☉廣東省珠海市拱北中學(xué) 吳 巖

廣東省2018年中考數(shù)學(xué)第24題，滿分9分.珠海市參加考試學(xué)生17251人，平均分為1.74分，標準差為2.09，各分數(shù)段人數(shù)及比例如下：

表1

原題呈現(xiàn)：如圖1，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，連接AC、OD交于點E.

（1）證明：OD//BC；

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；

（3）在（2）的條件下，連接BD交⊙O于點F，連接EF，若BC=1，求EF的長.

圖1

圖2

一、典型解法

（1）解法1：（證兩次全等）如圖2，連接OC.

由OA=OC，AD=CD，OD=OD，得△AOD △COD（SSS）.

則∠1=∠2.

又OA=OC，OE=OE，則△AOE △COE（SAS）.

則AE=CE.

又OA=OB，則OE是△ABC的中位線.

則OE//BC.即OD//BC.

點評：這是最常規(guī)的一種證法，大多數(shù)學(xué)生采用這種證法.也有證完全等之后用三線合一證E是AC的中點的；也有證完全等之后用△OBC的外角∠AOC來證明∠2=∠4的；也有用圓周角定理證∠1=∠3的；也有用垂徑定理證OM⊥AC的.

解法2：（利用垂直平分線的判定定理）連接OC.

由OA=OC，得點O在線段AC的垂直平分線上.

同理，點D在線段AC的垂直平分線上.

則OD是線段AC的垂直平分線.

則OD⊥AC.

由AB是直徑，得∠BCA=90°，即BC⊥AC.

則OD//BC.

點評：這是最簡潔的一種證明方法，但采用此法的學(xué)生不多.

（2）解法1：（全等三角形）由tan∠ABC=2，得BC=AC.

又AB=DA，則Rt△ABC Rt△DAE（HL）.

則∠BAC=∠ADE.

則∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°.

則DA與⊙O相切.

點評：這是最常見的一種解法，但在寫全等理由的時候，有部分學(xué)生寫成了SAS或SSA.

解法2：（勾股定理及其逆定理）設(shè)BC=x.

由tan∠ABC=2，得AC=2x.

由AO2+AD2=x2=OD2，得∠OAD=90°.

則DA與⊙O相切.

點評：這種方法也有較多的學(xué)生使用.求DE的長是難點，不少學(xué)生因此半途而廢.

解法3：（用三角函數(shù)）由解法2知，AE=x，DE=2x，∠AED=90°，則tan

則∠BAC=∠ADE.

則∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°.

則DA與⊙O相切.

點評：也有用∠BAC和∠ADE的正弦、余弦三角函數(shù)證明的，方法類似.但不少學(xué)生在求正切值時使用tan∠ADE=，默認∠OAD=90°，犯了循環(huán)論證的錯誤.

（3）解法1：（證△DEF △DBO）由BC=1，AC=ED=2，得AD=CD=AB=

由AB=AD，AB⊥AD，得△ABD是等腰直角三角形.

如圖4，連接AF，則AF⊥BD，則F是BD的中點.

又∠EDF=∠BDO，則△DEF △DBO.

圖4

圖5

點評：這是最常規(guī)的解法，大多數(shù)學(xué)生采用此種方法.也有用射影定理和切割線定理來證明對應(yīng)邊成比例的.因為AD2=DF·DB（切割線定理），AD2=DE·DO（射影定理），所以DF·DB=DE·DO.則

解法2：（證△OEF △OFD）如圖5，連接OF，由解法1知OE=

又∠EOF=∠FOD，則△OEF △OFD.

點評：與解法1有異曲同工之妙.

解法3：（證三角形全等）如圖6，分別延長EF與BC，其交點記為G.

由解法1知EC=1，DE=2，F(xiàn)是BD的中點.

易得△EFD △GFB.

則CG=BG-BC=ED-BC=2-1=1.

則△ECG是等腰直角三角形.

點評：構(gòu)思巧妙，運算量也不大.也可以連接并延長CF與DE交于點M，類似地證明△CEM是等腰直角三角形，可得，參見圖7.

