王卓然，何小妹

(中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095)

0 引言

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的測(cè)量中，常用坐標(biāo)測(cè)量機(jī)來(lái)完成葉片型面的測(cè)量［1］。葉片型面測(cè)量的實(shí)質(zhì)是對(duì)復(fù)雜曲面的測(cè)量，在測(cè)量過(guò)程中采用矢量化測(cè)量，即沿著法矢方向進(jìn)行接觸式測(cè)量。坐標(biāo)機(jī)得到的葉片點(diǎn)云對(duì)應(yīng)測(cè)頭球心的坐標(biāo)，但與實(shí)際需要的接觸點(diǎn)坐標(biāo)之間存在誤差。該誤差的引入對(duì)后續(xù)擬合等數(shù)據(jù)處理存在影響。因此，需要進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償，以抵消實(shí)際軌跡與測(cè)量軌跡之間的差異。

目前，坐標(biāo)測(cè)量機(jī)廣泛采用一種二維在線(xiàn)自動(dòng)補(bǔ)償方法，即在測(cè)量時(shí)，將測(cè)量點(diǎn)和測(cè)頭半徑的關(guān)系都簡(jiǎn)單處理成存在偏移，從而自動(dòng)完成數(shù)據(jù)的測(cè)頭半徑補(bǔ)償［2］。對(duì)一些由規(guī)則形狀組成的表面的測(cè)量，如平面等，該補(bǔ)償方法是準(zhǔn)確的。但對(duì)于復(fù)雜曲面，如發(fā)動(dòng)機(jī)葉片曲面，測(cè)量方向和測(cè)量點(diǎn)的法矢有可能不一致，用此補(bǔ)償方法進(jìn)行補(bǔ)償會(huì)造成補(bǔ)償誤差［3］。另外，還可根據(jù)已知的解析函數(shù)表達(dá)式，利用對(duì)函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)，得出各測(cè)量點(diǎn)處的法向矢量［4］。但是由于在實(shí)際葉片測(cè)量中，葉片曲面較為復(fù)雜，且函數(shù)表達(dá)式多數(shù)為未知量，所以此方法并不適用于葉片測(cè)量中的測(cè)頭半徑補(bǔ)償［5］。

為了彌補(bǔ)現(xiàn)有方法存在的計(jì)算過(guò)程繁瑣、效率低下的缺點(diǎn)，并解決在復(fù)雜曲面補(bǔ)償中存在的內(nèi)部程序處理時(shí)間較長(zhǎng)和補(bǔ)償精度不理想等問(wèn)題，本文在現(xiàn)有算法的基礎(chǔ)上，提出了一種快速測(cè)頭半徑補(bǔ)償算法。該算法能夠在保證補(bǔ)償精度的情況下，最大限度地提升計(jì)算效率，從而更高效地應(yīng)用于實(shí)際測(cè)量中。

1 測(cè)頭半徑的引入誤差

為分析測(cè)頭半徑補(bǔ)償原理，首先闡述測(cè)頭半徑引入誤差的原因。在測(cè)量葉片時(shí)得到的球心軌跡與葉片曲面的表面距離為測(cè)頭半徑。測(cè)量過(guò)程中，球心與接觸面軌跡如圖1所示。測(cè)頭與被測(cè)葉片曲面接觸時(shí)，球心在被測(cè)點(diǎn)的法線(xiàn)上，而被測(cè)點(diǎn)一定在球心軌跡面經(jīng)過(guò)球心點(diǎn)的法線(xiàn)上。

圖1 球心與接觸面軌跡示意圖Fig．1 Trajectory of center of the sphere and the contact surface

坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在對(duì)曲線(xiàn)、曲面進(jìn)行測(cè)量時(shí)，所給出的是測(cè)頭球心的軌跡，并不是實(shí)際接觸點(diǎn)的坐標(biāo)。所以，此時(shí)得到測(cè)量結(jié)果與實(shí)際存在偏差。在對(duì)類(lèi)似航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的精確測(cè)量中，該誤差是無(wú)法忽略的。通過(guò)對(duì)測(cè)頭半徑的補(bǔ)償，得到更精準(zhǔn)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，為之后的曲面擬合等高精度數(shù)據(jù)處理打下基礎(chǔ)。

2 測(cè)頭半徑誤差補(bǔ)償

2．1 測(cè)頭半徑補(bǔ)償原理

為實(shí)現(xiàn)測(cè)頭半徑補(bǔ)償，必須知道被測(cè)曲面與測(cè)頭接觸點(diǎn)處的法矢。所以，測(cè)頭半徑補(bǔ)償?shù)暮诵膯?wèn)題就是確定被測(cè)曲面接觸點(diǎn)處的法矢。

