☉江蘇省南通市通州區(qū)平潮實驗初中 叢遠林

一、題目來源

題目：（2018年江蘇·南通卷第28題第（3）問）【定義】如圖1，A、B為直線l同側(cè)的兩點，過點A作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A、B關于直線l的“等角點”.

圖1

圖2

題目中的新定義來源于人教版八年級上冊“13.4課題學習 最短路徑問題”問題1的解答，由于∠APM=∠BPH，給出了“等角點”的新定義.

將等邊三角形外接圓中一個簡單結(jié)論放到新定義背景下.作等邊三角形ABC的外接圓O′（如圖3），點P在弧ACB上（不與點A、B重合）.當點P不與點C重合時，作直線CP，發(fā)現(xiàn)始終有∠APC=∠BPD，所以在等角點新定義背景下，圖3中任何一條直線CP，點P就成了點A、B關于直線CP的等角點，也就是說任何一條直線CP，都成為定義中的直線l.當點P與點C重合時，過點C作圓的切線，點C是點A、B關于這條切線的等角點，這條切線是定義中的直線l.圖3中定義中的直線l都過點C，圖3中直線l的臨界線是直線CA、CB.

圖3

將圖3放入平面直角坐標系中，與一次函數(shù)結(jié)合，如圖4，直線y=ax+b都過點C，直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB.又a≠0，所以平行于x軸的直線CS不合題意，所以臨界線是直線CA、CB、CS.求出這三條直線解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖4

圖5

圖6

二、題目再創(chuàng)造

1.類比

（1）當∠APB=120°時，其他條件不變，求b的取值范圍.

分析：如圖6，作過點A、B的圓O′，O′在直線AB的左上方，使∠AO′B=120°，則點P在弧AB上（不與點A、B重合）.點C′為弧AB的中點，當點P不與點C′重合時，作直線C′P，則始終有∠APD=∠BPC′，點P都是點A、B關于直線C′P的等角點.當點P與點C′重合時，過點C′作圓的切線，點C′是點A、B關于這條切線的等角點，定義中的直線l都過點C′.直線y=ax+b的臨界線是直線C′A、C′B，求出這兩條直線解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

在Rt△AOC′中，∠AOC′=90°，∠AC′O=60°，OA=.構(gòu)造Rt△C′RO Rt△OQB，求出求出直線C′A中，直線C′B中，所

∠APB換成鈍角，結(jié)論形式發(fā)生了變化.

（2）當點P位于直線AB的左上方，∠APB=45°時，其他條件不變，求b的取值范圍.

分析：如圖7，作過點A、B的圓O′，O′在直線AB的左上方，使∠AO′B=90°，則點P在弧ACB上（不與點A、B重合）.點C為弧ACB的中點，直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB、CR，求出這三條直線的解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖7

圖8

2.互換題設和結(jié)論

分析：作點A關于直線y=x-5的對稱點A′（如圖8）.由于AA′⊥PM，可求出直線AA′的解析式中的，從而求出直線AA′的解析式.聯(lián)立方程，求出點M（5，0），所以A（′8，-），求出直線A′B的解析式y(tǒng)=-，求出點P（4，-），用兩點之間距離公式求出AM、AP的長，

解Rt△AMP，求出∠APM=60°，所以∠APB=60°.

分析：α為定值，90°＜α＜180°，如圖6，直線y=ax+b的臨界線是直線C′A、C′B. 又所以直線C′A中的，直線C′B中的從而求出直線C′A、C′B的解析式.聯(lián)立方程，求出點.解Rt△AOC′，求出∠AC′O=60°，從而α=120°.

3.拓展

等邊三角形外接圓中結(jié)論可拓展為一般情形.如圖9，點C是弦AB所對弧的中點，點P在弧ACB上（不與點A、B重合）.當點P不與點C重合時，作直線CP，發(fā)現(xiàn)始終有∠APC=∠BPD.當點P與點C重合時，過點C作圓的切線MN，有∠ACM=∠BCN.

圖9

圖10

分析：當點P在直線AB的右下方時.

如圖10，作過點A、B的圓O′，使∠AO′B=2α，點C為弦AB所對優(yōu)弧的中點，則點P在弧ACB上（不與點A、B重合）.當點P不與點C重合時，作直線CP，則始終有∠APC=∠BPD，點P是點A、B關于直線CP的等角點.當點P與點C重合時，過點C作圓的切線，點C是點A、B關于這條切線的等角點，定義中的直線l都過點C.直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB、CS（如圖11），求出這三條直線的解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖11

圖12

當點P在直線AB的左上方時.

分析：當點P在直線AB的右下方時.

如圖13，作過點A、B的圓O′，使∠AO′B=360°-2α，點C為弦AB所對劣弧的中點，則點P在弧ACB上（不與點A、B重合）.直線y=ax+b的臨界線是直線CA、CB，求出這兩條直線解析式中的b，就知道了b的取值范圍.

圖13

圖14

當點P在直線AB的左上方時.