周如俊

求解二面角大小問題是高考的熱點(diǎn)問題.傳統(tǒng)解題方法主要有定義法、三垂線法、垂面法、異面直線的距離法、法向量法.因此其求解中作圖思維與推理具有一定難度.本文運(yùn)用“降維類比法”，在三角函數(shù)余弦和角公式基礎(chǔ)上類比出的二面角大小求解的“通用”公式，把空間形體轉(zhuǎn)化為平面圖形有關(guān)角的計(jì)算，能給予學(xué)生一定的解題思維程序，降低題目難度與思維難度，具有直觀、簡(jiǎn)捷、套用明快的優(yōu)點(diǎn).

1問題提出

有關(guān)三面角公式求解二面角大小問題，一些文獻(xiàn)作了探究，但是所推出的公式形式不一，也難以記憶【1】【2】【3】.筆者備課中研究發(fā)現(xiàn)，兩角和與差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“計(jì)算公式”（“三線四角”公式）的一種特例.這種由三角函數(shù)余弦和角公式“降維類比”（即三維空間的對(duì)象降到二維（或一維）空間中的對(duì)象）出二面角大小計(jì)算“通用”公式，只需計(jì)算出同一頂點(diǎn)發(fā)出的三個(gè)線線間角，即可快速求出二面角大小.

圖1

三角函數(shù)余弦和角公式如圖1，OA、OB、OC是一平面內(nèi)共端點(diǎn)的三條射線，記∠AOB=θ1，∠COB=θ2，∠AOC=θ，直線EF與OB垂直（垂足為H），且直線EF分別與射線OA、OC相交于E、F兩點(diǎn).則由三角函數(shù)和角公式有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2-sinθ1·sinθ2.

考慮到直線EHF，∠EHF=180°，則有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos180°

即：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos∠EHF（*）

圖2

三面角余弦定理如圖2，將圖1中射線OA、OC分別圍繞OB旋轉(zhuǎn)到任意位置，形成“三線四角”（共點(diǎn)三條射線兩兩所成的面角以及它們所構(gòu)成的一個(gè)二面角）.類比公式（*），可得二面角A-OB-C（記二面角大小為α）的一個(gè)“通用”計(jì)算公式（簡(jiǎn)稱“三線四角”公式）.此公式又稱為三面角余弦定理.

cosθ=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cosα（**）

略證在△EOF中，由余弦定理得：cos∠AOC=OE2+OF2-EF22OE·OF.

在△EHF中，由余弦定理得：

EF2=EH2+FH2-2EH·FHcos∠EHF.

所以有：

cos∠AOC=OE2+OF2-EH2-FH2+2EH·FHcos∠EHF2OE·OF=（OE2-EH2）+（OF2-FH2）2OE·OF+EH·FHOE·OFcos∠EHF

=2OH22OE·OF+EH·FHOE·OFcos∠EHF=cos∠AOB·cos∠BOC+sin∠AOB·sin∠BOC·cos∠EHF

即：cosθ=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cosα（**）

cosα=cosθ-cosθ1·cosθ2sinθ1·sinθ2（***）

即三面角余弦定理內(nèi)涵表述：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所對(duì)面角的余弦減去另兩個(gè)面角的余弦之積，再除以這兩個(gè)面角的正弦之積.

同樣可推出三面角正弦定理：

三面角正弦定理三面角中面角的正弦的比等于所對(duì)二面角的正弦的比.

如圖2，二面角A-OB-C大小記為α，二面角A-OC-B大小記為β，二面角B-OA-C大小記為γ，則有sinαsinθ=sinβsinθ1=sinγsinθ2.

實(shí)際解決有關(guān)高考試題二面角問題時(shí)，只要把求二面角的問題轉(zhuǎn)化為考慮三個(gè)三角形中角的三角函數(shù)問題求解即可.（***）公式方向明確，方法簡(jiǎn)單.

通過公式（**），也可速證最小角定理.圖3

最小角定理如圖3，設(shè)A為平面α上一點(diǎn)，過A的直線AO在平面α上的射影為AB，AC為平面α上的一條直線，則∠OAC=θ，∠BAC=θ2，∠OAB=θ1，三角的余弦關(guān)系為：cosθ=cosθ1·cosθ2.此式又叫最小角定理（爪子定理），主要用于求平面斜線與平面內(nèi)直線成的最小角.

略證因O-AB-C二面角α=90°，由（**）即得：cosθ=cosθ1·cosθ2.

2公式運(yùn)用

“三線四角”公式，將三維空間的對(duì)象降到二維（或一維）空間思考，它以最簡(jiǎn)約、最概括的方式呈現(xiàn).不僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)原有“二面角”知識(shí)透徹的理解，還可以幫助學(xué)生更快捷地獲取與弄清二面角概念及其計(jì)算公式的內(nèi)涵和外延，理解結(jié)論的由來與適用范圍，達(dá)到二面角知識(shí)學(xué)習(xí)的精練化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí).