圖6

圖7

解法4：（利用全等證等腰直角三角形）如圖8，由解法1知△ABD是等腰直角三角形，F(xiàn)是BD的中點，AF=BF=DF，AE=BC=1.

又∠CBF=∠EAF，則△CBF △EAF.

則CF=EF，∠EFA=∠CFB.

則∠EFC=∠CFB+∠EFB=∠AFE+∠EFB=∠AFB=90°.

點評：也可以用∠ABF=45°證明∠EFC=90°.具體如下：由∠ABF=45°，弧AF=弧AF，得∠ACF=∠ABF=45°.又CF=EF，則∠FEC=∠FCE=45°.則∠EFC=90°.

解法5：（利用弦切角求CF）如圖8，AF與DE的交點記為K.

在△AEK和△DFK中，∠AKE=∠DKF，∠AEK=∠KFD=90°，則∠EAK=∠KDF.

又由解法1知FD=AF，ED=AC，則△CAF △EDF.

則EF=CF.

易知CD是⊙O的切線.

則∠FCD=∠CBD（弦切角定理）.

又∠FDC=∠CDB，則△FDC △CDB.

圖8

點評：這是直接求CF長度的一種方法.

解法6：（證△ABC △OFM）如圖9，過點F作FM⊥OD，垂足為M，連接AF、OF.

OF是△ABD的中位線，則OF//AD.又AB⊥AD，則AB⊥OF.

由∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，得∠1=∠3.

又∠ACB=∠OMF，則△ACB △OMF.

圖9

點評：注意到AO=FO，可得△AOE △OFM，也能求EF的長.解法4～解法6揭示了圖中三組關(guān)鍵的全等三角形.本解法也可以不證全等，不證相似，直接設(shè)OM=x，則MD=-x， 利 用OF2-OM2=MF2=DF2-MD2， 列 方 程

解法7：（證兩次相似）由解法1知EC=1，ED=2，F(xiàn)D=

如圖10，過F作FM⊥MD.

易得△MFD △CHB.

點評：該證法是步驟較多，運算量較大的一種方法.

圖10

圖11

解法8：（構(gòu)造矩形）如圖11，過點D作DP⊥BC與BC的延長線交于點P，過點F作FM⊥OD，垂足為M，MF的延長線與BP交于點N.

易知四邊形ECPD、四邊形ECNM、四邊形MNPD都是矩形.

由解法1知ED=2.

則BP=BC+CP=BC+ED=1+2=3.

由解法1知F是BD的中點，則FN是△BPD的中位線.

點評：也有的過點B作BP⊥OD，同理可以求EF的值，參見圖12.

圖12

圖13

解法9：（平行線分線段成比例定理）如圖13，過F作F M//ED交AC于M.

易知MF⊥EC，BC//FM//ED.

由F是BD的中點，得M是EC的中點.

由∠FCA=∠FBA=45°，得∠MFC=45°.

點評：這是一種比較簡潔的證明方法.

解法10：（面積法）如圖14，過E作EQ⊥BD，垂足為Q，連接BE、AF.

點評：構(gòu)造普通的直角三角形求EF.另外一種類似的方法是：連接AF，過E作EM⊥AF，垂足為M.△AHF的三邊較易求得，AE=1，△AHF △AEM，可得EM、AM、FM的長，于是.參見圖15.

圖14

圖15

解法11：（構(gòu)造中位線）如圖16，連接BE、AF，過點B作BM⊥BE，與DE的延長線交于點M，連接BM.

則EF是△BDM的中位線.

圖16

圖17

圖18

點評：解法11是眾多解法中，思路最簡潔、運算量最少的一種方法.也可以連接并延長BE至M，使得EM=EB，連接MD，類似地證明，參見圖17.

解法12：（建立平面直角坐標系）如圖18，以O(shè)為原點，建立平面直角坐標系.

點評：也可以先證F是BD的中點，用中點公式求得F點的坐標.

