☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

一、模型呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足為D，∠BAE是頂角∠BAC的外角，則：

（1）∠BAC=2∠DBC，即等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半；

（2）∠BAE=2∠ABC=2∠ACB，即等腰三角形頂角的外角等于一個(gè)底角的兩倍.

證明：（1）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，則∠FAC+∠ACB=90°.

由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可知AF平分∠BAC，即∠FAC=∠BAC.

圖1

圖2

由BD⊥AC，可知∠BDC=90°，所以∠DBC+∠ACB=90°.

由“同角的余角相等”，可知∠FAC=∠DBC，所以∠DBC=∠BAC，即∠BAC=2∠DBC.

說明：圖1給出的等腰△ABC是銳角三角形，當(dāng)?shù)妊鰽BC是鈍角三角形時(shí)，結(jié)論依然成立；當(dāng)?shù)妊鰽BC是直角三角形時(shí)，結(jié)論顯然成立.

（2）利用等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)容易證明，此處從略.

這是等腰三角形中兩個(gè)重要的倍角關(guān)系，利用這兩個(gè)倍角關(guān)系可破解中考?jí)狠S題.

二、模型應(yīng)用

例1（2018年江蘇省揚(yáng)州市）如圖3，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

圖3

（1）當(dāng)t=2時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為_______.

（2）當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，求t的值.

（3）當(dāng)t=1時(shí)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖4所示.問：該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，OP=2，AP=1，AQ=4，所以P（2，0）、Q（3，4）.

圖4

（2）由已知條件易知PA=3-t，AQ=2t，BQ=6-2t.

△CBQ與△PAQ相似有兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)列方程易求得答案.請(qǐng)有興趣的讀者自行探究，限于篇幅，此處從略.

（3）當(dāng)t=1時(shí)，易求得P（1，0）、Q（3，2）.將其代入y=x2+bx+c，得所以拋物線的解析式為y=x2-3x+2，從而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2）.又因?yàn)镼（3，2），即點(diǎn)M與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等，所以MQ∥OA.因?yàn)椋┦菕佄锞€y=x2-3x+2的頂點(diǎn)，由二次函數(shù)的對(duì)稱性易知△KMQ是等腰三角形，KM=KQ，∠MKQ是等腰△KMQ的頂角.根據(jù)等腰三角形中的倍角關(guān)系“等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半”，可知過點(diǎn)Q作KM的垂線，交拋物線于點(diǎn)D1，則∠MQD1=∠MKQ，如圖4所示.

如圖4，作拋物線y=x2-3x+2的對(duì)稱軸，交MQ于點(diǎn)E.

由等腰三角形的性質(zhì)，易知∠EKQ=∠MQD1，故tan∠MQD=tan∠EKQ=.又因?yàn)镸Q=3，OM=2，所以易1知直線QD1經(jīng)過原點(diǎn)O.利用待定系數(shù)法易求得直線QD1的表達(dá)式為y=x.

如圖4，作直線QD1關(guān)于直線MQ的對(duì)稱直線，得到直線QD，點(diǎn)D在拋物線上.易求得直線QD的解析式為y=-x+4.222

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、方程、三角形的綜合性問題，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的解法、待定系數(shù)法等知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定的最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容.本題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，承載著較強(qiáng)的中考選拔性功能.本題綜合性較強(qiáng)，求解過程比較復(fù)雜，對(duì)學(xué)生而言具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性.解決問題（2）的關(guān)鍵是用t表示出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，再利用相似三角形的性質(zhì)即可找到相關(guān)線段之間的關(guān)系，通過列方程即可解決問題.對(duì)于問題（3），這是一個(gè)倍角或半角關(guān)系的存在性問題，解決本題的難點(diǎn)是將倍角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系，確定點(diǎn)D所在的直線，然后利用相似三角形或三角函數(shù)、一次函數(shù)、一元二次方程等知識(shí)求解.等腰三角形中的倍角關(guān)系模型在本題求解過程中發(fā)揮了重要作用，為本題的解決指引了具體的操作方向，這也是幾何模型在解決問題過程中發(fā)揮作用的基本方式.確定點(diǎn)D1的坐標(biāo)后，根據(jù)對(duì)稱性在圖4中易作出點(diǎn)D2，利用相同的方法可求出點(diǎn)D2的坐標(biāo).從求解過程可以看出，立足基本圖形，深刻理解基本圖形的性質(zhì)，對(duì)分析問題和解決問題具有非常重要的引領(lǐng)作用.

例2（2018年河南?。┤鐖D5，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.直線y=x-5經(jīng)過點(diǎn)B、C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M.

①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B、C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析：（1）由一次函數(shù)的性質(zhì)易知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-5）.將其代入y=ax2+6x+c，得解得所以拋物線的解析式為y=-x2+6x-5.

②如圖6，∠ACB是定角，點(diǎn)M在直線BC上.由已知，直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍，則∠AMB=2∠ACB或∠AMC=2∠ACB.由等腰三角形頂角的外角與底角的關(guān)系，易知構(gòu)造等腰三角形，使∠ACB是等腰三角形的底角，∠AMB或∠AMC是這個(gè)等腰三角形頂角的外角.根據(jù)圖形特征，顯然△AMC是等腰三角形，∠AMB是這個(gè)等腰三角形頂角的外角.