應(yīng)用公式求二面角大小時(shí)，只需在棱上任找一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)各引一條射線，使之與棱形成共點(diǎn)三線，由此共點(diǎn)三線兩兩所成面角.計(jì)算三個(gè)面角的三角函數(shù)值，即可通過公式快速求出相應(yīng)二面角大小，從而減少作輔助線求解二面角的推理難度.

2.1求兩相交直線的夾角大小此類題一般條件是已知一個(gè)二面角大小及“三線”的二個(gè)面角，通過“三線四角”公式求解，求其另一個(gè)面角.解題時(shí)三面角頂點(diǎn)的確定是關(guān)鍵，應(yīng)在所求二面角的交線上.有時(shí)也可依據(jù)三面角正弦定理直接求解.

例1（2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理第16題）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°；

其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）

圖4

解析如圖4.由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D.BE為底面圓直徑，連結(jié)DE，則DE⊥BD，DE∥b.連結(jié)AD，等腰ΔABD中，不妨設(shè)AB=AD=2.

（1）當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，∠ABD=60°，故BD=2.

又在Rt△BDE中，BE=2，DE=2，故cos∠FBC=cos∠DEC=22，

因二面角F-BC-A大小α=90°，由（**）即得：

cos∠ABF=cos∠ABC·cos∠FBC=22.22=12，∠ABF=60°，即AB與b成60°角.故②正確，①錯(cuò)誤.

（2）因A-BC-D二面角大小α=90°，由（**）即得：

cos∠ABD=cos∠ABC·cos∠DBC=22cos∠DBC，

當(dāng)∠DBC=0°，cos∠ABDmax=22·1=22，（∠ABD）min=45°，

即直線AB與a所稱角的最小值為45°，故③正確.

∠DBC=90°，cos∠ABDmin=0，（∠ABD）max=90°，

即直線AB與a所成角的最大值為90°，故④錯(cuò)誤.

因此正確的說法為②③.

2.2求異面直線的夾角大小此類題一般條件是通過直線平移，轉(zhuǎn)化為已知一個(gè)二面角大小及“三線”間二個(gè)面角，從而轉(zhuǎn)化為“求兩相交直線的夾角大小”類型，再通過“三線四角”公式求解.有時(shí)也可借助異面直線的距離公式d=l2-m2-n2±2mncosθ求異面直線的夾角θ大?。ㄆ渲蠥C和BD互為異面直線，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=d，CD=l，AC=m，BD=n）.

例2（2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理第10題）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）.

A.V=32

B.155 C.105 D.33

圖5

解析如圖5，設(shè)異面直線AB1與BC所成角記為θ（θ∈（0°，90°]），只要將直線AB1平移過點(diǎn)B（此時(shí)平移后直線為A2B）即可.此時(shí)二面角A2-BB1-C1大小α=120°.

cos∠AB1B=15，sin∠AB1B=25，

cos（180°-∠C1BB1）=-cos∠C1BB1=-12，sin（180°-∠C1BB1）=12，

由公式（**）得：

cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα=cos∠AB1Bcos（180°-∠C1BB1）+sin∠AB1Bsin（180°-∠C1BB1）·cos120°=-[SX（]1[][KF（]5[KF）][SX）]·[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]+[SX（]2[][KF（]5[KF）][SX）]·[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]（-[SX（]1[]2[SX）]）=-[SX（][KF（]10[KF）][]5[SX）].

即cosθ=105.

因此正確答案為C.2.3求二面角的夾角大小“三線四角”公式求解二面角大小，一般比“作角求角法”與“法向量法”顯得更簡(jiǎn)潔.此類題一般條件是已知三面角的“三線”的三個(gè)面角，求其中二面角的大小.解題識(shí)別關(guān)鍵是通過三角函數(shù)關(guān)系求出三個(gè)面角大小，直接代入“三線四角”公式求解即可.有時(shí)證明兩平面垂直關(guān)系也可轉(zhuǎn)換成通過“三線四角”公式求平面二面角的夾角大小為90°即可，并且省去推理證明過程的麻煩.

例3（2017年新課標(biāo)Ⅰ卷文第18題）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

圖6

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解析

（1）設(shè)二面角B-AP-D大小為α.

因?yàn)椤螧AP=∠CDP=90°，AB∥CD，

所以AB⊥AP，CD⊥DP，AB⊥DP，

由公式（***）得：

cosα=cos∠BAD-cos∠BAP·cos∠DAPsin∠BAP·sin∠DAP

=cos90°-cos90°·cos∠DAPsin90°·sin∠DAP=0，α=90°，

即平面PAB⊥平面PAD.

（2）設(shè)二面角A-PB-C大小為α.

由（1）知，四邊形ABCD為矩形.

設(shè)PA=PD=AB=DC=1，則易得

PB=PC=AD=BC=2，

由公式（***）得：

cosα=cos∠ABC-cos∠ABP·cos∠CBPsin∠ABP·sin∠CBP=0-22·120-22·32

=-33.

參考文獻(xiàn)

[1]熊福州.從2017年全國(guó)高考題看公式法求空間角的意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師范大學(xué)），2017（12）：27-29.

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