二、解法分析

上述第（3）問的12種解法顯示EF的長度可以通過這樣幾種方法求得：（1）構(gòu)造相似三角形；（2）構(gòu)造等腰直角三角形；（3）構(gòu)造普通直角三角形；（4）構(gòu)造中位線；（5）解析幾何的方法.

三、典型錯誤

1.思路不通

第（1）問中，不少卷子是空白的，系統(tǒng)顯示本題0分卷有6849份，占39.70%.主要原因是，不會添加輔助線，沒有頭緒，無從下手.

2.編造條件

第（1）問中，不少學(xué)生知道要證全等，但在沒有預(yù)先證明的情況下，編造∠ADO=∠CDO，用SAS證明.

3.循環(huán)論證

第（2）問在未證明∠OAD=90°的情況下，直接用三角函數(shù)，犯了循環(huán)論證的錯誤.

4.方法使用不當(dāng)

5.使用錯誤的判定定理

6.證不出，直接使用

第（2）問，不少學(xué)生想證△DEF △DBO，但只有∠EDF=∠BDO一個條件，于是不少學(xué)生編造出∠FED=∠OBD，繼續(xù)證明下去.

四、教學(xué)建議

1.夯實基礎(chǔ)

該題有39.70%的0分卷，主要是因為解第（1）問時沒有思路，無從下手.表明這些學(xué)生基本功較差，輔助線都不會連.也有不少學(xué)生連了輔助線但不會用SSS證三角形全等，甚至∠BCA=90°也無從知曉.

作為教師，在教學(xué)上要重視“四基”教學(xué).一方面，要重視基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)技能的教學(xué).證三角形全等是初中幾何的核心內(nèi)容，必須花大力氣落實全等的判定方法，使學(xué)生能了如指掌，熟之又熟.對于圓的教學(xué)，也要提高到應(yīng)有的高度，有些學(xué)校為了騰出更多的時間用于復(fù)習(xí)，壓縮了初三新課的教學(xué)時間，結(jié)果圓的教學(xué)就成了夾生飯.這顯然是得不償失的，要知道圓的內(nèi)容是中考高分題必考的題型.不花足夠的時間，不練足量的題目，是難以形成能力的.另一方面，也要重視數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗.只解題不反思，只做題不總結(jié)，永遠只是知識的搬運工，做不了知識的主人.解題的過程是學(xué)生理解知識、體驗基本活動經(jīng)驗的過程，但必須不斷反思與總結(jié)才能形成解題思想.只有這樣，在面對較為復(fù)雜的幾何題時，才能從容不迫.

2.重視細節(jié)

幾何證明是根據(jù)已知和結(jié)論，寫出推理過程的一種題型，所以過程甚于結(jié)論.在答卷中，不少學(xué)生隨意編造理由，沒有證明就直接使用，循環(huán)論證、虛假論證等情況大量存在.要杜絕此類問題，在平時的教學(xué)中，要注重細節(jié).（1）審題要細心.知道哪些是可用的條件，哪些是不可用的條件，哪些是直接使用的條件，哪些是證明了之后才可以使用的條件.（2）表達要嚴謹.不使用錯誤的判定方法，不編造條件，杜絕跳步證明.（3）及時總結(jié).常見的輔助線的添加方法，常見的幾何模型，常用的解題思想都要及時歸納總結(jié)，使之成為知識的儲備.

3.開拓思維

第（3）問乍看十分困難，但實質(zhì)上解法多樣，僅考場做法就有12種.思路就是出路，在考場上學(xué)生要敢想敢試.在實際的教學(xué)中要重視一題多解.（1）一題多解可以培養(yǎng)思維的廣闊性，拓展解題的方法、方式.在第（3）問中，EF的求法很多，既可以構(gòu)造相似三角形，又可以構(gòu)造直角三角形，還可以構(gòu)造中位線.（2）一題多解可以深化對問題的理解.僅僅只看一種解法，對題目的認識是不夠的.以第（3）問為例，多嘗試幾種方法之后才發(fā)現(xiàn)F點的位置很特殊，是兩個等腰直角三角形斜邊上的中點，這種特殊的位置造就了多樣的解法.