；每次訂購的訂貨費，SB=100(元/次)；每次運輸?shù)墓潭ǔ杀?，F(xiàn)=25(元/次)；制造商單位存儲成本，hv=2(元/單位/年)；零售商單位存儲成本，hB=5(元/單位/年)；單位篩選成本，?=0.5(元/單位)；單位缺貨成本，b=10(元/單位)；缺陷品單位質(zhì)量保證成本，v=30(元/單位)；β=0.04。產(chǎn)品的缺陷率ζ服從均勻分布，其概率密度如下:

當(dāng)β=0.04時，得E[ζ]=0.02，E[ζ2]=0.0005，E[(1-ζ)2]=0.9605。

圖2 Δ2-Δ1變化對最優(yōu)訂購量與最優(yōu)缺貨量的影響

在分析β、τ、ψ變化對最優(yōu)策略產(chǎn)生的影響時，取Δ3=50000、Δ4=40000。觀察圖4、7、8可知，當(dāng)Δ2>Δ1時曲線總是在最上，當(dāng)Δ2>Δ1時曲線在中間，當(dāng)Δ2<Δ1時曲線在最下。

由表2及圖4知，最優(yōu)成本隨β的增加而增大，且呈現(xiàn)快速增大的趨勢；三類情形下(Δ2>Δ1、Δ2=Δ1、Δ2<Δ1)，最優(yōu)成本之間的差值越來越大。隨著β的增加，Q*整體呈現(xiàn)增加趨勢，當(dāng)β>0.16時，Δ2=Δ1、Δ2<Δ1兩類情形下的訂購量因最優(yōu)供貨次數(shù)的增加，最優(yōu)訂購量減少。

當(dāng)ψ=0.02保持不變，τ從0.01變化到0.1時，也即一類質(zhì)檢風(fēng)險的概率增加時，因需要更多的合格品來滿足消費者需求，最優(yōu)訂購量增加最終使得總成本增加。表4、圖5、圖6知，整體而言最優(yōu)訂購量隨一類質(zhì)檢風(fēng)險τ的增加而增加、缺貨量隨τ的增加而減少(圖5)。因Q*增加不足抵消1-E[γ]帶來的減少，使得B*減小(圖6)。τ變化引起Z(n*,Q*,B*)的變化趨勢與β變化引起的變化(圖4)相似(圖7)。

表1 Δ1與Δ2變化對最優(yōu)策略的影響

表2 β變化對最優(yōu)策略的影響(τ=0 ψ=0)

表3 τ變化對最優(yōu)策略的影響(β= 0.04 ψ= 0.02)

續(xù)表3 τ變化對最優(yōu)策略的影響(β= 0.04 ψ= 0.02)

表4 ψ變化對最優(yōu)策略的影響(β= 0.04 τ= 0.01)

圖變化對最優(yōu)成本的影響

圖4 β變化對最優(yōu)成本的影響

當(dāng)τ=0.01保持不變，ψ從0.02變化到0.11時時，也即二類質(zhì)檢風(fēng)險的概率增加時，零售商不需要訂購更多的產(chǎn)品滿足需求，故最優(yōu)訂購量隨著二類質(zhì)檢風(fēng)險ψ的增加而減小，最終導(dǎo)致總成本的減少(圖8)。由表4知，Q*、B*對ψ的變化極不敏感。

圖5 τ變化對最優(yōu)訂購量的影響

圖6 τ變化對最優(yōu)缺貨量的影響

圖7 τ變化對最優(yōu)成本的影響

圖8 ψ變化對最優(yōu)成本的影響

5 結(jié)語

本文研究在風(fēng)險質(zhì)檢行為下產(chǎn)品需求與生產(chǎn)率均具有模糊屬性的,由單制造商與單零售商構(gòu)成的生產(chǎn)-庫存優(yōu)化問題。文章分需求為三角模糊數(shù)，需求與生產(chǎn)率均為三角模糊數(shù)兩類情形，在假設(shè)生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)允許缺貨及質(zhì)檢過程存在風(fēng)險的基礎(chǔ)上，分別建立了總成本模型，運用符號距離法進(jìn)行了逆模糊化處理。通過證明和分析主要有如下結(jié)論：

(1)當(dāng)需求為三角模糊數(shù)時，隨著需求不確定性(Δ2-Δ1)的增大，MQ與MW增大,即模糊情形下的最優(yōu)訂貨量與最優(yōu)成本相比非模糊需求情形下更大。隨著不確定性的增大，最優(yōu)訂購量、最優(yōu)缺貨量、最優(yōu)成本近乎呈現(xiàn)線性增大。

(3)β的增大導(dǎo)致期望缺陷率增大，最優(yōu)成本隨期望缺陷率的增大而增大，且呈現(xiàn)快速增大的趨勢。一類風(fēng)險τ增大使得最優(yōu)訂購量增加減，使得最優(yōu)缺貨量減少，使得最優(yōu)成本的變化趨勢與β變化引起最優(yōu)成本的變化相似，均使得最優(yōu)成本快速增加。最優(yōu)訂購量隨著二類的增加而減小，最優(yōu)訂購量與最優(yōu)缺貨量對二類質(zhì)檢風(fēng)險的變化不敏感。

在本文基礎(chǔ)上,在后續(xù)研究中可有多種可擴展的研究方向, 比如將探討質(zhì)檢風(fēng)險的測量用其他的方法進(jìn)行描述或者建立數(shù)學(xué)模型, 另外,本文假設(shè)制造商僅生產(chǎn)單一品種產(chǎn)品，在后續(xù)研究中可探討風(fēng)險質(zhì)檢條件下的制造商生產(chǎn)多品種產(chǎn)品的生產(chǎn)-庫存問題。