如圖6，作線段AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交直線y=x-5于點(diǎn)M1，連接AM1，則△ACM1是等腰三角形.由此可知，∠AM1B=2∠ACB.以點(diǎn)A為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)，以AM1為等腰三角形的腰構(gòu)造另一等腰三角形，落在直線BC上的頂點(diǎn)為M2，∠AM2C=2∠ACB.從而可知，滿足條件的點(diǎn)M有兩個(gè).

如圖6，過點(diǎn)M1作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)C作直線FM1的垂線，垂足為E，過點(diǎn)M2作x軸的垂線，垂足為G.

易知A（1，0）、C（0，-5）.令M1（m1，m1-5）、M2（m2，m2-5），則AF=m1-1，F(xiàn)M1=5-m1，CE=m1，EM1=m1，GM2=5-m2，AG=m2-1.

圖5

圖6

由AM1=CM1及勾股定理，可知AF2+FM12=CE2+EM12.

所以（m1-1）2+（5-m1）2=m12+m12，解得m1=，故

由AM1=AM2及勾股定理，可知AF2+FM12=AG2+GM22，

綜上所述，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、一元一次方程、一元二次方程、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn).本題涉及的內(nèi)容比較多，綜合性較強(qiáng)，求解過程比較復(fù)雜，對(duì)學(xué)生而言具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性.在問題（2）中，問題①是平行四邊形的存在性問題，這是中考數(shù)學(xué)壓軸題中最常見的一類問題，解決這類問題通常需要借助平行四邊形的判定與性質(zhì)，列方程求解；或借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直接利用“平行四邊形對(duì)角頂點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)之和相等”這一結(jié)論求解；問題②是倍角關(guān)系的存在性問題，根據(jù)圖形的基本特征，解決本題的難點(diǎn)是將問題中的倍角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等腰三角形頂角的外角與底角之間的關(guān)系，然后借助勾股定理列方程求解.等腰三角形頂角的外角與底角之間的倍角關(guān)系模型在本題求解過程中發(fā)揮了引領(lǐng)作用.確定點(diǎn)M1的坐標(biāo)后，借助對(duì)稱性或輔助圓在圖6中易作出點(diǎn)M2，利用相同的方法可求出點(diǎn)M2的坐標(biāo).

說明：由于初中學(xué)生未曾接觸平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式，所以問題②借助勾股定理列方程求解.當(dāng)然，對(duì)于教師而言，本題還可以先求出直線DM1的解析式，然后聯(lián)立方程求解.

三、解題反思

1.關(guān)注基本圖形和幾何模型

圖形與幾何是初中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，在近幾年各地中考試題中，將幾何圖形與函數(shù)圖像融合的壓軸題屢見不鮮，這類試題所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生而言極具挑戰(zhàn)性.筆者認(rèn)為，所有與幾何圖形有關(guān)問題的解決，幾乎都要回歸到基本圖形的性質(zhì)，只有熟練掌握基本圖形的性質(zhì)，深刻理解基本圖形的性質(zhì)在解題中發(fā)揮作用的方式，才能得心應(yīng)手地運(yùn)用基本圖形解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，才能不斷提高學(xué)生的幾何推理能力.因此，在圖形與幾何教學(xué)中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想.其一，不僅要讓學(xué)生熟練掌握平行線、角平分線、中線、高線、垂直平分線、等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等基本幾何圖形的性質(zhì)，而且要理解這些基本幾何圖形的性質(zhì)在解決問題中的作用與應(yīng)用方式；其二，全等三角形與相似三角形也是非常重要的幾何模型，不僅要理解它們的性質(zhì)與判定，而且要學(xué)會(huì)運(yùn)用它們解決實(shí)際問題；其三，要讓學(xué)生熟練掌握平移、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等基本圖形變換的性質(zhì)及其在解題中的作用.

2.發(fā)揮幾何模型的解題引領(lǐng)作用

如果學(xué)生熟練掌握基本幾何圖形的性質(zhì)，內(nèi)化為自身的幾何素養(yǎng)，在解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，就能準(zhǔn)確找到與之對(duì)應(yīng)的幾何模型，然后采取行之有效的解題方法與策略，從而為考試節(jié)省不少時(shí)間.筆者認(rèn)為，解決問題的過程中，雖然不宜直接利用幾何模型的相關(guān)結(jié)論，但幾何模型能夠?yàn)榻忸}指引正確的方向，合理地使用幾何模型能使原本復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單易解，使學(xué)生少走彎路，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想.王尚志教授曾指出，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”這六大核心素養(yǎng).推理能力是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分，幾何推理是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要載體.因此，幾何推理能力對(duì)學(xué)生而言至關(guān)重要.波利亞曾說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本形式，也是學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主要內(nèi)容.因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題.波利亞在其著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究和講授》中認(rèn)為：“解題是一種本領(lǐng)，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能夠靠模仿和實(shí)踐才能學(xué)到它”“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練”.筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于歸納總結(jié)基本幾何模型，形成模型思想，這是培養(yǎng)初中生幾何推理能力的有效途徑之一.