補(bǔ)償原理是根據(jù)數(shù)學(xué)方法，求取測(cè)頭中心點(diǎn)坐標(biāo)沿測(cè)量方向的法矢量。在得到的法矢量的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加或減少測(cè)頭半徑的長(zhǎng)度，得到實(shí)際測(cè)量點(diǎn)處的坐標(biāo)。具體用公式可以表述為:以接觸點(diǎn)處的法矢n近似代替被測(cè)葉片曲面實(shí)際接觸點(diǎn)處被測(cè)曲面的法矢。實(shí)際接觸點(diǎn)qi，j的計(jì)算公式為:

式中:r為測(cè)頭半徑，被測(cè)曲面為凸曲面時(shí)，取“+”號(hào);被測(cè)曲面為凹曲面時(shí)，取“－”號(hào)。在此方法中，選取符號(hào)為“－”。

2．2 曲線(xiàn)補(bǔ)償

實(shí)際的葉片型面測(cè)量中，往往采用掃描方式。具體過(guò)程為:將測(cè)頭移動(dòng)至初始測(cè)量點(diǎn)，保持某一坐標(biāo)值不變(比如z軸)，移動(dòng)測(cè)頭使其在相應(yīng)平面(XOY)內(nèi)掃描直至邊界點(diǎn)。然后，通過(guò)改變z軸坐標(biāo)，按同樣掃描方法掃描不同高度的曲線(xiàn)，直至遍布整個(gè)待測(cè)曲面。

曲線(xiàn)補(bǔ)償具體過(guò)程如下。

在葉片測(cè)量中，坐標(biāo)機(jī)得到曲線(xiàn)上的n個(gè)測(cè)量點(diǎn)。將曲線(xiàn)上得到的3個(gè)連續(xù)測(cè)量點(diǎn)設(shè)為P1、P2、P3，從而得到 3 個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別為 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)。測(cè)頭半徑補(bǔ)償原理如圖2所示。

圖2 測(cè)頭半徑補(bǔ)償原理圖Fig．2 Pinciple of probe radius compensation

由于坐標(biāo)機(jī)在對(duì)葉片測(cè)量的過(guò)程中得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)量很大，所以3個(gè)連續(xù)點(diǎn)的曲線(xiàn)段很小，可以理解為一段小圓弧上的臨近點(diǎn)。P1、P2、P3滿(mǎn)足圓方程:

式中:(x，y)為接觸點(diǎn)坐標(biāo)。

對(duì)該方程進(jìn)行求解，得到P1、P2、P3所在小圓弧的圓心坐標(biāo)O(m，n)和圓的半徑r。連接P2點(diǎn)和O點(diǎn)，線(xiàn)段P2O為P1、P2、P3所在小圓弧的法向線(xiàn)段。以P2為圓心，作一個(gè)半徑等于測(cè)頭半徑R的圓，與線(xiàn)段P2O相交于點(diǎn)。

2．3 曲面補(bǔ)償

根據(jù)空間內(nèi)不共面的4個(gè)點(diǎn)，能確定一個(gè)球，且該球面唯一。在坐標(biāo)機(jī)測(cè)量點(diǎn)P的周?chē)粋€(gè)非常小的區(qū)域內(nèi)，可以近似地認(rèn)為這一小塊曲面是一個(gè)球面。在這個(gè)確定的球面上，所有點(diǎn)的法矢量都可以認(rèn)為是球面上點(diǎn)與球心連線(xiàn)的方向。所以，這里根據(jù)被測(cè)量曲面上不共面的4個(gè)點(diǎn)來(lái)求解此微小區(qū)域的法矢。由于在葉片測(cè)量中，點(diǎn)云數(shù)據(jù)量密集，所以可以認(rèn)為所選4個(gè)相鄰點(diǎn)無(wú)限趨近。此時(shí)，所確定的球面法矢也可以認(rèn)為是測(cè)量點(diǎn)處法矢。以下從數(shù)學(xué)的角度來(lái)闡述該方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

測(cè)量得到不同z值下的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。根據(jù)測(cè)量的方向，把數(shù)據(jù)視為一個(gè)i行j列的數(shù)組。若要對(duì)其中某點(diǎn)Pi，j進(jìn)行補(bǔ)償，則可以取 Pi，j－1、Pi，j、Pi，j+1、Pi+1，j4 個(gè)點(diǎn)。曲面補(bǔ)償原理如圖3所示。

圖3 曲面補(bǔ)償原理圖Fig．3 Principle of curved surface compensation

當(dāng)選取4點(diǎn)構(gòu)成的曲面趨近于無(wú)限小時(shí)，將其近似認(rèn)為一個(gè)球面。將4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成球面的球心坐標(biāo)設(shè)為Oi，j，確定的法矢為 Pi，j、Oi，j這 2 點(diǎn)的連線(xiàn)。根據(jù)法矢方向，將測(cè)量點(diǎn)在空間內(nèi)移動(dòng)一個(gè)測(cè)頭半徑的長(zhǎng)度，以解算實(shí)際點(diǎn)坐標(biāo)。法矢量為:

通過(guò)對(duì)上述數(shù)值進(jìn)行單位化處理，即可得到被測(cè)點(diǎn)的單位法向矢量。補(bǔ)償后，所求得的實(shí)際接觸點(diǎn)Pi，j的坐標(biāo)為:

式中:O(x0，y0，z0)為球心點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)補(bǔ)償后的點(diǎn)擬合而成的曲面，即為被測(cè)葉片的實(shí)際曲面。

3 測(cè)頭半徑補(bǔ)償仿真試驗(yàn)

判斷測(cè)頭半徑補(bǔ)償方法是否較其他方法存在優(yōu)勢(shì)，主要從補(bǔ)償精度和補(bǔ)償所耗時(shí)間兩個(gè)方面入手。補(bǔ)償精度主要指補(bǔ)償后數(shù)據(jù)的真實(shí)度。補(bǔ)償所耗時(shí)間則是在需要補(bǔ)償大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)的情況下，補(bǔ)償程序的運(yùn)行時(shí)間。理想的情況是在耗費(fèi)很少運(yùn)行時(shí)間的同時(shí)保證補(bǔ)償?shù)母呔取５?，在?shí)際測(cè)量中，高精度往往意味著耗費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間。

為了對(duì)該方法進(jìn)行精度分析，在Matlab中編寫(xiě)程序，以實(shí)現(xiàn)本文所提出的補(bǔ)償方法。利用本文提出的補(bǔ)償方法，進(jìn)行測(cè)頭半徑補(bǔ)償?shù)姆抡嬖囼?yàn)。

仿真試驗(yàn)具體過(guò)程為:從坐標(biāo)機(jī)測(cè)量得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)中截取121個(gè)連續(xù)點(diǎn)。測(cè)量使用的坐標(biāo)機(jī)測(cè)頭半徑為0．2 mm。運(yùn)行程序得到實(shí)際接觸葉片曲面的點(diǎn)坐標(biāo)。求出每一個(gè)補(bǔ)償?shù)玫降膶?shí)際接觸點(diǎn)與理論值的差值。將坐標(biāo)機(jī)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行仿真，得到的實(shí)際接觸點(diǎn)坐標(biāo)與接觸點(diǎn)坐標(biāo)理論值 Q(rn，sn，tn)，并進(jìn)行比對(duì)，n=1，2，…，120。分別求，并求出最大值。此時(shí)，根據(jù)測(cè)量原理，z'值不變。補(bǔ)償結(jié)果為:x=rn－=0．000 677 696，y=(sn－)max=8．248 79e-05。

通過(guò)比較2種方法的補(bǔ)償結(jié)果，可以看出，本文所提出的快速補(bǔ)償方法與其他算法的誤差非常小，幾乎可以忽略不計(jì)，從而驗(yàn)證了本方法能夠保證精度。

補(bǔ)償所耗時(shí)間可以用方法的計(jì)算量來(lái)表征，計(jì)算量越大，補(bǔ)償耗時(shí)越多;反之亦然［6-9］。在本文所述方法中，補(bǔ)償數(shù)據(jù)的計(jì)算主要有求解圓或球的特征點(diǎn)、與直線(xiàn)的交點(diǎn)組成，根據(jù)點(diǎn)云數(shù)據(jù)的具體數(shù)目來(lái)決定循環(huán)的次數(shù)，得到總的計(jì)算量。本文方法即使在大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)的情況下，計(jì)算量也是非常少的。

如果在實(shí)際測(cè)量中需要更高的精度，可以提高點(diǎn)云數(shù)據(jù)的采集密度，通過(guò)更密集的數(shù)據(jù)來(lái)獲取更高的精度;同時(shí)，也可以通過(guò)插補(bǔ)點(diǎn)的方法來(lái)得到更高的精度，但插補(bǔ)過(guò)程會(huì)占用一定時(shí)間。

綜上所述，本文所提出方法能夠在補(bǔ)償耗時(shí)較少，即補(bǔ)償效率盡可能高的情況下，保持很好的補(bǔ)償精度。在實(shí)際葉片測(cè)量的測(cè)頭半徑補(bǔ)償中，本文所提出的方法由于計(jì)算時(shí)間較少，對(duì)于提高葉片測(cè)量的效率具有重要意義。而與常用的存在原理誤差的在線(xiàn)補(bǔ)償法相比，本文方法的精度有顯著提高，所以廣泛適用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片測(cè)量的坐標(biāo)機(jī)測(cè)頭半徑補(bǔ)償。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文所提出的半徑補(bǔ)償方法，能夠有效解決現(xiàn)有方法無(wú)法同時(shí)保證精度與補(bǔ)償時(shí)間的問(wèn)題。通過(guò)仿真試驗(yàn)結(jié)果可知，本文方法在計(jì)算速度快的同時(shí)，能夠保證精度。該方法在葉片測(cè)量中具有很強(qiáng)的實(shí)用性，并對(duì)下一步葉片曲線(xiàn)、曲面擬合的精確度的提升具有重要意義，可以廣泛應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)葉片或其他復(fù)雜零件的測(cè)量。